专题三：带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界多解问题 课中练

专题三：带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界多解问题 课中练

带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题

【课堂引入】

解决带电粒子在磁场中运动临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。

（1）刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

（2）当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中的运动时间越长。

（3）当比荷相同，速率v变化时，圆心角越大的，运动时间越长。

【例题】

1. 如图所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，区域宽度为d，边界为CD和EF，速度为v的电子从边界CD外侧沿垂直于磁场方向射入磁场，入射方向跟CD的夹角为θ，已知电子的质量为m、带电荷量为e，为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足的条件是（ ）

A.  B.  C.  D.

【课堂练习】

2. 如图所示，直角坐标系中y轴右侧存在一垂直纸面向里、宽为a的有界匀强磁场，磁感应强度为B，右边界PQ平行于y轴，一粒子（重力不计）从原点O以与x轴正方向成θ角的速率v垂直射入磁场，当斜向上射入时，粒子恰好垂直PQ射出磁场，当斜向下射入时，粒子恰好不从右边界射出。求：

（1）粒子的比荷；

（2）粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间。

【例题】

3. 真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（　　）

A.  B.  C.  D.

三、带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题

【课堂引入】带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。

（1）找出多解的原因。

（2）画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况。

【例题】

4. 如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，重力忽略不计．为把这束负离子约束在0P之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场．已知OA间的距离为s ,负离子比荷为q/m   ，速率为v  ，OP与OQ间夹角为300．则所加磁感应强度B满足 （     ）                                                                                                        

A. 垂直纸面向里，   B. 垂直纸面向里，

C. 垂直纸面向外，   D. 垂直纸面向外，

【课堂练习】

5. 长为的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为，板间距离也为，极板不带电。现有质量为、电荷量为的带正电粒子（重力不计），从左边极板间中点处垂直磁场以速度水平入射，如图所示。欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（　　）

A. 使粒子速度 B. 使粒子速度

C. 使粒子速度 D. 使粒子速度

【例题】

6. 如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B．磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d<L，粒子重力不计，电荷量保持不变．

（1）求粒子运动速度的大小v；

（2）欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M的最大距离dm；

（3）从P点射入的粒子最终从Q点射出磁场，PM=d，QN=，求粒子从P到Q的运动时间t．

参考答案

1. A

【解析】

由题意可知电子从EF射出的临界条件为到达边界EF时，速度与EF平行，轨迹与EF相切，如图。

R+Rcosθ=d，

由几何知识得解得

，v＞v0

即能从EF射出．故选A。

2.【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）粒子在磁场中的运动轨迹如图所示

则由图知斜向上射入时有

rsinθ=a

斜向下射入时有

rsinθ＋a=r

联立解得

θ=30°，r=2a

由洛伦兹力提供向心力得

得粒子的比荷为

（2）粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的圆心角为

α=2×（90°-30°）=120°

周期为

则粒子在磁场中运动的时间为

3. C

【解析】

电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力

则磁感应强度与圆周运动轨迹关系为

即运动轨迹半径越大，磁场的磁感应强度越小。令电子运动轨迹最大的半径为，为了使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，其最大半径的运动轨迹与实线圆相切，如图所示

 A点为电子做圆周运动的圆心，电子从圆心沿半径方向进入磁场，由左手定则可得，， 为直角三角形，则由几何关系可得

解得

解得磁场的磁感应强度最小值

故选C。

4. BC

【解析】

AB、当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则知：负离子向右偏转．约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹 与OP相切．如图（大圆弧）

由几何知识知：，而，所以，所以当离子轨迹的半经小于s时满足约束条件，由牛顿第二定律及洛仑兹力公式列出，所以得；故A错误，B正确；

CD、当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则知：负离子向左偏转．约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹 与OP相切．如图（小圆弧）：

由几何知识知道相切圆的半经为，所以当离子轨迹的半经小于时满足约束条件，由牛顿第二定律及洛仑兹力公式列出，所以得，故C正确，D错误；

故选BC．

5. AB

【解析】

欲使粒子不打在极板上，如图所示，带正电的粒子从左边射出磁场时，其在磁场中圆周运动的半径

粒子在磁场中做圆周运动由洛伦兹力提供向心力，根据

可得粒子做圆周运动的半径

所以粒子不打到极板上且从左边射出，则

即

带正电的粒子从右边射出，如图所示，此时粒子的最小半径为R，由上图可知

可得粒子圆周运动的最大半径

则

即

故欲使粒子不打在极板上，粒子的速度必须满足

或

故选AB。
6. 【答案】（1）；（2）；（3）A.当时， ，B.当时，

【解析】

（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力有：

，解得：

由题可得：

解得；

（2）如图所示，粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切

由几何关系得dm=d（1+sin60°）

解得

（3）粒子的运动周期

设粒子最后一次碰撞到射出磁场的时间为t'，则

A.当时，粒子斜向上射出磁场

解得

B.当时，粒子斜向下射出磁场

解得．