四川省成都市2022-2023学年高三数学（文）上学期1月第一次诊断性考试试卷（Word版附解析）

成都市高2020级第一次诊断测试  数学文科

满分: 150分   时间：120分钟

一、单项选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1. 设集合 , 则 （    ）

A.  B.

C.  D.

2. 满足 为虚数单位 的复数 （    ）

A.  B.          C.  D.

3. 抛物线 的焦点坐标为（    ）

A.  B.           C.  D.

4. 下图为2012年一2021年我国电子信息制造业企业和工业企业利润总额增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是（    ）

A.2012年一2021年电子信息制造业企业利润总额逐年递增

B.2012年一2021年工业企业利润总额逐年递增

C.2012年一2017年电子信息制造业企业利润总额均较上一年实现增长，且其增速均快于当年工业企业利润总额增速

D.2012年一2021年工业企业利润总额增速的均值大于电子信息制造业企业利润总额增速的均值

5. 若实数 满足约束条件 则 的最大值是（    ）

A.2 B.4 C.6 D.8

6. 若圆锥的侧面展开图为一个半圆面，则它的底面面积与侧面面积之比是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 下列命题中错误的是（    ）

A.在回归分析中，相关系数 的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强

B.对分类变量 与 , 它们的随机变量 的观测值 越小, 说明 “ 与 有关系” 的把握越大

C.线性回归直线 恒过样本中心

D.在回归分析中, 残差平方和越小, 模型的拟合效果越好

8. 若函数 在 处有极大值, 则实数 的值为（    ）

A.1 B. 或  C.  D.

9. 已知直线 和平面 . 若 , 则 “ ” 是 “ ”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

10. 已知数列 的前 项和为 . 若 , 则 （    ）

A.512 B.510 C.256 D.254

11. 日光射入海水后, 一部分被海水吸收 (变为热能), 同时, 另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射. 因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱, 可用 表示其总衰减规律, 其中 是平均消光系数(也称衰减系数), (单位: 米) 是海水深度, (单位: 坎德拉) 和 (单位: 坎德拉) 分别表示在深度 处和海面的光强. 已知某海区 10 米 深处的光强是海面光强的 , 则该海区消光系数 的值约为 (参考数据: , )（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知侧棱长为 的正四棱锥各顶点都在同一球面上. 若该球的表面积为 , 则该正四棱锥的体积为（    ）

A.  B.         C.  D.

二、填空题（本题共4道小题，全科免费下载公众号《高中僧课堂》每小题5分，共20分）

13.在公差为 的等差数列 中, 已知 , 则 ______。

14.已知双曲线 的渐近线与圆 相切, 则双曲线的离心率为______。

15.已知平面向量 满足 , 则 ______

16.已知函数 . 有下列结论：

①若函数 有零点, 则 的取值范围是 ;

②若 , 则函数 的零点为 ;

③函数 的零点个数可能为 ;

④若函数 有四个零点 , 则 , 且 .

其中所有正确结论的编号为______。

三、解答题（本题共6道小题，共70分，写出必要的文字说明与演算步骤）

17. （本题满分12分）

成都作为常住人口超2000万的超大城市，注册青年志愿者人数超114万，志愿服务时长超268万小时.2022年6月，成都22个市级部门联合启动了2022年成都市青年志愿服务项目大赛，项目大赛申报期间，共收到331个主体的416个志愿服务项目，覆盖文明实践、社区治理与邻里守望、环境保护等13大领域.已知某领域共有50支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍进行评审打分, 并将专家评分(单位: 分)分成 6 组: , 得到如图所示的频率分布直方图。

（I） 求图中 的值;

（II) 已知评分在 的队伍有 4 支, 若从评分在 的队伍中任选两支队伍, 求这两支队伍至少有一支队伍评分不低于 85 分的概率.

18. （本题满分12分）

记 的内角 所对边分别为 . 已知 .

(I) 求 的大小;

(II) 若 , 再从下列条件①, 条件②中任选一个作为已知, 求 的面积. 条件①: ; 条件② : .

注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.

19. （本题满分12分）

如图①, 在等腰直角三角形 中, 分别是 上的点, 且 满足 . 将 沿 折起, 得到如图②所示的四棱锥 .

(I) 若 为 的中点, 平面 平面 , 求四棱锥 的体积;

(II) 设平面 平面 , 证明 平面 .

20. （本题满分12分）

已知椭圆 的左, 右焦点分别为 , 上顶点为 , 且 为等边三角形. 经过焦点 的直线 与椭圆 相交于 两点, 的周长为 8 .

(I) 求椭圆 的方程;

(II) 求 的面积的最大值及此时直线 的方程.

21. （本题满分12分）

已知函数 .

（I) 若 ,求 的取值范围;

（II) 当 时，证明: .

选做题（22题，23题选做1道小题，多做做错按第1题计分）

22. （本题满分10分）

在直角坐标系中,圆心为的圆的参数方程为 (为参数). 以坐 标原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 的极坐标方程为.

(I) 求圆 的极坐标方程;

(II) 设点 在曲线上,且满足 , 求点 的极径.

23. （本题满分10分）

已知 为非负实数, 函数 .

(I) 当 时, 解不等式;

(II) 若函数的最小值为6,求 的最大值.

参考答案及解析

1.  【答案】C 【解析】略

2.  【答案】A 【解析】 故选：A。

3.  【答案】B 【解析】由题意可得, 焦点坐标在 轴上, 且

可得焦点坐标为

综上所述，答案选择：B。

4.  【答案】C 【解析】略

5.  【答案】C 【解析】略 

6.  【答案】D 【解析】设该圆锥体的底面半径为 , 母线长为 , 根据题意得：

所以这个圆锥的底面面积与侧面积的比是 故选：D。

7.  【答案】B 【解析】略

8.  【答案】D 【解析】略

9.  【答案】B 【解析】略

10. 【答案】C 【解析】略

11. 【答案】A 【解析】略

12. 【答案】D 【解析】略

13. 【答案】  【解析】略

14. 【答案】2 【解析】略

15. 【答案】  【解析】略

16. 【答案】②③④ 【解析】略

17. 【解析】(I) 由 ，

解得 .

(II) 由题意知不低于 90 分的队伍有 支, 故评分在 的队伍有 2 支。

评分在 分的队伍有 支.

记评分落在 的 4 支队伍为 评分落在 的 2 支队伍为 , .

则从评分在 的队伍中任选两支队伍的基本事件有: ,

, , 共 15 个.

其中两支队伍至少有一支队伍评分不低于 85 分的基本事件有: , , 共 9 个.

故所求概率为 .

18.  【解析】( I ) ,

由正弦定理知 , 即 .

在 中, 由 ,

(II) 若选择条件①, 由正弦定理 , 得 .

.

又 , 即 .

.

.

若选择条件②, 由 , 即 .

设 .

则 .

由 , 得 .

.

19.  【解析】( I ) 由题意得 .

平面 平面 平面 ,

平面 平面 ,

平面 .

为 的中点,

四棱锥 的体积为 .

( II ) 平面 平面 ,

平面 .

平面 , 平面 平面 ,

.

由图① , 得 ,

平面 ,

平面 .

20.  【解析】(I) 由 为等边三角形, , 得 ( 为半焦距).

,

的周长为 , 得 .

.

椭圆 的方程为 .

(II) 由 (I) 知 , 且直线 斜率不为 0 .

设直线 .

由

消去 , 得 .

显然 .

由 面积 .

而 .

设 , 则 .

在 上单调递增, 当 时, .

即当 时, 取得最大值 3 , 此时直线 的方程为 .

21.  【解析】(I) 记 .

则 恒成立, 即 .

在 上单调递增, 在 上单调递减.

. 解得 .

实数 的取值范围是 .

(II) 记 .

在 上单调递增.

由 , 知 .

. 即 .   （*）

当 单调递减; 当 单调递增.

.  （**）

由(∗)式,可得

代入(∗∗)式,得

由 (I) 知, 当 时有 , 故 .

.

由 .

故 , 即 , 原不等式得证.

22.  【解析】(I) 由圆 的参数方程消去参数 , 得圆 的普通方程为 , 圆心 .

, 圆心 .

把 代入 ,

化简得圆 的极坐标方程为 .

(II) 由题意, 在极坐标系中, 点 .

点 在曲线 上, 设 .

在 中, 由余弦定理有 ,

即 .

化简得 .

解得 或

故 或 .

点 的极径为 1 或 .

23.  【解析】(I) 当 时, .

当 时, , 解得 ;

当 时, , 此时无解;

当 时, , 解得 .

综上, 不等式 的解集为 .

(II) 由 , 当且仅当 时, 等号成立.

由柯西不等式,得 .

当且仅当 时, 即 等号成立.

综上, 的最大值为 .