辽宁省大连市高新区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷(含答案)
展开2022-2023学年辽宁省大连市高新区九年级(上)期末数学试卷
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确)
1.(3分)下列图形中,是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,则sinB的值是( )
A. B. C. D.
3.(3分)点P(1,﹣2)关于原点对称的点的坐标是( )
A.(1,2) B.(﹣2,1) C.(﹣1.﹣2) D.(﹣1,2)
4.(3分)用配方法解方程x2﹣4x=﹣2,下列配方正确的是( )
A.(x﹣2)2=2 B.(x+2)2=2 C.(x﹣2)2=﹣2 D.(x﹣2)2=0
5.(3分)如图,AB是⊙O的直径,AC,BC是⊙O的弦,若∠A=20°,则∠B的度数为( )
A.70° B.90° C.40° D.60°
6.(3分)将抛物线y=2(x﹣3)2+2向左平移2个单位,再向上平移3个单位,平移后所得抛物线的解析式为( )
A.y=2(x﹣5)2+5 B.y=2x2
C.y=2(x﹣1)2+5 D.y=2(x﹣1)2﹣1
7.(3分)在一个不透明的袋子里装有红球6个、黄球4个,这些球除颜色外都相同.小明从袋子中摸一次,摸到黄球的概率是( )
A. B. C. D.
8.(3分)关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个实数根,则实数k的取值范围是( )
A.k≤1 B.k>1 C.k=1 D.k≥1
9.(3分)如图,在△ABC中,以C为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC、BC于点E、F,再分别以E、F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧相交于点N,连结CN交AB于点D,过D作BC的平行线交AC于M,若BC=3,AC=2,则DM=( )
A. B. C. D.
10.(3分)如图,小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=﹣0.2x2+3.5的一部分,若命中篮圈中心,则他与篮圈底的距离l是( )
A.3m B.3.5m C.4m D.4.5m
二、填空题(本题共6小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)关于x的一元二次方程x2﹣3x+t=0的一个根为﹣1,则另一个根是 ,t= .
12.(3分)二次函数y=﹣(x﹣2)2+1,当x>3时,y随x的增大而 .
13.(3分)从n个苹果和3个桔子中任选1个,若选中苹果的概率是,则n的值为 .
14.(3分)如图,在▱ABCD中,点E在边BC上,DE交对角线AC于F,若CE=2BE,△CEF的面积等于4,那么△AFD的面积等于 .
15.(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,以点A为圆心,AD长为半径画弧交BC于点E,连接AE,∠BAE=30°,则阴影部分的面积为 .
16.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC=a,将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE,若点E恰好为AC的中点,则BC的长为 (用含a的代数式表示).
三、解答题(本题共4小题,其中17题9分,18、19、20题各10分,共39分)
17.(9分)小明用描点法画抛物线y=﹣x2+4x﹣3.
(1)请帮小明完成下面的表格,并根据表中数据在所给的平面直角坐标系中描点,连线从而画出此抛物线;
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y=﹣x2+4x﹣3
…
﹣8
0
﹣3
﹣8
…
(2)直接写出抛物线的对称轴,顶点坐标.
18.(10分)某景区检票口有A、B、C共3个检票通道.小德和小禹两人到该景区游玩,两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票.
(1)小德选择A检票通道的概率是 ;
(2)用画树状图或列表法求小德和小禹两人选择的检票通道恰好相同的概率.
19.(10分)如图,在△ABC中,点D在BC边上,∠ADC=∠BAC,CD=1,BD=3,求AC的长.
20.(10分)疫情期间“停课不停学”,辽宁省初中数学学科开通公众号进行公益授课,9月份该公众号关注人数为5000人,11月份该公众号关注人数达到7200人,若从9月份到11月份,每月该公众号关注人数的平均增长率相同,求该公众号关注人数的月平均增长率.
四、解答题(本题共3小题,其中21题9分,22、23题各10分,共29分)
21.(9分)数学兴趣小组测量建筑物AB的高度.如图,在建筑物AB前方搭建高台CD进行测量.高台CD到AB的距离BC为6米,在高台顶端D处测得点A的仰角为40°,测得点B的俯角为30°.
(1)填空:∠ADB= °;
(2)求建筑物AB的高度(结果保留整数).
(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,≈1.73)
22.(10分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,过O作OD⊥AC于点E,延长OE至点D,连结CD,使∠D=∠A.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AB=CD=2,求AC的长.
23.(10分)某公司研发了一款成本为30元的新型产品,投放市场进行销售.按照物价部门规定,销售单价不低于成本且不高于70元,调研发现每天的销售量y(个)与销售单价x(元)满足一次函数关系,其图象如图所示.
(1)求每天的销售量y(个)与销售单价x(元)的函数关系式;
(2)销售单价为多少元时,每天获得的利润最大,最大利润是多少元?
五、解答题(本题共3小题,其中24、25题各11分,26题12分,共34分)
24.(11分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=6cm.D为AC中点,过D作DE⊥AC交AB于点E.动点P从点D出发,沿射线DE以1cm/s的速度运动.过D作DM∥AB,过P作PM⊥DM于点M.设点P的运动时间为t(s).△PDM与△ABC重叠部分图形的面积为S(cm2).
(1)当点M落在BC边上时,求t的值;
(2)当点M在△ABC内部时,求S关于t的函数解析式,并直接写出自变量t的取值范围.
25.(11分)综合与实践
问题情境:数学活动课上,王老师出示了一个问题:如图1,在△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,AD=AE,∠ADE=∠BAC,延长BA至点F,连结EF.求证:∠DAC=∠EAF.
独立思考:(1)请解答王老师提出的问题.
实践探究:(2)在原有问题条件不变的情况下,王老师增加下面的条件,并提出新问题,请你解答.
“如图2,连结BE交AC于G,若∠AGE=∠GEF,AB=AF,求证AG=CD.”
问题解决:(3)数学活动小组同学解决完上述问题后,感悟了此题的数学思想方法,对此题进行变式,提出新的问题,请你解答.
“如图3,在△ABC中,AB=AC.点D在BC边上,点F在△ABC内.AD=AF,∠DAF=∠ADC,∠ADB=∠BAC,连结BF交AD于点E,求的值”.
26.(12分)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)和点B,与y轴交于点C(0,﹣2),连接AC,BC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在第四象限的抛物线上,设△ABC的面积为S1,△PBC的面积为S2,当S2=S1时,求点P的坐标;
(3)点M在抛物线上,当∠MAB=2∠ACO时,求点M的横坐标.
2022-2023学年辽宁省大连市高新区九年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确)
1.(3分)下列图形中,是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据中心对称图形的概念,进行判断即可.把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.
【解答】解:选项A、B、D的图形都不能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合,所以不是中心对称图形.
选项C的图形能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合,所以是中心对称图形.
故选:C.
2.(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,则sinB的值是( )
A. B. C. D.
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinB的值.
【解答】解:如图,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,AB=5,
∴sinB==.
故选:A.
3.(3分)点P(1,﹣2)关于原点对称的点的坐标是( )
A.(1,2) B.(﹣2,1) C.(﹣1.﹣2) D.(﹣1,2)
【分析】根据两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(﹣x,﹣y),进而得出答案.
【解答】解:点P(1,﹣2)关于原点对称的点的坐标是(﹣1,2).
故选:D.
4.(3分)用配方法解方程x2﹣4x=﹣2,下列配方正确的是( )
A.(x﹣2)2=2 B.(x+2)2=2 C.(x﹣2)2=﹣2 D.(x﹣2)2=0
【分析】根据配方法即可求出答案.
【解答】解:x2﹣4x+4=﹣2+4,
(x﹣2)2=2,
故选:A.
5.(3分)如图,AB是⊙O的直径,AC,BC是⊙O的弦,若∠A=20°,则∠B的度数为( )
A.70° B.90° C.40° D.60°
【分析】根据直径所对的圆周角为90°,即可求解.
【解答】解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠C=90°,
∵∠A=20°,
∴∠B=90°﹣∠A=70°,
故选:A.
6.(3分)将抛物线y=2(x﹣3)2+2向左平移2个单位,再向上平移3个单位,平移后所得抛物线的解析式为( )
A.y=2(x﹣5)2+5 B.y=2x2
C.y=2(x﹣1)2+5 D.y=2(x﹣1)2﹣1
【分析】根据左加右减,上加下减的平移规律求解即可.
【解答】解:将抛物线y=2(x﹣3)2+2向左平移2个单位,再向上平移3个单位,平移后所得抛物线的解析式为y=2(x﹣3+2)2+2+3,
即y=2(x﹣1)2+5,
故选:C.
7.(3分)在一个不透明的袋子里装有红球6个、黄球4个,这些球除颜色外都相同.小明从袋子中摸一次,摸到黄球的概率是( )
A. B. C. D.
【分析】根据概率公式即可得到结论.
【解答】解:∵一个不透明的袋子里装有红球6个、黄球4个,
∴小明从袋子中摸一次,摸到黄球的概率==,
故选:C.
8.(3分)关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个实数根,则实数k的取值范围是( )
A.k≤1 B.k>1 C.k=1 D.k≥1
【分析】根据所给的方程找出a,b,c的值,再根据关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个实数根,得出Δ=b2﹣4ac≥0,从而求出k的取值范围.
【解答】解:∵a=1,b=﹣2,c=k,
而方程有两个实数根,
∴Δ=b2﹣4ac=4﹣4k≥0,
∴k≤1;
故选:A.
9.(3分)如图,在△ABC中,以C为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC、BC于点E、F,再分别以E、F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧相交于点N,连结CN交AB于点D,过D作BC的平行线交AC于M,若BC=3,AC=2,则DM=( )
A. B. C. D.
【分析】由作图知道CD是角平分线,再有平行得到三角形相似,利用相似的性质求解.
【解答】解:设DM=x,
由作图得:CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD,
∵BC∥DM,
∴∠ACD=∠MDC,△ADM∽△ABC,
∴DM=CM=x,=,
即:=,
解得:x=,
故选:B.
10.(3分)如图,小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=﹣0.2x2+3.5的一部分,若命中篮圈中心,则他与篮圈底的距离l是( )
A.3m B.3.5m C.4m D.4.5m
【分析】如图,实际是求AB的距离,而OA已知,所以只需求出OB即可;而OB的长,又是C点的横坐标,所以把C点的纵坐标3.05代入解析式即可解答.
【解答】解:如图,
把C点纵坐标y=3.05代入y=0.2x2+3.5中得:
x=±1.5(舍去负值),
即OB=1.5,
所以l=AB=2.5+1.5=4.
故选:C.
二、填空题(本题共6小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)关于x的一元二次方程x2﹣3x+t=0的一个根为﹣1,则另一个根是 4 ,t= ﹣4 .
【分析】设另一个根为m,根据根与系数的关系可得﹣1+m=3,﹣m=t,进一步求解即可.
【解答】解:设另一个根为m,
∵一元二次方程x2﹣3x+t=0的一个根为﹣1,
∴﹣1+m=3,﹣m=t,
解得:m=4,t=﹣4.
故答案为:4,﹣4.
12.(3分)二次函数y=﹣(x﹣2)2+1,当x>3时,y随x的增大而 减小 .
【分析】首先确定对称轴,然后结合其开口方向确定答案即可.
【解答】解:∵二次函数y=﹣(x﹣2)2+1的对称轴为:x=2,且开口向下,
∴当x>2时,y随x的增大而减小,
∴当x>3时,y随x的增大而减小,
故答案为:减小.
13.(3分)从n个苹果和3个桔子中任选1个,若选中苹果的概率是,则n的值为 6 .
【分析】根据概率公式得=,然后利用比例性质求n的值.
【解答】解:根据题意得:=,
3n=2(n+3),
3n﹣2n=6,
n=6,
经检验,n=6是方程的解.
故答案为:6.
14.(3分)如图,在▱ABCD中,点E在边BC上,DE交对角线AC于F,若CE=2BE,△CEF的面积等于4,那么△AFD的面积等于 9 .
【分析】先证明△ADF∽△CEF,再根据相似三角形的性质求得结果.
【解答】解:∵CE=2BE,
∴设BE=x,则CE=2x,BC=3x,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC=3x,
∴△ADF∽△CEF,
∴,
∵△CEF的面积等于4,
∴S△ADF=S△ACD=4=9,
故答案为:9.
15.(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,以点A为圆心,AD长为半径画弧交BC于点E,连接AE,∠BAE=30°,则阴影部分的面积为 6﹣π .
【分析】根据矩形的性质得出∠DAB=∠B=90°,AB=2,可以求出AE的长,由∠BAE=30°,可以得出∠DAE的度数,再分别求出矩形ABCD、△ABE和扇形DAE的面积即可.
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=∠B=90°,
∵∠BAE=30°,
∴BE=AE,
∵AB=2,
∴AE2=AB2+BE2,
即AE2=+,
解得AE=4,
∴AD=AE=4,BE=AE=2,
∵∠DAE=∠DAB﹣∠BAE=90°﹣30°=60°,
∴阴影部分的面积S=S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形DAE
=4×2﹣×2×2﹣
=8﹣2﹣π
=6﹣π.
故答案为:6﹣π.
16.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC=a,将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE,若点E恰好为AC的中点,则BC的长为 a (用含a的代数式表示).
【分析】作BF⊥AC于点F,由AB=AC=4,E为AC的中点,得AE=CE=AC=2,由旋转得BE=BC,所以CF=EF=CE=1,再根据勾股定理得BC2﹣CF2=AB2﹣AF2=BF2,即可求出BC的长.
【解答】解:如图,作BF⊥AC于点F,则∠AFB=∠CFB=90°,
∵AB=AC=a,E为AC的中点,
∴AE=CE=AC=a,
由旋转得BE=BC,
∴CF=EF=CE=a,
∴AF=AE+EF=a,
∵BC2﹣CF2=AB2﹣AF2=BF2,
∴BC2﹣()2=a2﹣2,
∴BC=a,
故答案为:a.
三、解答题(本题共4小题,其中17题9分,18、19、20题各10分,共39分)
17.(9分)小明用描点法画抛物线y=﹣x2+4x﹣3.
(1)请帮小明完成下面的表格,并根据表中数据在所给的平面直角坐标系中描点,连线从而画出此抛物线;
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y=﹣x2+4x﹣3
…
﹣8
﹣3
0
1
0
﹣3
﹣8
…
(2)直接写出抛物线的对称轴,顶点坐标.
【分析】(1)将x=0,x=2,x=3分别代入函数解析式中,求出相应的y的值即可;
(2)根据(1)中的图象,可以直接写出抛物线的对称轴,顶点坐标.
【解答】解:(1)∵y=﹣x2+4x﹣3,
∴当x=0时,y=﹣3;当x=2时,y=1;当x=3时,y=0;
故答案为:﹣3,1,0;
抛物线如右图所示;
(2)由图象可得,
该抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,1).
18.(10分)某景区检票口有A、B、C共3个检票通道.小德和小禹两人到该景区游玩,两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票.
(1)小德选择A检票通道的概率是 ;
(2)用画树状图或列表法求小德和小禹两人选择的检票通道恰好相同的概率.
【分析】(1)直接根据概率公式求解即可;
(2)画树状图展示所有9种等可能的情况数,找出符合条件的结果数,然后根据概率公式求解.
【解答】解:(1)∵检票口有A,B,C共3个检票通道,
∴小德选择A检票通道的概率是.
故答案为:.
(2)根据题意画树状图为:
共有9种等可能的情况,其中小德和小禹选择的检票通道恰好相同的有3种情况,
则小德和小禹两人选择的检票通道恰好相同的概率是=.
19.(10分)如图,在△ABC中,点D在BC边上,∠ADC=∠BAC,CD=1,BD=3,求AC的长.
【分析】由题意可得BC=BD+CD=4,根据∠ADC=∠BAC,公共角∠C=∠C,即可证明△ADC∽△BAC,根据相似三角形的性质即可得到结果.
【解答】解:∵CD=1,BD=3,
∴BC=BD+CD=4,
∵∠ADC=∠BAC,∠C=∠C,
∴△ADC∽△BAC,
∴,
即AC2=CD•BC=4,
∴AC=2(负值舍去).
20.(10分)疫情期间“停课不停学”,辽宁省初中数学学科开通公众号进行公益授课,9月份该公众号关注人数为5000人,11月份该公众号关注人数达到7200人,若从9月份到11月份,每月该公众号关注人数的平均增长率相同,求该公众号关注人数的月平均增长率.
【分析】设该公众号关注人数的月平均增长率为x,根据题意题意列出方程,解方程即可.
【解答】解:设该公众号关注人数的月平均增长率为x,
根据题意得:5000(1+x)2=7200,
解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(舍去),
答:该公众号关注人数的月平均增长率20%.
四、解答题(本题共3小题,其中21题9分,22、23题各10分,共29分)
21.(9分)数学兴趣小组测量建筑物AB的高度.如图,在建筑物AB前方搭建高台CD进行测量.高台CD到AB的距离BC为6米,在高台顶端D处测得点A的仰角为40°,测得点B的俯角为30°.
(1)填空:∠ADB= 70 °;
(2)求建筑物AB的高度(结果保留整数).
(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,≈1.73)
【分析】(1)过点D作DE⊥AB,垂足为E,根据题意可得:∠ADE=40°,∠BDE=30°,然后利用角的和差关系进行计算即可解答;
(2)根据题意可得:DE=BC=6米,然后分别在Rt△ADE和Rt△DEB中,利用锐角三角函数的定义求出AE,BE的长,从而利用线段的和差关系进行计算即可解答.
【解答】解:(1)过点D作DE⊥AB,垂足为E,
由题意得:
∠ADE=40°,∠BDE=30°,
∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=40°+30°=70°,
故答案为:70;
(2)由题意得:DE=BC=6米,
在Rt△ADE中,∠ADE=40°,
∴AE=DE•tan40°≈6×0.84=5.04(米),
在Rt△DEB中,∠BDE=30°,
∴BE=DE•tan30°=6×=2≈3.46(米),
∴AB=AE+EB=5.04+3.46≈9(米),
∴建筑物AB的高度约为9米.
22.(10分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,过O作OD⊥AC于点E,延长OE至点D,连结CD,使∠D=∠A.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AB=CD=2,求AC的长.
【分析】(1)连接OC,根据垂直的定义得到∠DEC=90°,求得∠D+∠DCE=90°,根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACO,推出OC⊥CD,根据切线的判定定理即可得到结论;
(2)根据勾股定理得到OD===5,根据三角形的面积公式得到CE===2,根据垂径定理即可得到结论.
【解答】(1)证明:连接OC,
∵OD⊥AC,
∴∠DEC=90°,
∴∠D+∠DCE=90°,
∵∠A=∠D,
∴∠A+∠DCE=90°,
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO,
∴∠ACO+∠DCE=90°,
∴OC⊥CD,
∵OC是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线;
(2)解:∵AB=CD=2,
∴OC=,
∴OD===5,
∵S△COD=OC•CD=OD•CE,
∴CE===2,
∵OD⊥AC,
∴AC=2CE=4.
23.(10分)某公司研发了一款成本为30元的新型产品,投放市场进行销售.按照物价部门规定,销售单价不低于成本且不高于70元,调研发现每天的销售量y(个)与销售单价x(元)满足一次函数关系,其图象如图所示.
(1)求每天的销售量y(个)与销售单价x(元)的函数关系式;
(2)销售单价为多少元时,每天获得的利润最大,最大利润是多少元?
【分析】(1)由待定系数法可得函数的解析式;
(2)设每天获得的利润为w元,由题意得二次函数,写成顶点式,可求得答案.
【解答】解:(1)设y=kx+b(k≠0),
将点(40,60),(60,40)代入得:,
解得,
∴每天的销售量y(个)与销售单价x(元)的函数关系式y=﹣x+100;
(2)设每天获得的利润为w元,
由题意得w=(x﹣30)(﹣x+100)=﹣x2+130x﹣3000=﹣(x﹣65)2+1225,
∵按照物价部门规定,销售单价不低于成本且不高于70元,
∴30≤x≤70,
∵a=﹣2<0,抛物线开口向下,
∴当x=65时,w有最大值,w最大值=1225,
∴销售单价为65元时,每天获得的利润最大,最大利润是1225元.
五、解答题(本题共3小题,其中24、25题各11分,26题12分,共34分)
24.(11分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=6cm.D为AC中点,过D作DE⊥AC交AB于点E.动点P从点D出发,沿射线DE以1cm/s的速度运动.过D作DM∥AB,过P作PM⊥DM于点M.设点P的运动时间为t(s).△PDM与△ABC重叠部分图形的面积为S(cm2).
(1)当点M落在BC边上时,求t的值;
(2)当点M在△ABC内部时,求S关于t的函数解析式,并直接写出自变量t的取值范围.
【分析】(1)根据题意可得AB=10cm,DM=5cm,再根据DM∥AB,PM⊥DM可得∠PDM=∠B,∠PMD=∠ACB=90°,从而可证△PDM∽△ABC,根据相似三角形的性质可得PD=cm,以此即可求解;
(2)当点M在△ABC内部时,在(1)的情况下,达到了最大值,①当0<t≤3时,S=S△PDM,此时PD=t,由△PDM∽△ABC可得PM=,DM=,以此即可算出S;②当3<t≤时,过E作EQ⊥DM交DM于点Q,S=S四边形EDMN=S△EDQ+S四边形ENMQ,根据题意可得DE=3,四边形ENMQ为矩形,再由△DQE∽△BCA得DQ=,QE=,,根据△PEN∽△EDQ得EN=,以此即可算出S.
【解答】解:(1)如图,此时点M落在BC边上,
∵∠ACB=90°,AC=8cm,BC=6cm,
∴cm,
∵D为AC中点,DM∥AB,
∴cm,
∵DE⊥AC,
∴∠PDC=90°,
∵DM∥AB,
∴∠A=∠MDC,
∵∠A+∠B=90°,∠PDM+∠MDC=90°,
∴∠PDM=∠B,
∵PM⊥DM,
∴∠PMD=∠ACB=90°,
∴△PDM∽△ABC,
∴,即,
∴PD=cm,
∴t=(s),
∴当点M落在BC边上时,t的值为;
(2)由(1)可知,当点M在△ABC内部时,在(1)的情况下,达到了最大值,
当点P位于点D位置时,达到了最小值,
①当0<t≤3时,S=S△PDM,
此时PD=t,
根据△PDM∽△ABC,可得,
即,
∴PM=,DM=,
∴,
∴;
②当3<t≤时,如图,过E作EQ⊥DM交DM于点Q,
S=S四边形EDMN=S△EDQ+S四边形ENMQ,
∵D为AC中点,DE⊥AC,
∴DE∥BC,
∴,
∵EQ⊥DM,PM⊥DM,
∴EQ∥PM,四边形ENMQ为矩形,
∴△DQE∽△DMP,
∴△DQE∽△BCA,
∴,即,
∴DQ=,QE=,
∴,
此时,PD=t,PE=t﹣3,
∵DM∥AB,
∴△PEN∽△EDQ,
∴,即,
∴EN=,
∴=,
∴S=S四边形EDMN=S△EDQ+S四边形ENMQ=,
综上,当0<t≤3时,;当3<t≤时,.
25.(11分)综合与实践
问题情境:数学活动课上,王老师出示了一个问题:如图1,在△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,AD=AE,∠ADE=∠BAC,延长BA至点F,连结EF.求证:∠DAC=∠EAF.
独立思考:(1)请解答王老师提出的问题.
实践探究:(2)在原有问题条件不变的情况下,王老师增加下面的条件,并提出新问题,请你解答.
“如图2,连结BE交AC于G,若∠AGE=∠GEF,AB=AF,求证AG=CD.”
问题解决:(3)数学活动小组同学解决完上述问题后,感悟了此题的数学思想方法,对此题进行变式,提出新的问题,请你解答.
“如图3,在△ABC中,AB=AC.点D在BC边上,点F在△ABC内.AD=AF,∠DAF=∠ADC,∠ADB=∠BAC,连结BF交AD于点E,求的值”.
【分析】(1)说明∠DAE=∠CAF即可证明结论;
(2)首先利用SAS证明△ADC≌△AEF,得DC=EF,取BE的中点H,连接AH,可知AH为△BEF的中位线,由∠AHG=∠AGH,则AG=AH=,即可证明结论;
(3)延长BA至点M,使AC=AM,连接FM,利用两边成比例且夹角相等得△ADC∽△AFM,从而说明AD∥FM,得△ABE∽△MBF,设AB=3a,AC=2a,AM=a,进而解决问题.
【解答】(1)证明:∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED,
∴∠DAE=180°﹣2∠ADE,
∵∠ADE=,
∴∠DAE=180°﹣∠BAC=∠CAF,
∴∠DAC+∠CAE=∠CAE+∠EAF,
∴∠DAC=∠EAF;
(2)证明:∵AB=AF,AB=AC,
∴AF=AC,
又∵∠DAC=∠EAF,AD=AE,
∴△ADC≌△AEF(SAS),
∴DC=EF,
如图2,取BE的中点H,连接AH,
∵AB=AF,
∴A为BF的中点,
∴AH为△BEF的中位线,
∴AH∥EF,AH=,
∴∠AHB=∠GEF,
∵∠GEF=∠AGE,
∴∠AHB=∠AGE,
∴∠AHG=∠AGH,
∴AG=AH=,
∵EF=CD,
∴AG=;
(3)解:如图3,延长BA至点M,使AC=AM,连接FM,
∴,
∵∠ADC+∠ADB=180°,∠ADB=∠BAC,
∴∠ADC+∠BAC=180°,
∵∠BAC+∠CAM=180°,
∴∠ADC=∠CAM,
∵∠ADC=∠DAF,
∴∠DAF=∠CAM,
∴∠DAC=∠FAM,
∴△ADC∽△AFM,
∴∠ADC=∠AFM,
∵∠ADC=∠DAF,
∴∠DAF=∠AFM,
∴AD∥FM,
∴△ABE∽△MBF,
∴,
∵AB=,AC=,
∴设AB=3a,AC=2a,AM=a,
∴BM=AB+AM=3a+a=a,
∴,
∴AE=,
又∵△ADC∽△AFM,
∴,
∴DC=MF,
∴=.
26.(12分)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)和点B,与y轴交于点C(0,﹣2),连接AC,BC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在第四象限的抛物线上,设△ABC的面积为S1,△PBC的面积为S2,当S2=S1时,求点P的坐标;
(3)点M在抛物线上,当∠MAB=2∠ACO时,求点M的横坐标.
【分析】(1)将A(﹣1,0)、C(0,﹣2)代入y=x2+bx+c,列方程组并且解该方程组求出b、c的值,即可得到抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2;
(2)先求得B(4,0),则S△ABC=AB•OC=5,再求得直线BC的解析式为y=x﹣2,作PH⊥x轴于点H,交BC于点G,设P(x,x2﹣x﹣2),则G(x,x﹣2),所以PG=x﹣2﹣(x2﹣x﹣2)=﹣x2+2x,可求得S△PBC=﹣x2+4x,由S△PBC=S△ABC,得﹣x2+4x=×5,解方程求出x的值即可;
(3)取AB点中E,连接CE,则E(,0),可证明△AOC∽△COB,得∠ACO=∠CBO,再证明∠ACB=90°,则BE=CE=AB,即可证明∠AEC=2∠CBO=2∠ACO,再分两种情况讨论,一是点M在x轴的上方,则AM∥CE,可求得直线CE的解析式为y=x﹣2,进而求得直线AM的解析式为y=x+,将其与抛物线的解析式联立方程组,即可求出此时点M的横坐标;二是点M′在x轴的下方,可求得直线AM′的解析式为y=﹣x﹣,将其与抛物线的解析式联立方程组,即可求出此时点M′的横坐标.
【解答】解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(﹣1,0)和点C(0,﹣2),
∴,解得,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2.
(2)抛物线y=x2﹣x﹣2,当y=0时,则x2﹣x﹣2=0,
解得x1=4,x2=﹣1(不符合题得,舍去),
∴B(4,0),
∴S△ABC=AB•OC=×(4+1)×2=5,
设直线BC的解析式为y=kx﹣2,则4k﹣2=0,
解得k=,
∴直线BC的解析式为y=x﹣2,
如图1,作PH⊥x轴于点H,交BC于点G,
设P(x,x2﹣x﹣2)(0<x<4),则G(x,x﹣2),
∴PG=x﹣2﹣(x2﹣x﹣2)=﹣x2+2x,
∴S△PBC=OH•PG+BH•PG=×4PG=2(﹣x2+2x)=﹣x2+4x,
∵S△ABC=S1=5,S△PBC=S2=﹣x2+4x,,且S2=S1,
∴﹣x2+4x=×5,
解得x1=x2=2,
∴点P的坐标为(2,﹣3).
(3)如图2,取AB点中E,连接CE,则E(,0),
∵==,∠AOC=∠COB=90°,
∴△AOC∽△COB,
∴∠ACO=∠CBO,
∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=∠CBO+∠BCO=90°,
∴BE=CE=AB,
∴∠ECB=∠CBO,
∴∠AEC=∠ECB+∠CBO=2∠CBO=2∠ACO,
当点M在x轴的上方,设AM交y轴于点D,
∵∠MAB=2∠ACO=∠AEC,
∴AM∥CE,
设直线CE的解析式为y=mx﹣2,则m﹣2=0,
解得m=,
∴直线CE的解析式为y=x﹣2,
设直线AM的解析式为y=x+a,则﹣+a=0,
解得a=,
∴直线AM的解析式为y=x+,
由得x2﹣x﹣2=x+,
解得x1=,x2=﹣1(不符合题意,舍去),
∴点M的横坐标为;
当点M′在x轴的下方,设AM′交y轴于点F,
直线y=x+,当x=0时,y=,
∴D(0,),
∵∠M′AB=2∠ACO=∠MAB,OA=OA,∠AOF=∠AOD=90°,
∴△OAF≌△OAD(ASA),
∴OF=OD=,
∴F(0,﹣),
设直线AM′的解析式为y=nx﹣,则﹣n﹣=0,
解得n=﹣,
∴直线AM′的解析式为y=﹣x﹣,
由得x2﹣x﹣2=﹣x﹣,
解得x1=,x2=﹣1(不符合题意,舍去),
∴点M′的横坐标为,
综上所述,点M的横坐标为或.
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