辽宁省大连市西岗区第三十四中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省大连市西岗区第三十四中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷(含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省大连三十四中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是（　　）
A．45 B．43 C．35 D．34
3．（3分）一元二次方程x2﹣1＝0的根是（　　）
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝x2＝1
4．（3分）如图，在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm，则⊙O的半径是（　　）

A．6cm B．10cm C．8cm D．20cm
5．（3分）二次函数y＝3（x﹣1）2+1的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（　　）
A．y＝3（x+1）2﹣2 B．y＝3（x﹣1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2
6．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝6，DB＝4，BC＝15，则DE的长度为（　　）

A．6 B．9 C．10 D．12
7．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠CAB＝38°，则∠D的度数为（　　）

A．38° B．42° C．48° D．52°
8．（3分）小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数y=-13x2+83x+3，则小强此次成绩为（　　）
A．8米 B．9米 C．10米 D．12米
9．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（3，y2）是抛物线y＝（x﹣2）2+k上的两点，则y1，y2的大小关系为（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定
10．（3分）如图，点A（5，0），B（0，3），P为x轴上一动点，将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PC，连接AC．则AC的最小值是（　　）

A．2 B．3 C．2 D．4
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3与y轴的交点坐标是 　 　．
12．（3分）已知x＝1是方程x2﹣2x+k＝0的一个根，则k＝　 　．
13．（3分）将圆心角为150°的扇形围成底面圆半径为3cm的圆锥，则圆锥的母线长为 　 　cm．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2DE，BD与CE相交于点F，若△DEF的面积是3，则△BCF的面积是 　 　．

15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1）．将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，则点B'的坐标为 　 　．

16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，点D在BC边上，点E在AB边上，∠ADE＝∠B．若设BD的长为x，AE的长为y，则y关于x的函数解析式为 　 　．（不需要写自变量x的取值范围）

三、解答题（本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分）
17．（9分）计算：(-12)-2+12-2cos30°-|2-3|．
18．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC＝34°．则∠BAF的度数为 　 　；
（2）若AC＝12，BC＝9，求AF的长．

19．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连接DE，F为线段DE上一点，连接AF，若∠DAF＝∠EDC．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=63，AD＝12，AF=43，求DE的长．

20．（10分）如图，用长为24米的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为x（m），面积为y（m）．
（1）求y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围；
（2）如果要围成面积为36m2的花圃，那么AB的长为多少？
（3）求出所能围成的花圃的最大面积．

四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．（9分）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）请求出这个反比例函数的解析式；
（2）若使用时电阻R＝12Ω，则电流I是 　 　A．
（3）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？

22．（10分）体温检测是疫情防控中的一项重要工作，某公司设计了一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测．如图，AC是水平地面，其中AB是测温区域，测温仪安装在竖直标杆PC上的点D处，设备安装高度CD为2米，若该测温仪能识别体温的最大张角为72°（即∠ADC＝72°），能识别体温的最小张角为26.6°（即∠BDC＝26.6°）．求：测温区域AB的长度．（结果保留整数，参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.32，tan72°≈3.00，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）

23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若AB=45，AD＝8，求EF的长．

五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．（11分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，动点P从点A出发，以5cm/s的速度沿AB方向向终点B运动，当点P不与点A重合时，过点P作PD⊥AC于点D，PE∥AC，过点D作DE∥AB，DE与PE相交于点E．设点P的运动时间为t（s）．
（1）线段AD的长 　 　cm；（用含t的代数式表示）
（2）当点E落在BC边上时，求t的值；
（3）设△DPE与△ABC重叠部分的面积为S（cm2）．求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．

25．（11分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点A作直线MN，使∠CAB＝∠CAM，过点B作BN⊥MN于点N，过点C作CM⊥MN于点M．
（1）猜想∠ACM与∠BAN的数量关系，并说明理由；
（2）求证：AB＝AN+2AM；
（3）如图2，连接NC交AB于点G，若CG=34NG，CM＝6，求AC的长．


26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（3，0），A（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M为直线BC上方抛物线上一动点，作MN⊥BC于N，当MN长度最大时，求M点坐标；
（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接AC，CD，点P在第四象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．



2022-2023学年辽宁省大连三十四中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是（　　）
A．45 B．43 C．35 D．34
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC=AB2-BC2=52-32=4，
∴tanA=BCAC=34，
故选：D．
3．（3分）一元二次方程x2﹣1＝0的根是（　　）
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝x2＝1
【解答】解：方程移项得：x2＝1，
开方得：x＝±1，
即x1＝1，x2＝﹣1．
故选：C．
4．（3分）如图，在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm，则⊙O的半径是（　　）

A．6cm B．10cm C．8cm D．20cm
【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，
∵弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm
∴OE＝6cm，AE=12AB＝8cm，
在Rt△AOE中，根据勾股定理得，OA=OE2+AE2=10cm
故选：B．

5．（3分）二次函数y＝3（x﹣1）2+1的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（　　）
A．y＝3（x+1）2﹣2 B．y＝3（x﹣1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2
【解答】解：二次函数y＝3（x﹣1）2+1的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是：y＝3（x﹣1+2）2+1﹣3，即y＝3（x+1）2﹣2．
故选：A．
6．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝6，DB＝4，BC＝15，则DE的长度为（　　）

A．6 B．9 C．10 D．12
【解答】解：∵AD＝6，DB＝4，
∴AB＝AD+DB＝10．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∴ADAB=DEBC．
∴DE=AD⋅BCAB=6×1510=9．
故选：B．
7．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠CAB＝38°，则∠D的度数为（　　）

A．38° B．42° C．48° D．52°
【解答】解：连接BC

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝38°，
∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠CAB＝52°，
∵AC=AC，
∴∠ADC＝∠B＝52°，
故选：D．
8．（3分）小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数y=-13x2+83x+3，则小强此次成绩为（　　）
A．8米 B．9米 C．10米 D．12米
【解答】解：在函数y=-13x2+83x+3中，当y＝0时，-13x2+83x+3＝0，
解得x1＝﹣1（舍去），x2＝9，
即小强此次成绩为9米，
故选：B．
9．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（3，y2）是抛物线y＝（x﹣2）2+k上的两点，则y1，y2的大小关系为（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+K，
∴此抛物线开口向上，对称轴x＝2，
∵A（﹣2，y1）关于对称轴的对称点是（6，y1），
∵此抛物线开口向上，对称轴x＝2，
∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，
∵3＜6，
∴y1＞y2．
故选：B．
10．（3分）如图，点A（5，0），B（0，3），P为x轴上一动点，将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PC，连接AC．则AC的最小值是（　　）

A．2 B．3 C．2 D．4
【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，

∵将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PC，
∴∠BPO+∠CPD＝90°，BP＝PC，
∵∠BPO+∠PBO＝90°，
∴∠PBO＝∠CPD，
∵∠BOP＝∠PDC＝90°，
∴△BOP≌△PDC（AAS），
∴OP＝DC，OB＝PD，
设点P的坐标为点（a，0），
∵A（5，0），B（0，3），
∴OP＝DC＝a，OB＝PD＝3，
∴OD＝OP+PD＝a+3，
∴AD＝OA﹣OD＝5﹣（a+3）＝2﹣a，
∴点C的坐标为（a+3，a），
根据勾股定理得：
AC2＝（2﹣a）2+a2
＝2a2﹣4a+4
＝2（a﹣1）2+2，
∴AC2的最小值为2，
∴AC的最小值为2．
故选：A．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3与y轴的交点坐标是 　（0，3）　．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+3，
∴当x＝0时，y＝3，
即二次函数y＝﹣x2+2x+3与y轴的交点坐标是（0，3），
故答案为：（0，3）．
12．（3分）已知x＝1是方程x2﹣2x+k＝0的一个根，则k＝　1　．
【解答】解：∵x＝1是关于x的方程x2﹣2x+k＝0的一个根，
∴12﹣2+k＝0
解得：k＝1．
故答案为：1．
13．（3分）将圆心角为150°的扇形围成底面圆半径为3cm的圆锥，则圆锥的母线长为 　365　cm．
【解答】解：设圆锥的母线长为l，
根据题意得：150πl180=2π×3，
解得l=365．
故答案为：365．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2DE，BD与CE相交于点F，若△DEF的面积是3，则△BCF的面积是 　27　．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=∥BC，
∴∠EDF＝∠CBF，
∵∠EFD＝∠CFB，
∴△DEF∽△BCF，
∵AE＝2DE，AD＝BC，
∴DE：BC＝1：3，
∴S△DEF：S△BCF＝DE2：BC2，即3：S△BCF＝1：9，
∴S△BCF＝27．
故答案为：27．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1）．将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，则点B'的坐标为 　（2，1）　．

【解答】解：△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，如图所示，
结合图形可得点B′的坐标为（2，1）．
故答案为：（2，1）．

16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，点D在BC边上，点E在AB边上，∠ADE＝∠B．若设BD的长为x，AE的长为y，则y关于x的函数解析式为 　y=113x2-2413x+13　．（不需要写自变量x的取值范围）

【解答】解：∵∠ADE＝∠B，∠DAE＝∠DAB，
∴△ADE∽△ABD，
∴ADAB=AEAD，
∴AD2＝AB•AE＝13y，
∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，
∴BC=AB2-AC2=12，
∵AD2＝AC2+CD2，
∴13y＝25+（12﹣x）2，
∴y=113x2-2413x+13，
故答案为：y=113x2-2413x+13．
三、解答题（本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分）
17．（9分）计算：(-12)-2+12-2cos30°-|2-3|．
【解答】解：(-12)-2+12-2cos30°-|2-3|
＝4+23-2×32-（2-3）
＝4+23-3-2+3
＝4﹣2+23
＝2+23．
18．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC＝34°．则∠BAF的度数为 　82°　；
（2）若AC＝12，BC＝9，求AF的长．

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝34°，
∴∠ABC＝56°，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠EBF＝∠ABC＝56°，AB＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA=12（180°﹣56°）＝82°；
故答案为：82°；
（2）∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，
∴AB＝15，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴BE＝BC＝9，EF＝AC＝12，
∴AE＝AB﹣BE＝15﹣9＝6，
∴AF=AE2+EF2=62+122=65．
19．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连接DE，F为线段DE上一点，连接AF，若∠DAF＝∠EDC．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=63，AD＝12，AF=43，求DE的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝63，
∵△ADF∽△DEC，
∴ADDE=AFDC，
∴12DE=4363，
∴DE＝18．
20．（10分）如图，用长为24米的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为x（m），面积为y（m）．
（1）求y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围；
（2）如果要围成面积为36m2的花圃，那么AB的长为多少？
（3）求出所能围成的花圃的最大面积．

【解答】解：（1）设AB长为xm，则BC长为（24﹣3x）m，
∴y＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，
∵3x＜24且24﹣3x≤10，
∴143≤x＜10，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣3x2+24x（143≤x＜10）；
（2）由题意得：﹣3x2+24x＝36，
解得：x＝或6，
∵143≤x＜10，
∴x＝6，
∴如果要围成面积为36m2的花圃，那么AB的长应为6m；
（3）由题意知：y＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵﹣3＜0，
∴当x＞4时，y随x的增大而减小，
∵143≤x＜10，
∴当x＝4时，y有最大值48，
答：篱笆围成的花圃的最大面积为48m2．
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．（9分）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）请求出这个反比例函数的解析式；
（2）若使用时电阻R＝12Ω，则电流I是 　4　A．
（3）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？

【解答】解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I=kR，
∵图象经过（8，6），
∴6=k8，
解得k＝6×8＝48，
∴I=48R；
（2）蓄电池的电压是6×8＝48；
电阻R＝12Ω，则电流I是48÷12＝4A；
故答案为：4；
（3）∵I≤10，I=48R，
∴48R≤10，
∴R≥4.8，
即用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内．
22．（10分）体温检测是疫情防控中的一项重要工作，某公司设计了一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测．如图，AC是水平地面，其中AB是测温区域，测温仪安装在竖直标杆PC上的点D处，设备安装高度CD为2米，若该测温仪能识别体温的最大张角为72°（即∠ADC＝72°），能识别体温的最小张角为26.6°（即∠BDC＝26.6°）．求：测温区域AB的长度．（结果保留整数，参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.32，tan72°≈3.00，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）

【解答】解：由题意可知：∠C＝90°，∠CDA＝72°，DC＝2米，
∴AC＝DC•tan72°＝6（米），
∵∠BDC＝26.6°，
∴BC＝DC•tan26.6°＝1（米），
∴AB＝AC﹣BC＝5（米）．
答：测温区域AB的长度为5米．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若AB=45，AD＝8，求EF的长．

【解答】（1）证明：连接OD，

∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠EAD．
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD．
∴∠ODA＝∠EAD．
∴OD∥AE．
∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在⊙O上，
∴EF与⊙O相切；
（2）解：连接BD，作DG⊥AB于G，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝45，AD＝8，
∴BD=AB2-AD2=80-64=4，OD=12AB＝25，
∵12AB•DG=12AD•BD，
∴45×DG＝8×4，
∴DG=855，
∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，DG⊥AB，
∴DE＝DG=855，
∴AE=AD2-DE2=82-(855)2=1655，
∵OD∥AE，
∴△ODF∽△AEF，
∴DFEF=ODAE，
∴EF-EDEF=ODAE，
∴EF-855EF=251655，
∴EF=64515．
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．（11分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，动点P从点A出发，以5cm/s的速度沿AB方向向终点B运动，当点P不与点A重合时，过点P作PD⊥AC于点D，PE∥AC，过点D作DE∥AB，DE与PE相交于点E．设点P的运动时间为t（s）．
（1）线段AD的长 　4t　cm；（用含t的代数式表示）
（2）当点E落在BC边上时，求t的值；
（3）设△DPE与△ABC重叠部分的面积为S（cm2）．求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．

【解答】解：（1）在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB=AC2+BC2=82+62=10，
∵PD⊥AC，
∴cosA=ADAP=ACAB，
∴AD5t=810，
∴AD＝4t，
故答案为：4t．
（2）如图，当点E落在BC上时，

∵DE∥AB，PE∥AD，
∴四边形APED是平行四边形，
∴DE＝AP＝5t，AD＝PE＝4t，
∴DEAB=CDAC，
∴5t10=8-4t8，
解得t＝1，
∴当点E落在BC边上时，t的值为1．
（3）①如右图中，
当0＜t≤1时，重叠部分是△PDE，
∵PE∥AD，
∴∠DPE＝∠ADP＝90°，
∵DE＝5t，PE＝4t，
∴PD＝3t，
∴S=12•PD•PE=12×3t×4t＝6t2．
②如图中，

当1＜t≤2时，S=12•（MN+PD）•PN=12[3t+3t-35（10﹣5t）]•45（10﹣5t）＝﹣18t2+48t﹣24，
综上所述，当0＜t≤1时，S＝6t2；当1＜t≤2时，S＝﹣18t2+48t﹣24．

25．（11分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点A作直线MN，使∠CAB＝∠CAM，过点B作BN⊥MN于点N，过点C作CM⊥MN于点M．
（1）猜想∠ACM与∠BAN的数量关系，并说明理由；
（2）求证：AB＝AN+2AM；
（3）如图2，连接NC交AB于点G，若CG=34NG，CM＝6，求AC的长．


【解答】（1）解：结论：∠NAB＝2∠ACM．
理由：∵CM⊥MN，
∴∠ACM+∠CAM＝90°，
∴∠CAM＝90°﹣∠ACM，
∵∠CAB＝∠CAM，
∴2∠CAM+∠BAN＝180°，
∴2（90°﹣∠ACM）+∠BAN＝180°，
∴∠BAN＝2∠ACM；

（2）证明：如图1中，延长AM到T，使得MT＝AM，连接CT．

∵CM⊥AT．AM＝TM，
∴CA＝CT，
∴∠T＝∠CAT＝∠CAB，
∵BN⊥AN，
∴∠ANB＝90°，
∵∠ACB＝∠BNA＝90°，
∴A，C，B，N四点共圆，
∴∠CNT＝∠ABC，
∴△NCT≌△BCA（AAS），
∴NT＝AB，
∵NT＝AN+AT＝AN+2AM，
∴AB＝AN+2AM；

（3）解：如图2中，过点C作CK⊥BN于点K，CJ⊥AB于点J，过点N作NQ⊥AB于点Q．

∵∠CMN＝∠MNK＝∠CKN＝90°，
∴四边形MNKC是矩形，
∴CM＝NK＝6，
∵A，C，B，N四点共圆，
∴∠CAB＝∠CNB，∠CAM＝∠CBN，
∴∠CNB＝∠CBN，
∴CN＝CB，
∵CK⊥BN，
∴NK＝KB＝6，
∴BN＝12，
∵CM⊥AM，CJ⊥AB，CA平分∠MAB，
∴CJ＝CM＝6，
∵CJ⊥AB，NQ⊥AB，
∴CJ∥NQ，
∴△CJG∽△NQG，
∴CGNG=CJNQ=34，
∴NQ＝8，
∴BQ=BN2-NQ2=122-82=45，
∵∠ANB＝90°，NQ⊥AB，
∴△AQN∽△NQB，
∴NQ2＝AQ•QB，
∴NQ=1655，
∴AN=AQ2+NQ2=(1655)2+82=2455，
∴AB＝AQ+BQ=3655，
∵AB＝AN+2AM，
∴AM=655，
∴AC=CM2+AM2=62+(655)2=6305．
26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（3，0），A（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M为直线BC上方抛物线上一动点，作MN⊥BC于N，当MN长度最大时，求M点坐标；
（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接AC，CD，点P在第四象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


【解答】解：（1）由题意得：-9+3b+c=0-1-b+c=0，
解得：a=-1b=2，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）设直线BC的表达式为：y＝kx+3，
将点B坐标代入上式得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，
即直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点M（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
由抛物线的表达式知，点C（0，3），
则OB＝OC＝3，则∠OCD＝∠OBC＝45°，
过点M作MG⊥x轴于点G，交BC于点H，
∵∠HGB＝∠MNH＝90°，∠MHN＝∠BHG，
∴∠NMH＝∠HBG＝45°，
则MN=22MH=22（﹣x2+2x+3+x﹣3）=-22x2+322x，
∵-22＜0，故MN有最大值，
当x=32时，MN取得最大值，此时，点M（32，154）；

（3）存在，理由：
由抛物线的表达式知，点D（1，4），
过点D作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点G，则DG＝CG＝1，

即∠DCG＝45°，则∠OCD＝90°+45°＝135°，
则∠ACD＝135°+∠ACO；
过点Q作QM⊥x轴于点M，则∠CQM＝135°，
则∠PQC＝∠CQM+∠MQP＝135°+∠MQP＝∠ACD＝135°+∠ACO，
∴∠MQP＝∠ACO，
过点P作PN∥y轴交过点D与x轴的平行线于点N，
∵PN⊥x轴⊥QM，
∴PN∥QM，
∴∠NPD＝∠MQP＝∠ACO，
在Rt△AOC中，tan∠ACO=OACO=13=tan∠NPD，
设点P（m，﹣m2+2m+3），
则tan∠NPD=DNPN=m-14+m2-2m-3=13，
解得：m＝1（舍去）或4，
经检验，m＝4是方程的根，
则点P（4，﹣5）．