山东省济宁市邹城第十一中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份山东省济宁市邹城第十一中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省济宁市邹城第十一中学八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．下列长度的三条线段，能构成三角形的是（　　）
A．3，10，5 B．4，8，4 C．5，13，12 D．2，7，4
2．下列各组图形中，是全等形的是（　　）
A．两个含30°角的直角三角形
B．一个钝角相等的两个等腰三角形
C．边长为5和6的两个等腰三角形
D．腰对应相等的两个等腰直角三角形
3．已知：在△ABC中，∠A＝60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：
①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；
②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
上述说法中，正确的有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4．计算（﹣x）•（﹣2x2）（﹣4x4）的结果为（　　）
A．﹣4x6 B．﹣4x7 C．4x8 D．﹣4x8
5．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）

A．a2﹣b2 B．（a﹣b）2 C．（a+b）2 D．ab
6．化简+的结果是（　　）
A．x B．x﹣1 C．﹣x D．x+1
7．在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么△ABC中与这个角对应的角是（　　）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠D
8．如图所示，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于R点，PS⊥AC于S点，PR＝PS，则四个结论：①点P在∠A的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP，正确的结论是（　　）

A．①②③④ B．只有①② C．只有②③ D．只有①③
9．已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为（　　）
A．4 B．4或﹣2 C．±4 D．﹣2
10．对于非零的实数a、b，规定a⊕b＝﹣．若2⊕（2x﹣1）＝1，则x＝（　　）
A． B． C． D．﹣
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是　 　．

12．因式分解：x3﹣4x＝　 　．
13．如果关于x的分式方程无解，则m的值为　 　．
14．如图，△ABE≌△ADC≌△ABC，若：∠1＝150°，则∠α的度数为　 　．

15．如图，点B在射线AN上，以AB为边作等边△ABC，M为AN中点，且AN＝4，P为BC中点，当PM+PN最小时，AB＝　 　．

三、解答题（共55分）
16．先化简，再求值：，其中x是从﹣2，﹣1，1，2中选取的一个合适的数．
17．在△ABC中，BC＝8，AB＝1；
（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长．
18．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．
（1）求证：△BED是等腰三角形：
（2）当∠BCD＝　 　°时，△BED是等边三角形．

19．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

（1）上述操作能验证的等式是 　 　（请选择正确的一个）．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；
（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
20．若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（xm+yn）．例如：＝1×19×3÷（24+31）＝3．请根据这个规定解答下列问题：
（1）计算：＝　 　；
（2）代数式为完全平方式，则k＝　 　；
（3）解方程：＝6x2+7．
21．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？
22．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：　 　；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：　 　．


初中基础试卷
参考答案与试题解析
一．试题（共22小题）
1．下列长度的三条线段，能构成三角形的是（　　）
A．3，10，5 B．4，8，4 C．5，13，12 D．2，7，4
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
【解答】解：A、3+5＜10，不能够组成三角形，不符合题意；
B、4+4＝8，不能够组成三角形，不符合题意；
C、5+12＞13，能够组成三角形，符合题意；
D、2+4＜7，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边的关系，正确理解三边关系定理是解题关键．
2．下列各组图形中，是全等形的是（　　）
A．两个含30°角的直角三角形
B．一个钝角相等的两个等腰三角形
C．边长为5和6的两个等腰三角形
D．腰对应相等的两个等腰直角三角形
【分析】根据两个三角形全等的条件逐个判断得结论．
【解答】解：因为三个角对应相等的两个三角形不一定全等，所以选项A、B不是全等形；
腰为5底为6的三角形和腰为6底为5的三角形不全等，所以选项C不是全等形；
腰对应相等，顶角是直角的两个三角形满足“边角边”，所以选项D是全等形．
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．
3．已知：在△ABC中，∠A＝60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：
①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；
②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
上述说法中，正确的有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可判断①正确；由∠A＝60°，∠B＝∠C，利用三角形的内角和定理得到∠B＝∠C＝60°，即三个内角相等，可得出三角形ABC为等边三角形，判断②正确；由HL判定出直角三角形ACD与直角三角形AEC全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ACE＝∠BAC＝60°，再利用三角形的内角和定理得到第三个角也为60°，即三内角相等，可得出三角形ABC为等边三角形，判断③正确．
【解答】解：①若添加的条件为AB＝AC，由∠A＝60°，
利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；
②若添加条件为∠B＝∠C，
又∵∠A＝60°，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C，
则△ABC为等边三角形；
③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：

已知：∠BAC＝60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE＝CD，
求证：△ABC为等边三角形．
证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠AEC＝90°，
在Rt△ADC和Rt△CEA中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），
∴∠ACE＝∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴AB＝AC＝BC，即△ABC为等边三角形，
方法2：根据面积公式，高相等得到边相等，即AB＝BC，
在△ABC中，∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
综上，正确的说法有3个．
故选：A．
【点评】此题考查了等边三角形的判定，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定是解本题的关键．
4．计算（﹣x）•（﹣2x2）（﹣4x4）的结果为（　　）
A．﹣4x6 B．﹣4x7 C．4x8 D．﹣4x8
【分析】根据单项式乘以单项式法则进行计算即可．
【解答】解：（﹣x）•（﹣2x2）（﹣4x4）＝﹣4x7，
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方、单项式乘以单项式法则的应用，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键．
5．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）

A．a2﹣b2 B．（a﹣b）2 C．（a+b）2 D．ab
【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积＝正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案．
【解答】解：图1是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，
∴正方形的边长为：a+b，
∵由题意可得，正方形的边长为（a+b），
正方形的面积为（a+b）2，
∵原矩形的面积为4ab，
∴中间空的部分的面积＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．
故选：B．
【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．
6．化简+的结果是（　　）
A．x B．x﹣1 C．﹣x D．x+1
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣＝＝x，
故选：A．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么△ABC中与这个角对应的角是（　　）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠D
【分析】只要牢记三角形只能有一个钝角就易解了．
【解答】解：∵一个三角形中只能有一个钝角．
∴100°的角只能是等腰三角形中的顶角．
∴∠B＝∠C是底角，∠A是顶角
∴△ABC中与这个角对应的角是∠A．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点为：全等的三角形的对应角相等，知道一个三角形中只能有一个钝角是解决本题的关键．
8．如图所示，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于R点，PS⊥AC于S点，PR＝PS，则四个结论：①点P在∠A的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP，正确的结论是（　　）

A．①②③④ B．只有①② C．只有②③ D．只有①③
【分析】考查等边三角形的性质，在等边三角形中，角平分线即为中线，也为垂线，然后再利用全等，角相等进行判断．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR＝PS，∴P在∠A的平分线上，∴①正确；
由①可知，PB＝PC，∠B＝∠C，PS＝PR，∴△BPR≌△CPS，∴AS＝AR，②正确；
∵AQ＝PQ，∴∠PQC＝2∠PAC＝60°＝∠BAC，∴PQ∥AR，③正确；
由③得，△PQC是等边三角形，∴△PQS≌△PCS，又由②可知，④△BRP≌△QSP，④也正确
∵①②③④都正确，
故选：A．
【点评】熟练掌握等边三角形的性质．
9．已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为（　　）
A．4 B．4或﹣2 C．±4 D．﹣2
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【解答】解：∵x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，
∴2（m﹣1）＝±6，
解得：m＝4或m＝﹣2，
故选：B．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．对于非零的实数a、b，规定a⊕b＝﹣．若2⊕（2x﹣1）＝1，则x＝（　　）
A． B． C． D．﹣
【分析】根据新定义得到﹣＝1，然后把方程两边都乘以2（2x﹣1）得到2﹣（2x﹣1）＝2（2x﹣1），解得x＝，然后进行检验即可．
【解答】解：∵2⊕（2x﹣1）＝1，
∴﹣＝1，
去分母得2﹣（2x﹣1）＝2（2x﹣1），
解得x＝，
检验：当x＝时，2（2x﹣1）≠0，
故分式方程的解为x＝．
故选：A．
【点评】本题考查了解分式方程：先去分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，然后把整式方程的解代入原方程进行检验，最后确定分式方程的解．也考查了阅读理解能力．
11．如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是　cm2　．

【分析】延长AP交BC于点E，由角平分线的定义可知∠ABP＝∠EBP，结合BP＝BP以及∠APB＝∠EPB＝90°即可证出△ABP≌△EBP（ASA），进而可得出AP＝EP，根据三角形的面积即可得出S△APC＝SEPC，再根据S△PBC＝S△BPE+SEPC＝S△ABC即可得出结论．
【解答】解：延长AP交BC于点E，如图所示．
∵AP垂直∠B的平分线BP于点P，
∴∠ABP＝∠EBP．
在△ABP和△EBP中，，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝EP．
∵△APC和△EPC等底同高，
∴S△APC＝S△EPC，
∴S△PBC＝S△BPE+S△EPC＝S△ABC＝cm2．
故答案为：cm2．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积，根据三角形间的关系找出S△PBC＝S△ABC是解题的关键．
12．因式分解：x3﹣4x＝　x（x+2）（x﹣2）　．
【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：x3﹣4x
＝x（x2﹣4）
＝x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
13．如果关于x的分式方程无解，则m的值为　﹣3　．
【分析】首先将原分式方程化为整式方程，求得x＝2﹣m，又由原方程无解，即可得最简公分母为0，求得x的值，代入x＝2﹣m，求得m的值．
【解答】解：去分母得：x﹣2＝﹣m，
解得：x＝2﹣m，
∵原方程无解，
∴最简公分母：x﹣5＝0，
解得：x＝5，
即可得：m＝﹣3．
故答案为：﹣3
【点评】此题考查了分式无解的知识：即是最简公分母为0．此题难度不大，解题时注意要细心，注意转化思想的应用．
14．如图，△ABE≌△ADC≌△ABC，若：∠1＝150°，则∠α的度数为　60°　．

【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠BAE＝∠1，∠ACB＝∠E，然后根据周角等于360°求出∠2，再根据三角形的内角和定理求出∠α＝∠2，从而得解．
【解答】解：∵△ABE≌△ADC≌△ABC，
∴∠BAE＝∠1＝150°，∠ACB＝∠E，
∴∠2＝360°﹣∠1﹣∠BAE＝360°﹣150°﹣150°＝60°，
∴∠DFE＝180°﹣∠α﹣∠E，
∠AFC＝180°﹣∠2﹣∠ACD，
∵∠DFE＝∠AFC（对顶角相等），
∴180°﹣∠α﹣∠E＝180°﹣∠2﹣∠ACD，
∴∠α＝∠2＝60°．
故答案为：60°．

【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等的性质，准确识图，找出对应角是解题的关键．
15．如图，点B在射线AN上，以AB为边作等边△ABC，M为AN中点，且AN＝4，P为BC中点，当PM+PN最小时，AB＝　　．

【分析】在AC边上截取CM′＝BM，证明△CPM′≌△BPM可得PM′＝PM，得PM+PN＝PM′+PN，因为PM′+PN≥M′N，当NM′⊥AC时，NM′最小，可得NM′＝2，即PM+PN最小为2，作PM′⊥AC于点M′，作PM″⊥AB于点M″，连接AP，根据等边三角形的性质可得PM′＝PM″，根据含30度角的直角三角形可得BM″的长，进而可得AB的长．
【解答】解：如图，在AC边上截取CM′＝BM，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠CBA＝60°，
∵P为BC中点，
∴CP＝BP，
在△CPM′和△BPM中，
，
∴△CPM′≌△BPM（SAS），
∴PM′＝PM，
∴PM+PN＝PM′+PN，
∵PM′+PN≥M′N，
当NM′⊥AC时，NM′最小，
∴NM′＝AM′＝2，即PM+PN最小为2，
如图，作PM′⊥AC于点M′，作PM″⊥AB于点M″，连接AP，

∵△ABC是等边三角形，P为BC中点，
∴PM′＝PM″，∠PAM′＝30°，
∵AM′＝AM″＝2，
∴PM″＝PM′＝2×＝，
∵∠PBM″＝60°，
∴BM″＝，
∴AB＝AM″+BM″＝2+＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握最短路径问题．
16．先化简，再求值：，其中x是从﹣2，﹣1，1，2中选取的一个合适的数．
【分析】原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝••（x﹣1）＝，
当x＝﹣1时，原式＝﹣．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．在△ABC中，BC＝8，AB＝1；
（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长．
【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可；
（2）根据三角形的中线的定义得到AD＝CD，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，
∴7＜AC＜9，
∵AC是整数，
∴AC＝8；
（2）∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为10，
∴AB+AD+BD＝10，
∵AB＝1，
∴AD+BD＝9，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+BD＝8+9＝17．

【点评】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．
18．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．
（1）求证：△BED是等腰三角形：
（2）当∠BCD＝　150　°时，△BED是等边三角形．

【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE＝AC，DE＝AC，从而得到BE＝DE．
（2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出∠DEB＝∠DAB，即可得出∠DAB＝30°，然后根据四边形内角和即可求得答案．
【解答】证明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC边的中点，
∴BE＝AC，DE＝AC，
∴BE＝DE，
∴△BED是等腰三角形；
（2）∵AE＝ED，
∴∠DAE＝∠EDA，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，
∵∠DAE+∠EDA＝∠DEC，
∠EAB+∠EBA＝∠BEC，
∴∠DAB＝∠DEB，
∵△BED是等边三角形，
∴∠DEB＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°．
故答案为：150．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和判定以及三角形外角的性质等知识，根据题意得出∠DEB＝∠DAB是解题关键．
19．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

（1）上述操作能验证的等式是 　B　（请选择正确的一个）．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；
（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
【分析】（1）根据题意，由图1可得，阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形：a2﹣b2，由图2可得，拼成的长方形长为a+b，宽为a﹣b，面积为（a+b）（a﹣b），因为两部分面积相等，即可得出答案；
（2）根据平方差公式原式可化为，x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y），根据已知条件即可得出答案；
（3）根据平方差公式原式可化为，则，约分即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意，由图1可得，
阴影部分的面积为：a2﹣b2，
由图2可得，拼成的长方形长为a+b，宽为a﹣b，面积为（a+b）（a﹣b），
所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B．
（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，
∵x+3y＝4
∴x﹣3y＝3
（3）＝＝＝．
【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景及平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的几何背景平方差公式的应用进行求解是解决本题的关键．
20．若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（xm+yn）．例如：＝1×19×3÷（24+31）＝3．请根据这个规定解答下列问题：
（1）计算：＝　﹣　；
（2）代数式为完全平方式，则k＝　±3　；
（3）解方程：＝6x2+7．
【分析】（1）根据新定义运算代入数据计算即可求解；
（2）根据新定义运算代入数据计算，再根据完全平方式的定义即可求解；
（3）根据新定义运算代入数据得到关于x的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）
＝[2×（﹣3）×1]÷[（﹣1）4+31]
＝﹣6÷4
＝﹣．
故答案为：﹣；

（2）
＝[x2+（3y）2]+xk•2y
＝x2+9y2+2kxy，
∵代数式为完全平方式，
∴2k＝±6，
解得k＝±3．
故答案为：±3；

（3）＝6x2+7，
（3x﹣2）（3x+2）﹣[（x+2）（3x﹣2）+32]＝6x2+7，
解得x＝﹣4．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能熟记公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式为：①（a+b）2＝a2+2ab+b2，②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
21．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？
【分析】（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解．
【解答】解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，
＝
x＝15，
经检验x＝15是原方程的解．
∴40﹣x＝25．
甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；

（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，
，
解得20≤y＜24．
因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，
∴y取20，21，22，23，
共有4种方案．
【点评】本题考查理解题意的能力，第一问以件数作为等量关系列方程求解，第2问以玩具件数和钱数作为不等量关系列不等式组求解．
22．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：　EF＝BE+FD　；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：　EF＝BE+FD或EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE　．

【分析】（1）如图1，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，即可证明△ABG≌△ADF，可得AF＝AG，再证明△AEF≌△AEG，可得EF＝EG，即可解题；
（2）如图2，同理可得：EF＝BE+DF；
（3）如图3，作辅助线，构建△ABG，同理证明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的结论：EF＝BE﹣DF．
【解答】解：（1）如图1，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．
∵在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴AG＝AF，∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD＝∠EAF．
∴∠GAE＝∠EAF．
又AE＝AE，
易证△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD
（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．
理由是：如图2，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，
∴∠ABG＝∠D，
∵在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴AG＝AF，∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD＝∠EAF．
∴∠GAE＝∠EAF．
又AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD
（3）当（1）结论EF＝BE+FD成立，
当图三中，EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE．
证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS）．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．
同理可得：∴EG＝EF
∵EG＝BG﹣BE
∴EF＝FD﹣BE．
故答案为：（1）EF＝BE+FD；（2）成立；（3）EF＝BE+FD或EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE．



【点评】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出AF＝AG是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出EF＝EG，本题的4个问题运用了类比的方法依次解决问题．