河南省郑州市第七十三中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题

河南省郑州市第七十三中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．关于x的一元二次方程x－4x＋2=0的根的情况是（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．无实数根 D．有无实数根，无法判断

2．一元二次方程-8x-1=0配方后可变形为（　　）

A．=17 B．=15 C．=17 D．=15

3．在盒子里放有分别写有整式2，，x，的四张卡片，从中随机抽取两张把卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是　　

A． B． C． D．

4．观察下列表格，一元二次方程的一个近似解是（     ）

A．0.11 B．1.19 C．1.73 D．1.67

5．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个正方形，这个四边形最可能是（ ）

A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形

6．若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则b+c的值是（　　）

A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1

7．如图，在菱形中，对角线，则的面积为（   ）

A．9 B．10 C．11 D．12

8．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）

A．180（1﹣x）2=461 B．180（1+x）2=461

C．368（1﹣x）2=442 D．368（1+x）2=442

9．如图所示，在四边形ABCD中，，于点B，点E是BD的中点，连接AE，CE，则AE与CE的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

10．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2022秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝1，则另一个根是___．

12．如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是_____．

13．已知电路AB由如图所示的开关控制，闭合a,b,c,d,e五个开关中的任意两个，则使电路形成通路的概率是_____.

14．为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边．已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程______．

15．如图，在矩形中，，对角线，点，分别是线段，上的点，将沿直线折叠，点，分别落在点，处．当点落在折线上，且时，的长为______．

三、解答题

16．用适当的方法解下列方程

(1)

(2)

17．一个不透明的口袋中装有三个除所标数字外完全相同的小球，小球上分别标有数字﹣1，0，1．小丽先从袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x，不放回，再从袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P的坐标为（x，y）．

（1）请用列表成画树状图的方法列出点P所有可能的坐标；

（2）求点P在一次函数y＝﹣x图象上的概率．

18．如图，、是中的内、外角平分线，于，于，交的延长线于．

(1)判断四边形的形状，并说明理由．

(2)与相等吗？为什么？

(3)当满足______时，四边形是一个正方形？并给出证明．

19．已知关于的一元二次方程．

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若此方程有一个负数根，求的取值范围．

20．如图，把两张等宽的纸条交叉重叠在一起（不垂直）

(1)判断图1重叠部分四边形的形状，并说明理由．

(2)如图2，分别过作于M，作于N，若，求的长．

21．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动

(1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？

(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点和点Q的距离第一次是？

22．2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）

 (1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；

(2)第一次购进的冰墩嫩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？

(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？

23．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．

(1)求证：△BCE≌△DCF；

(2)求CF的长；

(3)如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．

参考答案及解析

1．A

【详解】试题解析：∵△=42-4×1×2=8＞0，

∴关于x的一元二次方程x2-4x+2=0有两个不相等的实数根．

故选A．

考点：根的判别式．

2．C

【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．

【详解】解：∵x2-8x-1=0，

∴x2-8x=1，

∴x2-8x+16=17，

∴（x-4）2=17．

故选C．

【点睛】本题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握当二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方是关键．

3．A

【分析】列举出不放回的2次实验的所有情况，看抽取的两张卡片结果能组成分式的情况占总情况的多少即可．

【详解】解：画树状图如下：

由树状图可知，共有12种等可能结果，其中组成的是分式的有6种结果，

所以能组成分式的概率是，

故选A．

【点睛】此题考查概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率用到的知识点为：分母中含有字母的式子是分式．

4．D

【详解】由表中的信息可知：

当时，；当时，，

∴方程有一个解在1.6至1.7之间，

故选D.

5．A

【分析】利用连接四边形各边中点得到的四边形是正方形，则结合正方形的性质及三角形的中位线的性质进行分析，从而不难求解．

【详解】解：如图点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，

且四边形EFGH是正方形．

∵点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，且四边形EFGH是正方形．

∴EF=EH，EF⊥EH，

∵BD=2EF，AC=2EH，

∴AC=BD，AC⊥BD，

即四边形ABCD满足对角线相等且垂直，

选项A满足题意．

故选：A．

【点睛】本题考查了利用三角形中位线定理得到新四边形各边与相应线段之间的数量关系和位置．熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键．

6．A

【分析】根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，  

∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，

解得b=﹣2，c=﹣8

∴b+c=﹣10．

故选A．

【点睛】熟练掌握根与系数的关系，并会灵活运用是解本题的关键.

7．B

【分析】菱形的对角线互相垂直平分，故的面积为对角线的一半的乘积的．

【详解】是菱形

的面积

故选B．

【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形面积，理解是直角三角形是解题的关键．

8．B

【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程．

【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461，

故选：B．

【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键．

9．C

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以得到，再根据垂线段最短即可得出结论．

【详解】解：∵，E是BD的中点，

∴．

又∵于点B，

∴AE是斜线段，BE是垂线段．

∴AE>BE．

∴AE>CE．

故选：C．

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，和垂线段最短的定理，正确理解并应用这些知识点是解题关键．

10．B

【分析】先求出D点的坐标，及OD的长．然后分别写出OD旋转1秒，2秒，3秒，4秒，5秒，6秒，7秒，8秒，9秒……时D点的坐标，找出D点的坐标的变化规律，即可求出第2022秒时D点的坐标．

【详解】∵O(0，0)，B(2，2)

∴D(1，1)，且OD=

第1秒时，D点在y轴正半轴上，

∴D₁(0，)；

第2秒时，D点在第二象限的角平分线上，

∴D₂(-1，1)；

第3秒时，D点在x轴负半轴上，

∴D3(，0)；

第4秒时，D点在第三象限的角平分线上，

∴D4(-1，-1)；

第5秒时，D点在y轴的负半轴上，

∴D5(0，)；

第6秒时，D点在第四象限的角平分线上，

∴D6(1，-1)；

第7秒时，D点在x轴正半轴上，

∴D7(，0  )；

第8秒时，D点在第一象限角平分线上，

∴D8(1，1)

第9秒时，D点在y轴正半轴上，

∴D9(0， )；

……以这样的规律，每旋转8秒循环一次，

2022÷8=253…6

∴ 第2022秒时，D点的坐标为(1，-1)．

故选：B.

【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标系中点的坐标的变化规律等知识．找到规律是解题的关键．

11．-3

【分析】把已知的方程的一个根代入方程，求出k的值，然后再解方程求另外一个根.

【详解】解：∵x=1是一元二次方程的根，∴12+k×1-3=0，∴k=2，∴x2+2x-3=0，∴（x+3）（x-1）=0，∴x1=-3，x2=1．故答案为-3．

【点睛】本题考查解一元二次方程.求出k的值是解此题的关键.

12．邻边相等的矩形是正方形

【分析】将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，可得到BA=BF，折痕为BE，沿EF剪下，故四边形ABFE为矩形，且有一组邻边相等，故四边形ABFE为正方形，即可得到答案．

【详解】将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，

，

折痕为BE，沿EF剪下，

，

四边形ABFE是矩形，

四边形ABFE是正方形，

则其数学原理为：邻边相等的矩形是正方形，

故答案为：邻边相等的矩形是正方形．

【点睛】本题考查了图形的翻折变换和正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键．

13．

【分析】列树状图即可解答.

【详解】由题意列表得：

共有20种等可能的情况，其中可以使电路形成通路的有12种，

∴P(使电路形成通路)= ,

故填：.

【点睛】此题考察概率，列树状图或列表求得即可.

14．

【分析】设白边的宽为米，则整幅宣传版面的长为米、宽为米，根据矩形的面积公式结合图案面积占整幅宣传版面面积的，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．

【详解】解：设白边的宽为米，则整幅宣传版面的长为米、宽为米，

根据题意得：．

故答案为：．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

15．2或

【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．

【详解】解：，，

，

当点落在上时，

将沿直线折叠，

，

，

，

；

当点落在上时，如图2，连接，过点作于，

，

，

，

，

，

将沿直线折叠，

，

，

，

，

综上所述：的长为2或．

【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是解题的关键．

16．(1)，

(2)，

【分析】（1）利用公式法解方程，即可得到答案；

（2）利用因式分解法解方程，即可得到答案．

（1）

解：，

∴，

∵，

∴，

∴，．

（2）

解：，

∴，

∴，

∴，．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤以及熟记一元二次方程的求根公式是解题的关键．

17．（1）点P的坐标为：（-1,0）或（-1，1）或（0，-1）或（0,1）或（1，-1）或（1,0）；（2）点P在一次函数图象上的概率为．

【分析】（1）画树状图列出所有等可能出现的情况即可；

（2）确定点P在一次函数图象上的坐标为：（-1,1）或（1，-1），根据概率公式计算即可．

【详解】解：（1）列树状图：

共有6种等可能的结果：（-1,0），（-1，1），（0，-1），（0,1），（1，-1），（1,0），

∴点P的坐标为：（-1,0）或（-1，1）或（0，-1）或（0,1）或（1，-1）或（1,0）；

（2）点P在一次函数图象上的坐标为：（-1,1）或（1，-1），

∴点P在一次函数图象上的概率为．

【点睛】此题考查列举法求事件的概率，正确理解概率事件中“放回”或“不放回”事件是解此类问题的关键．

18．(1)四边形是矩形，理由见解析

(2)，理由见解析

(3)为等腰直角三角形时，四边形是一个正方形，理由见解析

【分析】（1）利用矩形的判定方法得出，即可得出答案；

（2）利用矩形的性质以及全等三角形的判定得出，进而得出答案；

（3）利用等腰直角三角形的性质以及正方形的判定得出即可．

【详解】（1）解：四边形是矩形；

理由：、是中的内、外角平分线，

，

于，于，

，

则，

四边形是矩形；

（2）解：，

理由：连接

在和中，

，

，

，

四边形是矩形，

，

；

（3）解：为等腰直角三角形时，四边形是一个正方形，

理由：∵为等腰直角三角形时，，，

是斜边上的中线，

，

四边形是矩形，

矩形是正方形．

【点睛】此题主要考查了矩形的判定与性质以及正方形的判定和全等三角形的判定与性质，正确区分矩形与正方形的判定是解题关键．

19．(1)见解析

(2)

【分析】（1）求出判别式，利用非负数的性质得△，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个实数根；

（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．

（1）

证明：依题意，得△．

，

方程总有两个实数根；

（2）

，

可得，

解得，，

若方程有一个根为负数，则，

故．

【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式之间的关系是解题的关键．

20．(1)是菱形，理由见解析；

(2)

【分析】（1）根据菱形的判定即四条边相等的四边形即为菱形解答；

（2）由四边形为菱形，可得，设，则，再根据勾股定理求出x即可．

（1）

解：是菱形，理由如下：

∵，

∴四边形是平行四边形，

分别作边上的高为、，

∵两纸条宽度相同，所以纸条宽度．

又∵平行四边形的面积为，

∴．

∴平行四边形为菱形．

（2）

解：∵四边形为菱形，

∴，

设，则，

∵，

∴

∴在中，，

∴，

解得：，

∴

【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用菱形的性质及判定解决问题，属于中考常考题型．

21．(1)5秒

(2)秒

【分析】当运动时间为秒时，cm，cm．

（1）利用梯形的面积公式结合四边形的面积为，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；

（2）过点Q作于点，则cm，cm，利用勾股定理结合cm，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【详解】（1）解：当运动时间为t秒时，cm，cm．

依题意，得：，

解得：．

答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为．

（2）（2）过点作于点，如图所示．

cm，cm，

，即，

解得：，（不合题意，舍去）．

答：P，Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据梯形的面积公式，得出关于t的一元一次方程；（2）利用勾股定理，得出关于t的一元二次方程．

22．(1)A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件

(2)购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元

(3)销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元

【分析】(1)设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”列出二元一次方程组即可求解；

(2)设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，根据“进货总价不高于2200元”列出不等式求出；设销售利润为元，得到，随着m的增大而增大，结合m的范围由此即可求出最大利润；

(3)设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，由“平均每天销售利润为90元”得到(4+2a)(12-a)=90，求解即可．

【详解】（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，

由题意可知： ，

解出：，

故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．

（2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，

由题意可知：，

解出：，

设销售利润为元，则，

∴是关于m的一次函数，且3＞0，

∴随着m的增大而增大，

当时，销售利润最大，最大为元，

故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元．

（3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，

由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，

解出：a1=3，a2=7，

故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元．

【点睛】本题考察了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一元二次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键．

23．(1)证明见解析

(2)CF=-1

(3)存在，P点坐标为（1-，1-）或（-1+，-1+）或（-1，-1）或（，）．

【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；

（2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD=BF=；然后由CF=BF-BC即可求得；

（3）分三种情况分别讨论即可求得．

【详解】（1）证明：如图1，

在△BCE和△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）解：如图1，

∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，

∴∠EBC=∠DBC=22.5°，

由（1）知△BCE≌△DCF，

∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；

∴∠BGD=90°（三角形内角和定理），

∴∠BGF=90°；

在△DBG和△FBG中，

，

∴△DBG≌△FBG（ASA），

∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等），

∵BD==，

∴BF=，

∴CF=BF-BC=-1；

（3）解：如图2，

∵CF=-1，BH=CF

∴BH=-1，

①当BH=BP时，则BP=-1，

∵∠PBC=45°，

设P（x，x），

∴，

解得x=1-或-1+，

∴P（1-，1-）或（-1+，-1+）；

②当BH=HP时，则HP=PB=-1，

∵∠ABD=45°，

∴△PBH是等腰直角三角形，

∴P（-1，-1）；

③当PH=PB时，∵∠ABD=45°，

∴△PBH是等腰直角三角形，

∴P（，），

综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（1-，1-）或（-1+，-1+）或（-1，-1）或（，）．

【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．