北京市东城区2022-2023学年高三上学期期末考试数学答案

东城区2022—2023学年度第一学期期末统一检测

              高三数学参考答案及评分标准       2023.1

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

（1）A （2）C （3）B   （4）D        （5） D

（6）D  （7）C   （8）A （9）B        （10）C

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

（11）     （12） （答案不唯一）

（13）                （14）                 （15）① ② ④

三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（共13分）

解：

        又因为在锐角△ABC中，，所以．           …………………6分

（Ⅱ）因为，所以.

在△中，由余弦定理得

所以△的周长为．                        …………………13分

（17）（共15分）

解：（I）在△中，过点作//交于点，连接.

           因为//，

所以//，

所以，，，四点共面.

因为//平面，平面，

平面平面，

所以//

所以四边形是平行四边形.

所以

所以为的中点.                                          …………………6分

（II）选条件①：.

因为底面为正方形，

所以.

又，，

所以平面.

所以.

如图建立空间直角坐标系，因为底面是边长为2的正方形，，

则，，，，

所以，，.

设平面的一个法向量为 ，

则 即

令 ，则.于是.

设直线与平面所成角为，

则 .

所以直线与平面所成角为的正弦值为.                       …………………15分

选条件②：.

如图，连接.

因为底面是边长为2的正方形，

所以， .

因为 ，，

所以.

所以 .

因为， ，

所以平面

所以.

以下同选条件① .                                        …………………15分

（18）（共13分）

解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，可得学生一周参加课后活动的时间位于区间[13, 17)的频率

为，

因此估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间[13, 17)的概率为．  …………………3分

（Ⅱ）从全校学生中随机选取1人，其一周参加课后活动的时间在区间[15, 17)的概率为．

因此ξ．

则的分布列为：

．                   …………………10分

（Ⅲ）c<b<a．                                                          …………………13分

（19）（共14分）

   解：（Ⅰ）由题设，

解得

所以椭圆的方程为.                              …………………5分

     （Ⅱ）设为椭圆上一点，

           则有 ．

由，，成等差数列，得     

即                                              

由，则.

又在椭圆上，有，                            

故，

因为，所以.

即，

所以

所以实数的取值范围是.                         …………………14分

（20）（共15分）

解：（Ⅰ）因为

所以.

          所以，

所以曲线在点处的切线方程为.                  …………………4分      

    （Ⅱ）令，得.

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

当时，，在时取得极小值.

所以函数的极小值为，不存在极大值.                           …………………9分

（Ⅲ）令，其定义域为.

令， ，

      所以在上单调递增.

当时，，即，单调递减；

当时，，即，单调递增；

当时， ，即，取得极小值.

  ，

  因为，所以，，

所以.

  因此，当时，，

所以，，

即，，曲线与曲线无交点；

当时，，

所以存在且仅存在一个，使得，

对且，都有，即.

所以当时，曲线与曲线有且仅有一个交点；

      故当时，曲线与曲线至多存在一个交点.                   …………………15分

（21）（共15分）

解：（Ⅰ）由的定义以及，可得：A的长度为3的子列为：，

的长度为的子列有个，的长度为的子列有个，

所以.                                            …………………5分                                                               

（Ⅱ）

理由如下：

若是的一个子列，

则为  的一个子列.

若与是的两个不同子列，

则与也是的两个不同子列.

所以.

同理，

所以.

同理所以有              …………………10分                       

（Ⅲ）由已知可得，数列中恰有k个1，个0. 令，

下证：.

由于，所以的子列中含有i个0，j个1 的子列有且仅有1 个，

设为：. 而数列的含有i个0，j个1的子列至少有一个，

所以.

数列中，不含有0的子列有个，含有1个0的子列有k个，

含有2个0的子列有个，，含有个0的子列有个，

所以.                               

         所以的最小值为.                                   …………………15分