初中数学冀教版八年级下册22.7 多边形的内角和与外角和优质ppt课件

教学目标

1.了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角及对角线等概念；

2.探索求多边形的内角和、外角和的方法；

3.会应用多边形的内角和与外角和公式解决问题.

教学重难点

重点：探索求多边形的内角和、外角和的方法；

难点：会应用多边形的内角和与外角和公式解决问题.

教学过程

旧知回顾

回忆三角形的内角和定理与外角和定理：

三角形的内角和为180°，外角和为360°.

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问题：嘉琪想画一个内角和为2 008°的多边形，她能实现吗？

今天我们就来帮一帮她，教师板书课题.

探究新知

一、多边形的定义及其他元素

1.观察这些图形，它们有什么共同的特点?

归纳：________________________________________________________叫做多边形.

在定义中应注意：①不在同一条直线上;②首尾顺次相接.二者缺一不可，多边形有凸多边形和凹多边形之分，一个多边形如果总在它的任何一条边所在直线的同一侧，这个多边形就叫做凸多边形，我们只研究凸多边形.

多边形有几条边就叫做几边形，三边形就是我们通常所说的三角形.

2.多边形的边、顶点、对角线、内角的含义.

边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边，

顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.

对角线：连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.

内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角.

下面我们探究多边形的内角和与外角和.

二、多边形的内角和定理

一起探究：

1.我们知道三角形的内角和为180°，你能猜想四边形、五边形和六边形的内角和各是多少吗？

2.以五边形和六边形为例，如何将求五边形和六边形内角和的问题转化，利用三角形内角和定理求多边形的内角和？

3.将多边形分割成不重叠的三角形，分别求四边形、五边形、六边形的内角和，猜想n边形的内角和，并将结果填入下表.（小组合作）

我们发现，n边形的内角和等于（n-2）×180°.

现在我们来证明这个结论.

已知：如图，n边形A1A2A3A4…An-1An.

求证：n边形A1A2A3A4…An-1An的内角和为（n-2）×180°.

证明：连接A1Ai（i＝3，4，…，n-1），得到△A1Ai-1Ai（i＝3，4，…，n-1，n），共有（n-2）个三角形.

∵ △A1Ai-1Ai（i＝3，4，…，n-1，n）的内角和为180°，

∴ n边形A1A2A3A4…An-1An的内角和＝△A1A2A3的内角和+△A1A3A4的内角和+…+△A1An-1An的内角和＝（n-2）×180°.

归纳：多边形的内角和定理：n边形内角和等于（n-2）×180 °（n≥3）.

三、多边形的外角和

在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和.

填表：（同桌合作）

你能得出什么规律？能不能利用n边形的内角和定理，求n边形的外角和.

n边形外角和＝n个平角的和-n边形内角和＝n×180°-（n-2）×180°＝360°.

归纳：多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360º.

四、例题讲解

例1　已知一个多边形，它的内角和与外角和相等，这个多边形是几边形?

学生独立完成，教师评价.

解：设多边形的边数是n，则它的内角和等于（n-2）×180°，外角和等于360°.

由题意，得（n-2）×180°＝360°.

解这个方程，得n＝4.

所以，这个多边形是四边形.

例2　如图，小亮从点O处出发，前进5 m后向右转20°，再前进5 m后又向右转20°，这样走n次恰好回到点O处.

（1）小亮走出的这个n边形的每个内角是多少度？内角和是多少度？

（2）小亮走出的这个n边形的周长是多少？

教师指点，学生分析：（1）根据每一个外角与相邻内角互补可求每个内角的度数，先利用外角和定理求出边数，再利用内角和定理求出内角和即可；

（2）周长＝边数×5.

解：（1）这个n边形的每个内角为180°-20°＝160°.

因为多边形的外角和等于360°，

所以n×20°＝360°.

解得n＝18.

所以这个n边形的内角和＝（18-2）×180°＝2 880°.

（2）5×18＝90（m），

所以，小亮走出的这个n边形的周长为90 m.

五、随堂训练

1.一个多边形的外角和是内角和的一半，则它是（　B　）边形.

A.7             B.6            C.5            D.4

2.一个多边形的内角和与外角和之和为540°，则它是（　Ｃ　）边形. 

A.5    　　　　 B.4            C.3    　 　　D.不确定

3.若一个十边形的每个外角都相等，则它的每个外角的度数为　36°　，每个内角的度数为　144°　.

4.在四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D＝280°，那么∠B的度数是多少？

解：因为四边形ABCD的内角和为（4-2）×180°＝360°，

所以∠B＝360°-280°＝80°.

课堂小结

多边形

1.定义：平面上，由不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形，叫做多边形.

2.内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）×180 °（n≥3）.

3.外角和定理：多边形的外角和等于360º.

布置作业

完成教材第153页习题A组.

板书设计

第二十二章　四边形

22.7　多边形的内角和与外角和