人教版七年级下册5.3.2 命题、定理、证明练习题

5.3　平行线的性质

5.3.2　命题、定理、证明

1．下列语句中，是命题的是(　　)

A．有公共顶点的两个角是对顶角　　 B．作∠A的平分线

C．用量角器量角的度数             D．直角都相等吗

2．命题“等角的补角相等”的题设是(　　)

A．等角  B．这两个角相等 C．补角相等  D．两个角是等角的补角

3．下列命题中，是真命题的是(　　)

A．同位角相等     B．同旁内角互补

C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行

D．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行

4．下列命题中，属于假命题的是(　　)

A．若a－b＝0，则a＝b＝0  B．若a－b＞0，则a＞b

C．若a－b＜0，则a＜b  D．若a－b≠0，则a≠b

5．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是(　　)

A．a＝－2　　　 B．a＝－1　　　C．a＝1　　　 D．a＝2

6．（1）              的语句叫做命题．命题是由       和       两部分组成，题设是           ，结论是                        ．

（2）如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做        ；如果题设成立，但

                的命题叫做假命题．

（3）有一些命题，它的正确性是经过       证实的，这样的真命题叫定理，一个命题的正确性需要经过推理，方能作出判断，这个       过程叫证明．

7．两个锐角的和是钝角写成“如果……，那么……”的形式为                           ．

8．如图所示，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E.试说明AD∥BC.完成推理过程：

解：∵AB∥DC(已知)，∴∠1＝∠CFE(                       )．∵AE平分∠BAD(已知)，∴∠1＝∠2 (角平分线的定义)．∵∠CFE＝∠E(已知)，∴∠2＝       (等量代换)．∴AD∥BC (                         )．

9．命题“对顶角相等”的“题设”是(　　)

A．两个角是对顶角   B．角是对顶角     C．对顶角    D．以上都不正确

10．命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是(　　)

A．平行   B．两条直线   C．同一条直线   D．两条直线平行于同一条直线

11．【2022·梧州】下列命题中，假命题是(　　)

A．－2的绝对值是－2         B．对顶角相等

C．两点确定一条直线         D．如果直线a∥c，b∥c，那么直线a∥b

12．下列命题可以作为定理的有(　　)

①两直线平行，同旁内角互补；②相等的角是对顶角；

③等角的余角相等；④对顶角相等．

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

13．【2021·荆州】阅读下列材料，①～④步中数学依据错误的是(　　)

如图：已知直线b∥c，a⊥b，求证：a⊥c.

证明：①∵a⊥b(已知)，

∴∠1＝90°(垂直的定义)．

②又∵b∥c(已知)，

∴∠1＝∠2(同位角相等，两直线平行).

③∴∠2＝∠1＝90°(等量代换)．

④∴a⊥c(垂直的定义).

A.①  B．②  C．③  D．④

14．【中考·宜昌】能说明“锐角α、锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是(　　)

15．若a=b,则a2=b2,它是　真　命题(填“真”或“假”),其中a=b是　　,a2=b2是　　. 

16．对于同一平面内的三条直线a、b、c,给出下列五个论断:①a∥b;②b∥c;③a⊥b;④a∥c;⑤a⊥c,以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个你认为正确的命题:　             　(用序号写出一个即可). 

17．【2022·长沙一中模拟】推理填空：

如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C.求证：AB∥CD.

证明：∵∠1＝∠2(已知)，且∠1＝∠4(___________)，

∴∠2＝∠4(等量代换)．∴CE∥BF(________________________)．

∴∠______＝∠3(_________________________)．

又∵∠B＝∠C(已知)，

∴∠3＝∠B(等量代换)．

∴AB∥CD(______________________________)．

18．判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命题,请举一反例说明.

(1)如果ac=bc,那么a=b;

(2)在同一平面内,经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线;

(3)如果a2=b2,那么a=b.

19．(1)如图，DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB.求证：FG⊥AB.

(2)若把(1)题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由．

(3)若把(1)题设中的“∠1＝∠3”与结论“FG⊥AB”对调呢？

20．【开放题】如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被直线MN所截．请你从以下三个条件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN中选出两个作为题设，另一个作为结论，得出一个正确的命题．

(1)请按照“如果……，那么……”的形式，写出所有正确的命题；

(2)在(1)的命题中选择一个加以证明，写出推理过程．

参考答案

1．下列语句中，是命题的是(　A　)

A．有公共顶点的两个角是对顶角　　 B．作∠A的平分线

C．用量角器量角的度数             D．直角都相等吗

2．命题“等角的补角相等”的题设是(　D　)

A．等角  B．这两个角相等 C．补角相等  D．两个角是等角的补角

3．下列命题中，是真命题的是(　D　)

A．同位角相等     B．同旁内角互补

C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行

D．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行

4．下列命题中，属于假命题的是(　A　)

A．若a－b＝0，则a＝b＝0  B．若a－b＞0，则a＞b

C．若a－b＜0，则a＜b  D．若a－b≠0，则a≠b

5．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是(　A　)

A．a＝－2　　　 B．a＝－1　　　C．a＝1　　　 D．a＝2

6．（1）              的语句叫做命题．命题是由       和       两部分组成，题设是           ，结论是                        ．

【答案】判断一件事件  题设  结论  已知事项  由已知事项推出的事项

（2）如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做        ；如果题设成立，但                的命题叫做假命题．

【答案】真命题  结论不一定成立

（3）有一些命题，它的正确性是经过       证实的，这样的真命题叫定理，一个命题的正确性需要经过推理，方能作出判断，这个       过程叫证明．

【答案】推理  推理

7．两个锐角的和是钝角写成“如果……，那么……”的形式为                          ．

【答案】如果两个角是锐角，那么它们的和为钝角

8．如图所示，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E.试说明AD∥BC.完成推理过程：

解：∵AB∥DC(已知)，∴∠1＝∠CFE(                       )．∵AE平分∠BAD(已知)，∴∠1＝∠2 (角平分线的定义)．∵∠CFE＝∠E(已知)，∴∠2＝       (等量代换)．∴AD∥BC (                         )．

【答案】两直线平行，同位角相等  ∠E  内错角相等，两直线平行

9．命题“对顶角相等”的“题设”是(　A　)

A．两个角是对顶角   B．角是对顶角     C．对顶角    D．以上都不正确

10．命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是(　D　)

A．平行   B．两条直线   C．同一条直线   D．两条直线平行于同一条直线

11．【2022·梧州】下列命题中，假命题是(　A　)

A．－2的绝对值是－2         B．对顶角相等

C．两点确定一条直线         D．如果直线a∥c，b∥c，那么直线a∥b

12．下列命题可以作为定理的有(　C　)

①两直线平行，同旁内角互补；②相等的角是对顶角；

③等角的余角相等；④对顶角相等．

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

13．【2021·荆州】阅读下列材料，①～④步中数学依据错误的是(　B　)

如图：已知直线b∥c，a⊥b，求证：a⊥c.

证明：①∵a⊥b(已知)，

∴∠1＝90°(垂直的定义)．

②又∵b∥c(已知)，

∴∠1＝∠2(同位角相等，两直线平行).

③∴∠2＝∠1＝90°(等量代换)．

④∴a⊥c(垂直的定义).

A.①  B．②  C．③  D．④

14．【中考·宜昌】能说明“锐角α、锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是(　C　)

15．若a=b,则a2=b2,它是　真　命题(填“真”或“假”),其中a=b是　题设　,a2=b2是　结论　. 

16．对于同一平面内的三条直线a、b、c,给出下列五个论断:①a∥b;②b∥c;③a⊥b;④a∥c;⑤a⊥c,以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个你认为正确的命题:　①②⇒④,②③⇒⑤等(答案不唯一)　(用序号写出一个即可). 

17．【2022·长沙一中模拟】推理填空：

如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C.求证：AB∥CD.

证明：∵∠1＝∠2(已知)，且∠1＝∠4(___________)，

∴∠2＝∠4(等量代换)．∴CE∥BF(________________________)．

∴∠______＝∠3(_________________________)．

又∵∠B＝∠C(已知)，

∴∠3＝∠B(等量代换)．

∴AB∥CD(______________________________)．

【答案】对顶角相等

同位角相等，两直线平行

C  两直线平行，同位角相等

内错角相等，两直线平行

18．判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命题,请举一反例说明.

(1)如果ac=bc,那么a=b;

解:(1)是假命题,例如:3×0=2×0,但3≠2;

(2)在同一平面内,经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线;

(2)是真命题;

(3)如果a2=b2,那么a=b.

(3)是假命题,例如:(-2)2=22,但-2≠2.

19．(1)如图，DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB.求证：FG⊥AB.

证明：∵DE∥BC，∴∠1＝∠2.

又∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.

∴CD∥FG.∴∠BFG＝∠CDB.

∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.

∴∠BFG＝90°.∴FG⊥AB.

(2)若把(1)题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由．

解：是真命题．理由如下：

∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG.

∴∠2＝∠3.

又∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠2.

∴DE∥BC.

(3)若把(1)题设中的“∠1＝∠3”与结论“FG⊥AB”对调呢？

解：是真命题．理由如下：

同(2)可得∠2＝∠3.

∵DE∥BC，∴∠1＝∠2.

∴∠1＝∠3.

20．【开放题】如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被直线MN所截．请你从以下三个条件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN中选出两个作为题设，另一个作为结论，得出一个正确的命题．

(1)请按照“如果……，那么……”的形式，写出所有正确的命题；

解：a.如果AB∥CD，AM∥EN，

那么∠BAM＝∠CEN.

b．如果AB∥CD，∠BAM＝∠CEN，

那么AM∥EN.

c．如果AM∥EN，∠BAM＝∠CEN，

那么AB∥CD.

(2)在(1)的命题中选择一个加以证明，写出推理过程．

证明：(答案不唯一，选择命题a)

∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠CEA.

∵AM∥EN，∴∠3＝∠4.

∴∠BAE－∠3＝∠CEA－∠4，

即∠BAM＝∠CEN.

【点方法】证明一个命题的一般步骤：

1 . 分清命题的题设和结论，如果与图形有关，首先根据题意， 画出图形， 并在图形上标出有关字母与符号；

2 . 根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；

3 . 经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程．