高中物理高考 专题12 带电粒子在组（复）合场中的运动（解析版）

这是一份高中物理高考 专题12 带电粒子在组（复）合场中的运动（解析版），共30页。试卷主要包含了带电粒子在组合场中的运动，带电粒子在复合场中的应用，带电粒子在交变复合场中的运动，带电粒子在叠加场中的运动等内容，欢迎下载使用。
题型一 带电粒子在组合场中的运动
【题型解码】
(1)带电粒子在匀强电场中一般做匀变速直线运动或类平抛运动；在匀强磁场中运动时一般做匀速圆周运动；(2)明确各段运动性质，画出运动轨迹，特别注意各衔接点的速度方向、大小．
【典例分析1】 (2018·全国卷Ⅲ，24)如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l。不计重力影响和离子间的相互作用。求：
(1)磁场的磁感应强度大小；
(2)甲、乙两种离子的比荷之比。
【参考答案】 (1)eq \f(4U,lv1) (2)1∶4
【名师解析】
(1)设甲种离子所带电荷量为q1、质量为m1，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1，磁场的磁感应强度大小为B，由动能定理有
q1U＝eq \f(1,2)m1veq \\al(2,1)①
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有q1v1B＝m1eq \f(veq \\al(2,1),R1)②
由几何关系知2R1＝l③
由①②③式得B＝eq \f(4U,lv1)。④
(2)设乙种离子所带电荷量为q2、质量为m2，射入磁场的速度为v2，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R2。同理有
q2U＝eq \f(1,2)m2veq \\al(2,2)⑤
q2v2B＝m2eq \f(veq \\al(2,2),R2)⑥
由题给条件有2R2＝eq \f(l,2)⑦
由①②③⑤⑥⑦式得，甲、乙两种离子的比荷之比为
eq \f(q1,m1)∶eq \f(q2,m2)＝1∶4。⑧
【典例分析2】(2019·大庆实验中学检测)如图所示，直角坐标系中的第Ⅰ象限中存在沿y轴负方向的匀强电场，在第Ⅱ象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场。一电荷量为q、质量为m的带正电粒子，在x轴上的a点以速度v0与x轴负方向成60°角射入磁场，从y＝L处的b点沿垂直于y轴方向进入电场，并经过x轴上x＝2L处的c点。不计粒子重力。求：
(1)磁感应强度B的大小；
(2)电场强度E的大小；
(3)带电粒子在磁场和电场中的运动时间之比。
【参考答案】 (1)eq \f(3mv0,2qL) (2)eq \f(mv\\al(2,0),2qL) (3)eq \f(2π,9)
【名师解析】 (1)带电粒子的运动轨迹如图所示。
由几何关系可知：r＋rcs60°＝L，
得r＝eq \f(2L,3)
又因为qv0B＝meq \f(v\\al(2,0),r)
解得：B＝eq \f(3mv0,2qL)。
(2)带电粒子在电场中运动时，沿x轴有：2L＝v0t2
沿y轴有：L＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,2)，
又因为qE＝ma
解得：E＝eq \f(mv\\al(2,0),2qL)。
(3)带电粒子在磁场中运动时间为：
t1＝eq \f(1,3)·eq \f(2πr,v0)＝eq \f(4πL,9v0)
带电粒子在电场中运动时间为：t2＝eq \f(2L,v0)
所以带电粒子在磁场和电场中运动时间之比为：
eq \f(t1,t2)＝eq \f(2π,9)。
【典例分析3】(2019·山东潍坊模拟)在如图所示的坐标系中，第一和第二象限(包括y轴的正半轴)内存在磁感应强度大小为B、方向垂直xOy平面向里的匀强磁场；第三和第四象限内存在平行于y轴正方向、大小未知的匀强电场．p点为y轴正半轴上的一点，坐标为(0，l)；n点为y轴负半轴上的一点，坐标未知．现有一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子由p点沿y轴正方向以一定的速度射入匀强磁场，该粒子经磁场偏转后以与x轴正半轴成45°角的方向进入匀强电场，在电场中运动一段时间后，该粒子恰好垂直于y轴经过n点．粒子的重力忽略不计．求：
(1)粒子在p点的速度大小；
(2)第三和第四象限内的电场强度的大小；
(3)带电粒子从由p点进入磁场到第三次通过x轴的总时间．
【答案】：(1)eq \f(\r(2)Bql,m) (2)eq \f(\r(2)－1qlB2,m)
(3)(eq \f(11π,4)＋2eq \r(2)＋2)eq \f(m,qB)
【解析】：粒子在复合场中的运动轨迹如图所示．
(1)由几何关系可知
rsin 45°＝l
解得r＝eq \r(2)l又因为qv0B＝meq \f(v02,r)，可解得
v0＝eq \f(\r(2)Bql,m).
(2)粒子进入电场在第三象限内的运动可视为平抛运动的逆过程，设粒子射入电场坐标为(－x1,0)，从粒子射入电场到粒子经过n点的时间为t2，由几何关系知x1＝(eq \r(2)＋1)l，在n点有v2＝eq \f(\r(2),2)v1＝eq \f(\r(2),2)v0
由类平抛运动规律有
(eq \r(2)＋1)l＝eq \f(\r(2),2)v0t2
eq \f(\r(2),2)v0＝at2＝eq \f(Eq,m)t2
联立以上方程解得t2＝eq \f(\r(2)＋1m,qB)，E＝eq \f(\r(2)－1qlB2,m).
(3)粒子在磁场中的运动周期为
T＝eq \f(2πm,qB)
粒子第一次在磁场中运动的时间为
t1＝eq \f(5,8)T＝eq \f(5πm,4qB)
粒子在电场中运动的时间为
2t2＝eq \f(2\r(2)＋1m,qB)
粒子第二次在磁场中运动的时间为
t3＝eq \f(3,4)T＝eq \f(3πm,2qB)
故粒子从开始到第三次通过x轴所用时间为
t＝t1＋2t2＋t3＝(eq \f(11π,4)＋2eq \r(2)＋2)eq \f(m,qB).
【提分秘籍】
1.带电粒子在组合场中运动问题的处理方法
(1)解决带电粒子在组合场中运动问题的一般思维模板
(2)用规律选择思路
①带电粒子经过电场区域时利用动能定理或类平抛的知识来处理；
②带电粒子经过磁场区域时利用圆周运动规律结合几何关系来处理。
(3)关注从一种场进入另一种场的衔接速度。
2．组合场中的两种典型偏转
【突破训练】
1.(2019·陕西榆林一模)如图所示，在第二象限内有水平向右的匀强电场，在第一、第四象限内分别存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小相等。在该平面有一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，以初速度v0垂直x轴，从x轴上的P点进入匀强电场，之后与y轴成45°角射出电场，再经过一段时间恰好垂直于x轴进入下面的磁场，已知OP之间的距离为d，不计带电粒子的重力，则( )
A．磁感应强度B＝eq \f(\r(2)mv0,4qd)
B．电场强度E＝eq \f(mv\\al(2,0),2qd)
C．自进入磁场至在磁场中第二次经过x轴所用时间为eq \f(7\r(2)πd,2v0)
D．自进入磁场至在磁场中第二次经过x轴所用时间为eq \f(7πd,2v0)
【答案】 BD
【解析】 粒子的轨迹如图所示，
带电粒子在电场中做类平抛运动，水平方向做匀加速运动，竖直方向做匀速运动，由题得知，出电场时，vx＝vy＝v0，根据x＝d＝eq \f(1,2)vxt、y＝vyt＝v0t，得y＝2x＝2d，出电场时轨迹与y轴交点坐标为(0,2d)。设粒子在磁场中运动的半径为R，则有Rsin(180°－β)＝y＝2d，而β＝135°，解得：R＝2eq \r(2)d，粒子在磁场中运动的速度v＝eq \r(2)v0，根据R＝eq \f(mv,qB)，解得B＝eq \f(mv0,2qd)，故A错误；根据vx＝at＝eq \f(qE,m)t＝v0、d＝eq \f(1,2)vxt，得E＝eq \f(mv\\al(2,0),2qd)，故B正确；粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝eq \f(2πR,v)＝eq \f(4πd,v0)，在第一象限运动时间t1＝eq \f(135°,360°)T＝eq \f(3πd,2v0)，在第四象限运动时间t1＝eq \f(1,2)T＝eq \f(2πd,v0)，所以自进入磁场至在磁场中第二次经过x轴所用时间t＝t1＋t2＝eq \f(7πd,2v0)，故D正确，C错误。
2.(2019·岳阳模拟)如图所示，真空中的矩形abcd区域内存在竖直向下的匀强电场，半径为R的圆形区域内同时存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，圆形边界分别相切于ad、bc边的中点e、f。一带电粒子以初速度v0沿着ef方向射入该区域后能做直线运动；当撤去磁场并保留电场时，粒子以相同的初速度沿着ef方向射入恰能从c点飞离该区域。已知ad＝bc＝eq \f(4\r(3),3)R，忽略粒子的重力。求：
(1)带电粒子的电荷量q与质量m的比值eq \f(q,m)；
(2)若撤去电场保留磁场，粒子离开矩形区域时的位置。
【答案】 (1)eq \f(\r(3)v0,3BR) (2)ab边上距b点eq \f(R,3)处
【解析】 (1)设匀强电场场强为E，当电场和磁场同时存在时，粒子沿ef方向做直线运动，有qv0B＝qE
当撤去磁场，保留电场时，带电粒子做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，由题知，粒子恰能从c点飞出，则水平方向有2R＝v0t
竖直方向有eq \f(1,2)bc＝eq \f(1,2)at2
因为qE＝ma
解得eq \f(q,m)＝eq \f(\r(3)v0,3BR)。
(2)若撤去电场保留磁场，粒子将在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qv0B＝meq \f(v\\al(2,0),r)
得r＝eq \f(mv0,qB)＝eq \r(3)R
轨迹如图所示，
由图中几何关系得r＝Rtanθ
得θ＝60°，故粒子离开矩形区域时在ab边上的位置g与b的距离为x＝R－eq \f(1,2)bc·eq \f(1,tanθ)
解得x＝eq \f(R,3)。
3.(2019·贵州黔东南州模拟)空间中有一直角坐标系，其第一象限在圆心为O1、半径为R、边界与x轴和y轴相切的圆形区域内，有垂直于纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为B；第二象限中存在方向竖直向下的匀强电场．现有一群质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从圆形区域边界与x轴的切点A处沿纸面上的不同方向射入磁场中，如图所示．已知粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径均为R，其中沿AO1方向射入的粒子恰好到达x轴上与O点距离为2R的N点，不计粒子的重力和它们之间的相互作用力，求：
(1)粒子射入磁场时的速度大小及电场强度的大小；
(2)速度方向与AO1夹角为60°(斜向右上方)的粒子到达y轴所用的时间．
【答案】：(1)eq \f(qBR,m) eq \f(qB2R,2m) (2)(eq \f(5π,6)＋eq \f(1,2))eq \f(m,qB)
【解析】：(1)设粒子射入磁场时的速度大小为v，因在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得qvB＝meq \f(v2,R)，得v＝eq \f(qBR,m)
如图甲所示，
因粒子的轨迹半径是R，故沿AO1方向射入的粒子一定从与圆心等高的D点沿x轴负方向射入电场，则粒子在电场中从D点到N点做类平抛运动，有2R＝vt
又因为R＝eq \f(1,2)·eq \f(qE,m)·t2解得E＝eq \f(qB2R,2m).
(2)轨迹如图乙所示，
轨迹圆心为C，从M点射出磁场，连接O1M，四边形O1MCA是菱形，故CM垂直于x轴，速度方向偏转角度等于圆心角θ＝150°，粒子在磁场中运动的时间为
t1＝eq \f(θ,360°)T＝eq \f(5πm,6qB)
粒子离开磁场到y轴的距离MH＝eq \f(R,2)，在无场区运动的时间t2＝eq \f(R,2v)＝eq \f(m,2qB)
故粒子到达y轴的时间为t＝t1＋t2＝(eq \f(5π,6)＋eq \f(1,2))eq \f(m,qB).
4.(2019·烟台模拟)如图所示，边长为3L的正方形区域分成相等的三部分，左右两侧为匀强磁场，中间区域为匀强电场。左侧磁场的磁感应强度大小为B1＝eq \f(\r(6mqU),2qL)，方向垂直纸面向外；右侧磁场的磁感应强度大小为B2＝eq \f(\r(6mqU),qL)，方向垂直于纸面向里；中间区域电场方向与正方形区域的上下边界平行。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子，从平行金属板的正极板开始由静止被加速，加速电压为U，加速后粒子从a点进入左侧磁场，又从距正方形上下边界等间距的b点沿与电场平行的方向进入电场，不计粒子重力。求：
(1)粒子经过平行金属板加速后的速度大小；
(2)粒子在左侧磁场区域内运动时的半径及运动时间；
(3)电场强度的取值在什么范围内时，粒子能从右侧磁场的上边缘cd间离开。
【答案】 (1) eq \r(\f(2qU,m)) (2)eq \f(2L,\r(3)) eq \f(πL,3) eq \r(\f(2m,3qU)) (3)eq \f(11U,16L)≤E≤eq \f(2U,L)
【解析】 (1)粒子在电场中运动时，qU＝eq \f(1,2)mv2，
解得粒子经过平行金属板加速后的速度大小
v＝ eq \r(\f(2qU,m))。
(2)粒子在左侧磁场区域内运动时由洛伦兹力提供向心力
qvB1＝eq \f(mv2,R1)，
解得粒子在左侧磁场区域内做圆周运动时的半径
R1＝eq \f(2L,\r(3))
设粒子在左侧磁场中转过的角度为α，如图所示
由sinα＝eq \f(L,R1)，
解得α＝60°，周期T＝eq \f(2πR1,v)
粒子在左侧磁场中运动的时间为
t＝eq \f(1,6)T＝eq \f(πL,3) eq \r(\f(2m,3qU))。
(3)粒子在右侧磁场中运动，设在上边缘cd间离开的临界速度分别为vn与vm，与之相对应的轨迹半径分别为Rn与Rm。如图所示，由分析知Rn＝eq \f(3,4)L，Rm＝L
由洛伦兹力提供向心力有qvnB2＝eq \f(mv\\al(2,n),Rn)
对于粒子在电场中的运动，由动能定理有
qEnL＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,n)－eq \f(1,2)mv2，得En＝eq \f(11U,16L)
同理得Em＝eq \f(2U,L)
所以电场强度的范围为eq \f(11U,16L)≤E≤eq \f(2U,L)时，粒子能从右侧磁场的上边缘cd间离开。
题型二 带电粒子在复合场中的应用
【题型解码】
【典例分析1】如图所示，一个静止的质量为m、带电荷量为q的粒子(不计重力)，经电压U加速后垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，粒子在磁场中转半个圆后打在P点，设OP＝x，能够正确反应x与U之间的函数关系的是( )
【参考答案】：B
【名师解析】：设粒子到达O点的速度为v，粒子通过电场的过程中，由动能定理得qU＝eq \f(1,2)mv2，粒子在磁场中运动，由牛顿第二定律得qvB＝meq \f(v2,R)，R＝eq \f(x,2)，由以上三式解得x＝eq \f(2,B) eq \r(\f(2mU,q))，选项B正确，选项A、C、D错误．
【典例分析2】(2019·湖南常德高三一模)2018年，我省加大环保督查力度，打响碧水蓝天保卫战。督查暗访组在某化工厂的排污管末端安装了如图所示的流量计，测量管由绝缘材料制成，其长为L、直径为D，左右两端开口，在前后两个内侧面a、c固定有金属板作为电极，匀强磁场方向竖直向下。污水(含有大量的正、负离子)充满管口从左向右流经该测量管时，a、c两端的电压为U，显示仪器显示污水流量Q(单位时间内排出的污水体积)。则( )
A．a侧电势比c侧电势低 B．污水中离子浓度越高，显示仪器的示数越大
C．污水流量Q与U成正比，与L、D无关 D．匀强磁场的磁感应强度B＝eq \f(πDU,4Q)
【参考答案】 D
【名师解析】污水中正、负离子从左向右移动，受到洛伦兹力，根据左手定则，正离子向a表面偏转，负离子向c表面偏转，所以a侧电势比c侧电势高，故A错误；最终正、负离子受到电场力和洛伦兹力而处于平衡状态，有qE＝qvB，即eq \f(U,D)＝vB，而污水流量Q＝eq \f(vπD2,4)＝eq \f(U,DB)·eq \f(πD2,4)＝eq \f(πUD,4B)，可知Q与U、D成正比，与L无关，与离子浓度无关，B、C错误；由Q＝eq \f(πUD,4B)可知，匀强磁场的磁感应强度B＝eq \f(πUD,4Q)，故D正确。
【提分秘籍】
组合场、复合场中电磁技术的解题秘籍
在电磁技术中，中学阶段常见的是带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中运动的几种模型。如：速度选择器、回旋加速器、质谱仪、磁流体发电机、霍尔元件、电磁流量计等。

其中速度选择器、磁流体发电机、霍尔元件和电磁流量计的共同特征是粒子在仪器中只受电场力和洛伦兹力作用，并且最终电场力和洛伦兹力平衡。所以我们应化繁为简研究实质。
题型三 带电粒子在交变复合场中的运动
【题型解码】
1.先分析在一个周期内粒子的运动情况，明确运动性质，判断周期性变化的电场或磁场对粒子运动的影响；
2.画出粒子运动轨迹，分析轨迹在几何关系方面的周期性．
【典例分析1】(2019·江苏省丹阳市丹阳高级中学三模)如图a所示，匀强磁场垂直于xOy平面，磁感应强度B1按图b所示规律变化(垂直于纸面向外为正)。t＝0时，一比荷为eq \f(q,m)＝1×105 C/kg的带正电粒子从原点沿y轴正方向射入，速度大小v＝5×104 m/s，不计粒子重力。
(1)求带电粒子在匀强磁场中运动的轨道半径；
(2)求t＝eq \f(π,2)×10－4 s时带电粒子的坐标；
(3)保持图b中磁场不变，再加一垂直于xOy平面向外的恒定匀强磁场B2，其磁感应强度为0.3 T，在t＝0时，粒子仍以原来的速度从原点射入，求粒子回到坐标原点的时刻。
【参考答案】 (1)1 m (2)(3.41 m，－1.41 m) (3)t1＝(eq \f(π,4)＋2nπ)×10－4 s和t2＝2(n＋1)π×10－4 s(n＝0,1,2，…)
【名师解析】 (1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
qvB1＝meq \f(v2,r)
解得r＝1 m。
(2)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
T0＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2π,5)×10－4 s
在0～eq \f(π,4)×10－4 s过程中，粒子运动了eq \f(5T0,8)，圆弧对应的圆心角θ1＝eq \f(5π,4)
在eq \f(π,4)×10－4～eq \f(π,2)×10－4 s过程中，粒子又运动了eq \f(5T0,8)，圆弧对应的圆心角θ2＝eq \f(5π,4)
轨迹如图甲所示，根据几何关系可知，带电粒子的横坐标：x＝2r＋2rsineq \f(π,4)＝(2＋eq \r(2)) m≈3.41 m
纵坐标：y＝－2rcseq \f(π,4)＝－eq \r(2) m≈－1.41 m
故带电粒子的坐标为(3.41 m，－1.41 m)。
(3)施加B2＝0.3 T的匀强磁场与原磁场叠加后，合磁场的磁感应强度B随时间的变化如图乙所示，
①当nT≤t