高中物理高考 专题21 电学计算题-2021年高考物理真题与模拟题分类训练（教师版含解析）

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专题21 电学计算题

1．(2021·山东高考真题）某离子实验装置的基本原理如图甲所示。Ⅰ区宽度为d，左边界与x轴垂直交于坐标原点O，其内充满垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为；Ⅱ区宽度为L，左边界与x轴垂直交于点，右边界与x轴垂直交于点，其内充满沿y轴负方向的匀强电场。测试板垂直x轴置于Ⅱ区右边界，其中心C与点重合。从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子，加速后沿x轴正方向过O点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心C。已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与x轴正方向的夹角为。忽略离子间的相互作用，不计重力。
(1）求离子在Ⅰ区中运动时速度的大小v；
(2）求Ⅱ区内电场强度的大小E；
(3）保持上述条件不变，将Ⅱ区分为左右两部分，分别填充磁感应强度大小均为B(数值未知）方向相反且平行y轴的匀强磁场，如图乙所示。为使离子的运动轨迹与测试板相切于C点，需沿x轴移动测试板，求移动后C到的距离S。

【答案】(1）；(2）；(3）
【解析】
(1）设离子在Ⅰ区内做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得
①
根据几何关系得
②
联立①②式得

(2）离子在Ⅱ区内只受电场力，x方向做匀速直线运动，y方向做匀变速直线运动，设从进入电场到击中测试板中心C的时间为t，y方向的位移为，加速度大小为a，由牛顿第二定律得

由运动的合成与分解得
，，
联立得

(3）Ⅱ区内填充磁场后，离子在垂直y轴的方向做线速度大小为vcosθ的匀速圆周运动，如图所示。设左侧部分的圆心角为，圆周运动半径为，运动轨迹长度为，由几何关系得
，
由于在y轴方向的运动不变，离子的运动轨迹与测试板相切于C点，则离子在Ⅱ区内的运动时间不变，故有

C到的距离

联立得


2．(2021·全国高考真题）如图，长度均为l的两块挡板竖直相对放置，间距也为l，两挡板上边缘P和M处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q(q>0）的粒子自电场中某处以大小为v0的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁场，从两挡板下边缘Q和N之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，不计重力。
(1）求粒子发射位置到P点的距离；
(2）求磁感应强度大小的取值范围；
(3）若粒子正好从QN的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离。

【答案】(1） ；(2） ；(3）粒子运动轨迹见解析，
【解析】(1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动规律可知
①
②
粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，有
③
粒子发射位置到P点的距离
④
由①②③④式得
⑤
(2）带电粒子在磁场运动在速度
⑥
带电粒子在磁场中运动两个临界轨迹(分别从Q、N点射出）如图所示

由几何关系可知，最小半径
⑦
最大半径
⑧
带电粒子在磁场中做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由向心力公式可知
⑨
由⑥⑦⑧⑨解得，磁感应强度大小的取值范围

(3）若粒子正好从QN的中点射出磁场时，带电粒子运动轨迹如图所示。
由几何关系可知
⑩
带电粒子的运动半径为
⑪
粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离
⑫
由⑩⑪⑫式解得
⑬

3．(2021·浙江高考真题）一种探测气体放电过程的装置如图甲所示，充满氖气(）的电离室中有两电极与长直导线连接，并通过两水平长导线与高压电源相连。在与长直导线垂直的平面内，以导线为对称轴安装一个用阻值的细导线绕制、匝数的圆环形螺线管，细导线的始末两端c、d与阻值的电阻连接。螺线管的横截面是半径的圆，其中心与长直导线的距离。气体被电离后在长直导线回路中产生顺时针方向的电流I，其图像如图乙所示。为便于计算，螺线管内各处的磁感应强度大小均可视为，其中。
(1）求内通过长直导线横截面的电荷量Q；
(2）求时，通过螺线管某一匝线圈的磁通量；
(3）若规定为电流的正方向，在不考虑线圈自感的情况下，通过计算，画出通过电阻R的图像；
(4）若规定为电流的正方向，考虑线圈自感，定性画出通过电阻R的图像。

【答案】(1）；(2）；(3）见解析；(4）见解析
【解析】(1）由电量和电流的关系可知图像下方的面积表示电荷量，因此有

代入数据解得

(2）由磁通量的定义可得

代入数据可得

(3）在时间内电流均匀增加，有楞次定律可知感应电流的方向，产生恒定的感应电动势

由闭合回路欧姆定律可得

代入数据解得

在电流恒定，穿过圆形螺旋管的磁场恒定，因此感应电动势为零，感应电流为零，而在时间内电流随时间均匀变化，斜率大小和大小相同，因此电流大小相同，由楞次定律可知感应电流的方向为，则图像如图所示

(4）考虑自感的情况下，线框会产生自感电动势阻碍电流的变化，因此开始时电流是缓慢增加的，过一段时间电路达到稳定后自感消失，电流的峰值和之前大小相同，在时间内电路中的磁通量不变化电流要减小为零，因此自感电动势会阻碍电流的减小，使得电流缓慢减小为零。同理，在内电流缓慢增加，过一段时间电路达到稳定后自感消失，在之后，电路中的磁通量不变化电流要减小为零，因此自感电动势会阻碍电流的减小，使得电流缓慢减小为零。图像如图

4．(2021·河北高考真题）如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，极板与可调电源相连，正极板上O点处的粒子源垂直极板向上发射速度为、带正电的粒子束，单个粒子的质量为m、电荷量为q，一足够长的挡板与正极板成倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子，C、P是负极板上的两点，C点位于O点的正上方，P点处放置一粒子靶(忽略靶的大小），用于接收从上方打入的粒子，长度为，忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力。。
(1）若粒子经电场一次加速后正好打在P点处的粒子靶上，求可调电源电压的大小；
(2）调整电压的大小，使粒子不能打在挡板上，求电压的最小值；
(3）若粒子靶在负极板上的位置P点左右可调，则负极板上存在H、S两点(，H、S两点末在图中标出）、对于粒子靶在区域内的每一点，当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接收到n(）种能量的粒子，求和的长度(假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定）。

【答案】(1）；(2）；(3）；
【解析】(1）从O点射出的粒子在板间被加速，则

粒子在磁场中做圆周运动，则半径

由

解得

(2）当电压有最小值时，当粒子穿过下面的正极板后，圆轨道与挡板OM相切，此时粒子恰好不能打到挡板上，则

从O点射出的粒子在板间被加速，则

粒子在负极板上方的磁场中做圆周运动

粒子从负极板传到正极板时速度仍减小到v0，则

由几何关系可知

联立解得


(3）设被粒子靶接收到n种能量的粒子中能量最小的粒子，在负极板上方磁场区域偏转的轨迹半径为r0，则
，其中
由(2）问分析可得
，为定值
才不能被OM板吸收
越小，k越小，粒子靶离C点越近。最小为，由于要求，则k最小取1，此时最小，即CH点的距离

当粒子靶向右移动时，增大，粒子靶一定能接收到多种能量的粒子，故


5．(2021·广东高考真题）图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c围成的区域，圆a内为无场区，圆a与圆b之间存在辐射状电场，圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外。电子以初动能从圆b上P点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a与圆b之间电势差为U，圆b半径为R，圆c半径为，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，取。
(1）当时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角均为45°，最终从Q点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能；
(2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当时，要保证电子从出射区域出射，求k的最大值。

【答案】(1），，；(2）
【解析】(1）电子在电场中加速有

在磁场Ⅰ中，由几何关系可得


联立解得

在磁场Ⅰ中的运动周期为

由几何关系可得，电子在磁场Ⅰ中运动的圆心角为

在磁场Ⅰ中的运动时间为

联立解得

从Q点出来的动能为

(2）在磁场Ⅰ中的做匀速圆周运动的最大半径为，此时圆周的轨迹与Ⅰ边界相切，由几何关系可得

解得

由于


联立解得

6．(2021·浙江高考真题）如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d的中间有小孔的两平行金属板M、N和边长为L的立方体构成，其后端面P为喷口。以金属板N的中心O为坐标原点，垂直立方体侧面和金属板建立x、y和z坐标轴。M、N板之间存在场强为E、方向沿z轴正方向的匀强电场；立方体内存在磁场，其磁感应强度沿z方向的分量始终为零，沿x和y方向的分量和随时间周期性变化规律如图乙所示，图中可调。氙离子(）束从离子源小孔S射出，沿z方向匀速运动到M板，经电场加速进入磁场区域，最后从端面P射出，测得离子经电场加速后在金属板N中心点O处相对推进器的速度为v0。已知单个离子的质量为m、电荷量为，忽略离子间的相互作用，且射出的离子总质量远小于推进器的质量。
(1）求离子从小孔S射出时相对推进器的速度大小vS；
(2）不考虑在磁场突变时运动的离子，调节的值，使得从小孔S射出的离子均能从喷口后端面P射出，求的取值范围；
(3）设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T，单位时间从端面P射出的离子数为n，且。求图乙中时刻离子束对推进器作用力沿z轴方向的分力。

【答案】(1）；(2）；(3），方向沿z轴负方向
【解析】(1）离子从小孔S射出运动到金属板N中心点O处，根据动能定理有

解得离子从小孔S射出时相对推进器的速度大小

(2）当磁场仅有沿x方向的分量取最大值时，离子从喷口P的下边缘中点射出，根据几何关系有

根据洛伦兹力提供向心力有

联立解得

当磁场在x和y方向的分量同取最大值时，离子从喷口P边缘交点射出，根据几何关系有

此时；根据洛伦兹力提供向心力有

联立解得

故的取值范围为；
(3）粒子在立方体中运动轨迹剖面图如图所示

由题意根据洛伦兹力提供向心力有

且满足

所以可得

所以可得

离子从端面P射出时，在沿z轴方向根据动量定理有

根据牛顿第三定律可得离子束对推进器作用力大小为

方向沿z轴负方向。
7．(2021·湖南高考真题）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一、带电粒子流(每个粒子的质量为、电荷量为）以初速度垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在平面内的粒子，求解以下问题。
(1）如图(a），宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入圆心为、半径为的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点，求该磁场磁感应强度的大小；
(2）如图(a），虚线框为边长等于的正方形，其几何中心位于。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到点的带电粒子流经过该区域后宽度变为，并沿轴正方向射出。求该磁场磁感应强度的大小和方向，以及该磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程）；
(3）如图(b），虛线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为，并沿轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程）。

【答案】(1）；(2），垂直与纸面向里，；(3），，，
【解析】(1）粒子垂直进入圆形磁场，在坐标原点汇聚，满足磁聚焦的条件，即粒子在磁场中运动的半径等于圆形磁场的半径，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力

解得

(2）粒子从点进入下方虚线区域，若要从聚焦的点飞入然后平行轴飞出，为磁发散的过程，即粒子在下方圆形磁场运动的轨迹半径等于磁场半径，粒子轨迹最大的边界如图所示，图中圆形磁场即为最小的匀强磁场区域

磁场半径为，根据可知磁感应强度为

根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为

(3）粒子在磁场中运动，3和4为粒子运动的轨迹圆，1和2为粒子运动的磁场的圆周

根据可知I和III中的磁感应强度为
，
图中箭头部分的实线为粒子运动的轨迹，可知磁场的最小面积为叶子形状，取I区域如图

图中阴影部分面积的一半为四分之一圆周与三角形之差，所以阴影部分的面积为

类似地可知IV区域的阴影部分面积为

根据对称性可知II中的匀强磁场面积为

8．(2021·全国高考真题）如图，一倾角为的光滑固定斜面的顶端放有质量的U型导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻的金属棒的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路；与斜面底边平行，长度。初始时与相距，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界(图中虚线）与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应强度大小，重力加速度大小取。求：
(1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
(2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数；
(3）导体框匀速运动的距离。

【答案】(1）；(2），；(3）
【解析】(1）根据题意可得金属棒和导体框在没有进入磁场时一起做匀加速直线运动，由动能定理可得

代入数据解得

金属棒在磁场中切割磁场产生感应电动势，由法拉第电磁感应定律可得

由闭合回路的欧姆定律可得

则导体棒刚进入磁场时受到的安培力为

(2）金属棒进入磁场以后因为瞬间受到安培力的作用，根据楞次定律可知金属棒的安培力沿斜面向上，之后金属棒相对导体框向上运动，因此金属棒受到导体框给的沿斜面向下的滑动摩擦力，因匀速运动，可有

此时导体框向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律可得

设磁场区域的宽度为x，则金属棒在磁场中运动的时间为

则此时导体框的速度为

则导体框的位移

因此导体框和金属棒的相对位移为

由题意当金属棒离开磁场时金属框的上端EF刚好进入线框，则有位移关系

金属框进入磁场时匀速运动，此时的电动势为
，
导体框受到向上的安培力和滑动摩擦力，因此可得

联立以上可得
，，，
(3）金属棒出磁场以后，速度小于导体框的速度，因此受到向下的摩擦力，做加速运动，则有

金属棒向下加速，导体框匀速，当共速时导体框不再匀速，则有

导体框匀速运动的距离为

代入数据解得

9．(2021·浙江高考真题）嫦娥五号成功实现月球着陆和返回，鼓舞人心。小明知道月球上没有空气，无法靠降落伞减速降落，于是设计了一种新型着陆装置。如图所示，该装置由船舱、间距为l的平行导轨、产生垂直船舱导轨平面的磁感应强度大小为B的匀强磁场的磁体和“∧”型刚性线框组成，“∧”型线框ab边可沿导轨滑动并接触良好。船舱、导轨和磁体固定在一起，总质量为m1整个装置竖直着陆到月球表面前瞬间的速度大小为v0，接触月球表面后线框速度立即变为零。经过减速，在导轨下方缓冲弹簧接触月球表面前船舱已可视为匀速。已知船舱电阻为3r，“∧”型线框的质量为m2，其7条边的边长均为l，电阻均为r；月球表面的重力加速度为g/6。整个运动过程中只有ab边在磁场中，线框与月球表面绝缘，不计导轨电阻和摩擦阻力。
(1）求着陆装置接触到月球表面后瞬间线框ab边产生的电动势E；
(2）通过画等效电路图，求着陆装置接触到月球表面后瞬间流过ab型线框的电流I0；
(3）求船舱匀速运动时的速度大小v；
(4）同桌小张认为在磁场上方、两导轨之间连接一个电容为C的电容器，在着陆减速过程中还可以回收部分能量，在其他条件均不变的情況下，求船舱匀速运动时的速度大小和此时电容器所带电荷量q。

【答案】(1）Blv0；(2）；(3）；(4），
【解析】(1）导体切割磁感线，电动势

(2）等效电路图如图

并联总电阻

电流

(3）匀速运动时线框受到安培力

根据牛顿第三定律，质量为m1的部分受力F=FA，方向竖直向上，匀速条件

得

(4）匀速运动时电容器不充放电，满足

电容器两端电压为

电荷量为

10．(2021·浙江高考真题）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离子注入工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆(硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均为E，方向分别为竖直向上和垂直纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为R1和R2的四分之一圆环，其两端中心位置M和N处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正方体，其速度选择器底面与晶圆所在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O点(即图中坐标原点，x轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的离子，经过电场和磁场偏转的角度都很小。当α很小时，有，。求：
(1）离子通过速度选择器后的速度大小v和磁分析器选择出来离子的比荷；
(2）偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y）表示；
(3）偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y）表示；
(4）偏转系统同时加上电场和磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y）表示，并说明理由。

【答案】(1），；(2）(，0）；(3）(0，）；(4）见解析
【解析】(1）通过速度选择器离子的速度

从磁分析器中心孔N射出离子的运动半径为

由得

(2）经过电场后，离子在x方向偏转的距离


离开电场后，离子在x方向偏移的距离


位置坐标为(，0）
(3）离子进入磁场后做圆周运动半径


经过磁场后，离子在y方向偏转距离

离开磁场后，离子在y方向偏移距离

则

位置坐标为(0，）

(4）注入晶圆的位置坐标为(，）,电场引起的速度增量对y方向的运动不产生影响。

1．在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以为圆心、半径为的圆，为圆的直径，如图所示，质量为，电荷量为的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的点以速率穿出电场，与的夹角，运动中粒子仅受电场力作用。
(1）求电场强度的大小；
(2）为使粒子穿出电场的位移最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
(3）从A点射入的粒子速率取某一值时，粒子穿过电场时动能的增量最大，求动能增量的最大值。

【答案】(1）；(2）；(3）
【解析】(1）初速度为零的粒子从A开始沿着电场力方向做匀加速直线运动，则场强沿方向，
从A到由动能定理得

解得

(2）从点穿出的粒子位移最大，如图所示

设粒子在A点的速度为，则沿轴正方向，A到，沿、正方向，有


而

联立解得

(3）垂直于轴作圆的切线与圆相切于点，从点穿出的粒子沿电场力方向的位移最大，电场力做功最多，动能的增量最大，如图所示

由几何关系得

由动能定理得

联立解得

2．如图所示，坐标系建立在竖直平面内，x轴水平向右。在第一象限内存在水平向右的匀强电场；在第四象限内有竖直向上、场强大小与第一象限相同的匀强电场，同时存在着垂直此竖直平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。一质量为m，电荷量为q的带正电小球，从坐标原点处以初速度沿y轴负方向第一次进入磁场。已知重力大小与电场力大小相等，重力加速度为g。试求：
(1）小球第一次出磁场的位置坐标；
(2）小球第二次进、出磁场的位置之间的距离d；
(3）小球第n次出磁场的位置坐标。

【答案】(1）；(2）；(3）
【解析】(1）小球第一次在磁场中运动时，由于重力大小与电场力大小相等，故小球做匀速圆周运动，有

得

故小球第一次出磁场时的位置坐标

(2）小球第一次出磁场后，在竖直方向上做竖直上抛运动，在水平方向上做初速度为0的匀加速运动。所以，小球第二次进入磁场时，其速度在竖直方向的分量仍为，设小球第二次进入磁场时速度为v，令此速度与x轴正方向成角，则

如图所示。令小球在磁场中的运动半径为，则有

由图可知，小球进、出磁场的位置点之间的距离

(3）在磁场外，小球所受电场力大小与重力相等，故在水平方向上加速度大小也为g；由小球在磁场中运动的对称性可知，小球同一次进、出磁场的水平速度分量不变，而竖直分量始终为，故小球在水平方向上的磁场外运动连接起来，是一个初速度为0的匀加速运动。小球每次在竖直方向上升和下降的时间是相等的，令为，则

而每次小球在磁场的进、出点间的距离均为d；则小球在第n次进入磁场时，磁场外运动的时间为

在电场中运动的位移总和为

第n次出磁场时，在磁场中的跨度总和为

综上所述，小球在第n次出磁场的位置坐标

3．如图所示，绝缘水平面上固定两条光滑的、间距为的、电阻不计的平行足够长金属导轨，导轨左端连接电源，电源电动势为，内阻为。整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度。现将质量为，电阻为的导体棒置于导轨上。现接通电源，导体棒沿导轨由静止开始向右运动，运动时始终与导轨垂直且接触良好，不计电磁辐射损失的能量，问：
(1）棒运动的最大速度；
(2）从静止开始到导体棒的速度达到过程中，回路通过的电荷量q；
(3）从静止开始到导体棒的速度达到过程中，棒产生的焦耳热。

【答案】(1）；(2） ；(3）
【解析】
(1）电源产生电流

方向由
则由右手定则感应电流方向由，由左手定则，向右运动


当时，上电流为零，不受安培力作用，此时速度达到最大为则

代入可得

水平向右
(2）由牛顿第二定律

得

，为任意时刻的加速度和感应电流
由

得两边同乘，则

则由

得
当时

则


(3）设棒与内阻产生的总焦耳热为由动能定理

由

得，则棒产生的焦耳热

4．如图所示，在平面内的第二、三象限内存在着沿y轴负方向的匀强电场；第一、四象限内存在以坐标原点O为圆心的半圆形匀强磁场区域，其磁感应强度大小为B、方向垂直坐标平面向里。一质量为m、电荷量为q的带电粒子自坐标为的P点射出，射出时的速度大小为，方向沿x轴正方向，经过一段时间恰好从坐标原点O进入y轴右侧的匀强磁场，并恰好不从磁场的圆弧边界射出，不计粒子受到的重力，取。
(1）求匀强电场的电场强度大小；
(2）求粒子在磁场中运动的时间和粒子离开磁场时的位置坐标；
(3）若仅改变匀强磁场的磁感应强度的大小，使粒子射出磁场的方向与y轴平行，求此时匀强磁场的磁感应强度大小。

【答案】(1）；(2），；(3）0.97B
【解析】(1）粒子在电场中做类平抛运动，则有


根据牛顿第二定律

联立得

(2）根据平抛轨迹，如图所示

进入磁场时


则有

由图可知速度方向与y轴成30°角，圆心角为300°，根据圆心角可知运动时间为

而周期为

联立可得

运动半径为

因此出射点的坐标为。
(3）粒子射出磁场的方向与y轴平行，轨迹如图所示

则有磁场半径为

运动半径为

又因为

解得

所以

解得

5．如图所示，在空间坐标系区域中有竖直向上的匀强电场，在一、四象限的正方形区域内有方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场，已知，，。在负x轴上有一质量为m、电量为的金属球以速度v0沿轴向右匀速运动，并与静止在坐标原点处用绝缘细支柱支撑的(支柱与球不粘连、无摩擦）质量为、不带电金属球发生弹性碰撞。已知、球体积相等、材料相同且都可视为点电荷，碰后电荷总量平均分配，重力加速度为，不计、球间的静电力，不计、球产生的场对电场、磁场的影响，求：
(1）碰撞后，、球的速度大小；
(2）、碰后，要使球恰好从边界的点射出，求磁感应强度的取值。

【答案】(1）；(2）
【解析】(1）a匀速，则

a、b碰撞，动量守恒

机械能守恒

得


(2）碰后a、b电量总量平分，则

碰撞后对b

故b做匀速圆周运动，则

恰从D射出，则由几何关系

得

得

6．如图，倾角为的金属导轨光滑且足够长，上端连接一的定值电阻，底端通过一小段光滑的圆弧与水平金属导轨平滑连接，两导轨间距均为。在倾斜导轨的区域有垂直于轨道平面斜向上的匀强磁场，在水平导轨的区域有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小都为，导体棒的质量为、电阻，棒由倾斜导轨上足够高处下滑至两导轨交界处(交界处无磁场）时，与静止在交界处的棒发生弹性正碰，棒的质量也为，电阻。导体棒进入匀强磁场区域，在磁场中运动距离后停止运动，其中导体棒与水平导轨间的动摩擦因数，g取，不计导轨的电阻，求：
(1）棒下滑的最大速度；
(2）导体棒开始运动到停止，电阻产生的热量；
(3）导体棒的运动时间t。

【答案】(1）；(2）；(3）
【解析】
(1）对棒下滑至速度最大时有：



解得

(2）棒与棒碰撞动量守恒

弹性碰撞系统机械能守恒

解得
，
对棒减速至0的过程据能量守恒

电阻产生的热量

解得

(3）对棒减速至0的过程据能量守恒动量定理(以水平向左为正方向）：






解得
7．如图所示，在竖直平面直角坐标系中，x轴上方充满方向沿纸面的匀强电场(未画出）；x轴下方充满正交的匀强电场(未画出）和匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。一质量为m、电荷量为q的带正电小球从y 轴上的A点(以某一初速度沿x轴负方向射入第三象限，做速率不变的圆弧运动后通过x轴上的C点， 此时小球速度方向与x轴正方向夹角，并沿做匀减速直线运动恰能到达y轴上的D点(图中未画出）。已知重力加速度大小为g，磁感应强度大小。求：
(1）x轴下方匀强电场的场强大小以及小球的初速度大小；
(2）x轴上方匀强电场的场强大小；
(3）小球从A点开始到第三次通过x轴过程中所用的时间t。

【答案】(1），；(2）；(3）
【解析】
(1）由于小球在第三象限做速率不变的圆弧运动，电场 力与重力平衡，则

得

小球运动轨迹如图所示

设小球在磁场中运动的轨迹半径为R，则

解得

由

解得

(2）两点间的距离

小球从C点运动到D点做匀减速直线运动，则

解得

又

则x轴上方的场强方向沿x轴负方向且

解得

(3）设小球从A点第一次运动到C点所用的时间为，则

设小球从C点运动到D点再返回C点所用的时间为，则

得

设小球从C点运动到P点所用的时间为，则

联立解得时间

8．如图所示，有两个质量分别为4m和m的正方形导线框a、b，电阻均为R，边长均为l；它们分别系在一跨过两个轻质定滑轮的轻绳两端，在两导线框之间有一方向垂直纸面向里、宽度为2l的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B；开始时，线框b的上边框与匀强磁场的下边界重合，线框a的下边框到匀强磁场的上边界的距离为l。现将系统由静止释放，线框a恰好匀速穿越磁场区域。不计滑轮摩擦和空气阻力，重力加速度为g。求：
(1）线框a穿出磁场区域时的电流大小；
(2）线框a穿越磁场区域时的速度大小；
(3）线框b进入磁场过程中产生的焦耳热。

【答案】(1）；(2）；(3）3mgR－
【解析】(1）设绳子拉力为F，线框a匀速穿越磁场区域对线框a
4mg＝F安＋F
对线框b
F＝mg
F安＝BIl
解得
I＝
(2）线框a匀速运动时，线框a、b速度大小相等
E＝BLv

解得
v＝
(3）设线框b进入磁场过程产生的焦耳热为Q，对系统列能量守恒方程
4mgl＝mgl＋×5mv2＋Q
解得
Q＝3mgR－。
9．如图甲所示，在竖直方向上有4条间距相等的水平虚线、、、在、之间，、之间存在大小均为、方向垂直于虚线所在平面向里的匀强磁场。现有一根电阻为的均匀金属丝，首尾相连制成单匝矩形线圈，连接处接触电阻忽略不计，其边的长度，质量为，将线圈从图示位置由静止释放(边与重合），速度随时间变化的关系图像如图乙所示，其中时间内的图线是曲线，其他时间内的图线都是直线，时间内的图线与时刻后的图线平行，并且时刻边与重合，时刻边与重合，时刻边与重合，已知重力加速度，的时间间隔为，整个运动过程中线圈平面始终处于竖直方向，求：
(1）线圈匀速运动的速度大小；
(2）线圈边的长度；
(3）时间内，线圈边产生的热量。

【答案】(1）；(2）；(3）
【解析】(1）时间边在、内做匀速直线运动，则有



联立解得

(2）从边出到边刚进入，线圈一直做匀加速直线运动，边刚进上方磁场时，边也应刚进下方磁场，设磁场宽度为，由

解得

则

解得

有

(3）在时间内由能量守恒定律得线圈产生的热量

故线圈边产生的热量

10．如图甲所示，有一边长为、质量为的正方形单匝线框，放在光滑水平面。在水平恒定拉力F的作用下，穿过垂直水平面向下、磁感应强度为的匀强磁场区域。线框边刚进入磁场时的速度为。在时刻边刚出磁场边界。从进入到离开磁场区域的时间内线框运动的图象如图乙所示。求：
(1）线框边在刚进入磁场时，c、d两点间的电势差；
(2）恒力F的大小；
(3）线框从边刚进入磁场到边刚离开磁场的过程中，线框产生的焦耳热Q。

【答案】(1）；(2）；(3）
【解析】(1）线框边在刚进入磁场时，产生的感应电动势为

感应电流为

c、d两点间的电势差为路端电压，且感应电流由c流向d，故c点电势较低，故c、d两点间的电势差为

联立代入数据解得

(2）当ab边也进入磁场后，线框在磁场中做匀加速直线运动，由牛顿第二定律可得

由乙图可知，加速度为

解得

(3）从cd边进入磁场到ab边进入磁场过程，由能量守恒可得，线框产生的焦耳热为

解得

从ab边进入磁场到cd边离开磁场过程，线框没有产生感应电流，没有产生焦耳热，故

11．如图甲所示，用表面绝缘的金属丝绕成的正方形闭合线框abcd放置于粗糙的水平桌面上，线框边长L=40cm、匝数N=50匝、质量m=0.20kg、电阻R=8.0Ω，虚线MN是线框中线，MN左侧空间存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小B随时间t变化的关系如图乙所示。已知线框与桌面之间的动摩擦因数µ=0.50。设线框与桌面之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g=10m/s2求：
(1）t1=1.2s时刻这50匝线框所受安培力的大小和方向；
(2）何时这50匝线框开始滑动，并求这50匝线框在滑动前所产生的焦耳热。

【答案】(1）0.48N，方向向右；(2）2.5s ；0.12J
【解析】(1）由法拉第电磁感应定律可得
=0.8V
再由欧姆定律可得
=0.1A
由图乙可得：此时
1.2s时线框ad边所受安培力大小为
=0.48N
方向由左手定则可得向右；
(2）线框与桌面之间的最大静摩擦力
=1.0N
所以开始滑动时有

解得
t=2.5s
则线框在滑动前所产生的焦耳热为
=0.12×8×1.5=0.12J
12．如图甲所示，两平行金属板间接有如图乙所示的随时间t变化的电压u，两板间电场可看作是均匀的，且两板外无电场，极板长L＝0.2m，板间距离d＝0.2m，在金属板右侧有一边界为MN的区域足够大的匀强磁场，MN与两板中线OO′垂直，磁感应强度B＝5×10﹣3T，方向垂直纸面向里，现有带正电的粒子流沿两板中线OO′连续射入电场中，已知每个粒子的速度v0＝105m/s，比荷 ＝108C/kg，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视作是恒定不变的。
(1）试求带电粒子射出电场时的最大速度；
(2）证明任意时刻从电场射出的带电粒子，进入磁场时在MN上的入射点和出磁场时在MN上的出射点间的距离为定值；
(3）从电场射出的带电粒子，进入磁场运动一段时间后又射出磁场，求粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间。

【答案】(1）(2）(3）；
【解析】
(1）设两板间电压为U1时，带电粒子刚好从极板边缘射出电场，则有

代入数据解得

当电压低于100V时，带电粒子才能从两板间射出，电压高于100V时，带电粒子打在极板上，不能从两板间射出。粒子刚好从极板边缘射出电场时，速度最大，设最大速度为v1，则有


代入数据解得

(2）设粒子进入磁场时速度方向与OO'的夹角为θ，则速度大小

粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径

粒子从磁场中飞出的位置与进入磁场的位置之间的距离

代入数据解得

s与θ无关，即射出电场的任何一个带电粒子进入磁场的入射点与出射点间距离恒为定值。
(3）粒子飞出电场进入磁场，在磁场中按逆时针方向做匀速圆周运动。粒子飞出电场时的速度方向与OO'的最大夹角为α
，

当粒子从下板边缘飞出电场再进入磁场时，在磁场中运动时间最长

当粒子从上板边缘飞出电场再进入磁场时，在磁场中运动时间最短

13．如图所示，A球用水平细绳(绷直）悬挂，现在A球的右边放置一个B球，使A球向左偏转了53°。待A球静置后，小明发现A球与B球处于同一条水平线上。已知A球的质量为m，B球的带电量为q，AB之间的距离为r，sin37°=0.6，cos37°=0.8，静电力常量为k。回答下列有关小题：
(1）若B球带负电，判断A球的电性并说明理由；
(2）求细绳的拉力及A球所带的电荷量；
(3）若此时剪短细绳，球剪短瞬间A球的合加速度。

【答案】(1）在右边放置B球时，A球向左偏，说明两者相互排斥；(2），；(3）a=，方向朝左下角(与水平方向呈37°）
【解析】
(1）带负电理由：在右边放置B球时，A球向左偏，说明两者相互排斥
(2）由几何关系，得
=
受力分解，得
=
故有
==
得

(3）剪断瞬间A球受水平向左的静电力以及重力，解得

此时由
=ma
得
a=
方向朝左下角(与水平方向呈37°）
14．在同一水平面内有相距L的两根电阻不计的光滑平行金属导轨，导轨上金属杆和垂直导轨放置，杆的中点系一轻绳，跨过定滑轮系一质量为M的重物，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，如图所示。已知磁感应强度，，，金属杆和的电阻均为、质量为。现给杆一个水平向左拉力，使之向左运动。当金属杆运动了距离时，物块刚要离开地面，取重力加速度。求：
(1）此过程流过金属杆的电荷量是多少？
(2）当物块刚要离开地面时，金属杆速度多大？
(3）此过程中，在金属杆中产生的焦耳热是多少？

【答案】(1）；(2）；(3）
【解析】(1）由于




代入数据可得

(2）对于杆

对物块

又



代入数据可得

(3）由动能定理可得

代入数据可得

15．如图所示， 形光滑导轨水平放置，左侧接有阻值为R=2Ω的电阻，其余部分电阻不计。在虚线右侧空间中存在竖直向下的磁场，磁感应强度B=0.5T。左侧导轨宽L=1.6m，右侧导轨与虚线夹角53º，一质量为0.2kg，电阻不计的金属棒与导轨始终接触良好，t=0时刻金属棒以v0=1m/s初速度从I位置进入磁场，向右移动0.8m到达位置II。由于金属棒受到水平外力的作用，使得通过R的电流保持恒定。已知，。求：
(1）金属棒到达位置II时的速度大小；
(2）水平外力对金属棒做的功。

【答案】(1） 4m/s；(2） 1.66J
【解析】(1）初始时刻感应电动势

当金属棒向右运动x时，设金属棒的速度为v。由几何关系可知此时的有效切割长度为

电动势

依题意

联立并代入数据，解得

(2）金属棒向右运动过程中，通过R的电量为

其中

对金属棒由动能定理

根据能量关系

联立并代入数据，解得