2023届高考数学二轮复习2-1-4三角函数与平面向量学案含答案

四　三角函数与平面向量

【必记结论】

1.诱导公式

2．三种三角函数的性质

3.三角函数图象的变换

由函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法

4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

sin (α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.

cos (α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.

tan (α±β)＝.

sin (α＋β)sin (α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式)．

cos(α＋β)cos (α－β)＝cos2α－sin2β.

5．二倍角、辅助角及半角公式

(1)二倍角公式

sin2α＝2sinαcosα.

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

tan2α＝.

①1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2.

②1－sin2α＝(sinα－cosα)2.

(2)辅助角公式

y＝asinx＋bcosx＝(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝sin (x＋φ)，其中角φ的终边所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tanφ＝(a≠0)确定．

(3)半角公式

sin＝±

cos＝±

tan＝±＝＝.

6．正、余弦定理及其变形

7.平面向量数量积的坐标表示

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．

【易错剖析】

易错点1　不清楚向量夹角范围

【突破点】　数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当a·b<0时，a与b的夹角不一定为钝角，要注意隐含的情况．

易错点2　忽视正、余弦函数的有界性

【突破点】　许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性．

易错点3　忽视三角函数值对角的范围的限制

【突破点】　在解决三角函数中的求值问题时，不仅要看已知条件中角的范围，更重要的是注意挖掘隐含条件，根据三角函数值缩小角的范围．

易错点4　图象变换方向或变换量把握不准确

【突破点】　图象变换若先作周期变换，再作相位变换，应左(右)平移个单位．另外注意根据φ的符号判定平移的方向．

【易错快攻】

易错快攻一　忽视向量的夹角范围致误

[典例1]　已知向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为(　　)

A． B．

C． D．

听课笔记：

易错快攻二　函数图象平移的方向把握不准

[典例2]　将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)

A． B．

C．0 D．

听课笔记：

四　三角函数与平面向量

[典例1]　解析：因为(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，

所以

所以即

设a，b的夹角为α，则cosα＝＝，

因为α∈[0，π]，

所以α＝，即a，b的夹角为，故选C.

答案：C

[典例2]　解析：将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y＝sin ＝sin .             

因为所得函数为偶函数，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，

即φ＝kπ＋(k∈Z)，则φ的一个可能取值为，故选B.

答案：B