2023届高考数学二轮复习4-3立体几何学案含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习4-3立体几何学案含答案，共23页。学案主要包含了命题规律，技法领悟等内容，欢迎下载使用。
第三讲　立体几何
——大题备考
【命题规律】
立体几何大题一般为两问：第一问通常是线、面关系的证明；第二问通常跟角有关，一般是求线面角或二面角，有时与距离、几何体的体积有关．


微专题1　线面角
保分题
[2022·辽宁沈阳二模]如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝2AB＝4，点M是PA的中点．

(1)求证：BD⊥CM；
(2)求直线PC与平面MCD所成角的正弦值．



提分题
例1[2022·全国乙卷]如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．

(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．
听课笔记：







【技法领悟】
利用空间向量求线面角的答题模板



巩固训练1
[2022·山东泰安一模]如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，PA⊥平面ABCD，E为PD中点．

(1)若PA＝1，求证：AE⊥平面PCD；

(2)当直线PC与平面ACE所成角最大时，求三棱锥E - ABC的体积．








微专题2　二面角
保分题

[2022·山东临沂二模]如图，AB是圆柱底面圆O的直径，AA1、CC1为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且AB＝AA1＝2BC＝2CD，E、F分别为A1D、C1C的中点．
(1)证明：EF∥平面ABCD；
(2)求平面OEF与平面BCC1夹角的余弦值．



提分题
例2 [2022·湖南岳阳三模]如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是菱形，F是PD的中点．

(1)证明：PB∥平面AFC；
(2)若直线PA⊥平面ABCD，AC＝AP＝2，且PA与平面AFC所成的角正弦值为217，求锐二面角F - AC - D的余弦值．
听课笔记：






















例3[2022·山东日照二模]如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝12AD，现以AC为折痕把△ABC折起，使点B到达点P的位置，且PA⊥CD.

(1)证明：平面APC⊥平面ADC；





(2)若M为PD上一点，且三棱锥D - ACM的体积是三棱锥P - ACM体积的2倍，求二面角P - AC - M的余弦值．
听课笔记：






【技法领悟】
利用空间向量求二面角的答题模板




巩固训练2
1.[2022·广东韶关二模]如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD为矩形，点S是边AB的中点．AB＝2，AD＝4，PA＝PD＝22.

(1)若O是侧棱PC的中点，求证：SO∥平面PAD；
(2)若二面角P - AD - B的大小为2π3，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．








2．[2022·河北保定一模]如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝1，∠BCD＝60°，现将DAC沿AC折起至PAC，使得PB＝2.

(1)证明：AB⊥PC；
(2)求二面角A - PC - B的余弦值．
















微专题3　探索性问题
提分题
例4[2022·山东聊城三模]已知四边形ABCD为平行四边形，E为CD的中点，AB＝4，△ADE为等边三角形，将三角形ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且平面APE⊥平面ABCE.

(1)求证：AP⊥BE；
(2)试判断在线段PB上是否存在点F，使得平面AEF与平面AEP的夹角为45°.若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
听课笔记：






【技法领悟】
1．通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明；否则假设不成立．
2．探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用．



巩固训练3
[2022·湖南岳阳一模]如图，在三棱锥S - ABC中，SA＝SB＝SC，BC⊥AC.

(1)证明：平面SAB⊥平面ABC；
(2)若BC＝SC，SC⊥SA，试问在线段SC上是否存在点D，使直线BD与平面SAB所成的角为60°，若存在，请求出D点的位置；若不存在，请说明理由．




























第三讲　立体几何
微专题1　线面角
保分题
解析：(1)证明：如图，连接AC，

∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
又PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，
∵PA，AC⊂平面PAC，PA∩AC＝A，
∴BD⊥平面PAC，
又CM⊂平面PAC，
∴BD⊥CM.
(2)易知AB，AD，AP两两垂直，以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A - xyz.
∵PA＝2AB＝4，∴A(0，0，0)，P(0，0，4)，M(0，0，2)，C(2，2，0)，D(0，2，0),
∴MC＝(2，2，－2)，MD＝(0，2，－2)，PC＝(2，2，－4)．
设平面MCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·MC=2x+2y-2z=0n·MD=2y-2z=0，
令y＝1，得n＝(0，1，1)．设直线PC与平面MCD所成角为θ，由图可知0