2023届高考数学二轮复习专题一函数与导数第2讲基本初等函数、函数与方程学案

第2讲　基本初等函数、函数与方程

1.[指数、对数的运算] (2020·全国Ⅰ卷,T8)设alog34=2,则4-a=(　B　)

A. B. C. D.

解析:因为alog34=2,则log34a=2,则4a=32=9,则4-a==.故选B.

2.[函数的应用] (2021·全国甲卷,T4)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　C　)

A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6

解析:在L=5+lg V中,L=4.9,所以4.9=5+lg V,即lg V=-0.1,

解得V=10-0.1===≈0.8,所以其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C.

3.[函数的性质] (2021·新高考Ⅱ卷,T7)已知a=log52,b=log83,c=,则下列判断正确的是(　C　)

A.c<b<a B.b<a<c

C.a<c<b D.a<b<c

解析:因为log52<log5=,log83>log8=,所以a<c<b.故选C.

4.[函数的零点] (2020·天津卷,T9)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范围是(　D　)

A.(-∞,-)∪(2,+∞)

B.(-∞,-)∪(0,2)

C.(-∞,0)∪(0,2)

D.(-∞,0)∪(2,+∞)

解析:由题意知函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4个零点等价于方程f(x)-|kx2-2x|=0,

即f(x)=|kx2-2x|有4个不同的根,

即函数y=f(x)与y=|kx2-2x|的图象有4个不同的公共点.

当k=0时,在同一平面直角坐标系中,分别作出函数y=f(x)与y=|2x|的图象如图1所示,由图1知两函数的图象只有2个不同的公共点,不满足题意.

当k<0时,y=|kx2-2x|=|k(x-)2-|,其图象的对称轴为直线x=<0,直线x=与y=|kx2-2x|的图象的交点为(,-),点(,-)在直线y=-x上,在同一平面直角坐标系中,

分别作出y=f(x)与y=|kx2-2x|的图象如图2所示,由图2易知函数y=f(x)与y=|kx2-2x|的图象有4个不同的公共点,满足题意.

当k>0时,函数y=|kx2-2x|的图象与x轴的2个交点分别为原点(0,0)与(,0),

则当x>时,由kx2-2x=x3,得x2-kx+2=0,令Δ=k2-8=0,得k=2,此时在同一平面直角坐标系中,分别作出函数y=f(x)与y=|kx2-2x|的图象如图3所示,由图3知两函数的图象有3个不同的公共点,不满足题意.令Δ=k2-8>0,得k>2,此时在同一平面直角坐标系中,分别作出函数y=f(x)与y=|kx2-2x|的图象如图4所示,由图4知两函数的图象有4个不同的公共点,满足题意.令Δ=k2-8<0,得0<k<2,易知此时不满足题意.

综上可知,实数k的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).故选D.

　　基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点,利用函数性质比较大小、解不等式、求函数值是常见题型,难度中等;函数零点的个数判断及求参数的取值范围是高考热点,常以压轴题的形式出现;以生活情境为背景命题来考查学生的阅读理解能力及运用数学模型解决实际问题的能力是近几年的高考热点,难度一般.

热点一　基本初等函数的图象与性质

1.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,其图象关于直线y=x对称,它们的图象和性质分0<a<1,a>1两种情况,着重关注两个函数图象的异同.

2.幂函数y=xα的图象和性质,主要掌握α=1,2,3,,-1五种情况.

典例1　(1)(2022·山东潍坊二模)已知函数f(x)=loga(x-b)(a>0且a≠1)的图象如图所示,则以下说法正确的是(　　)

A.a+b<0 

B.ab<-1

C.0<ab<1 

D.loga|b|>0

(2)(2022·福建泉州模拟预测)已知函数f(x)=ax2-bx+c,若log3a=3b=c>1,则(　　)

A.f(a)<f(b)<f(c) B.f(c)<f(b)<f(a)

C.f(b)<f(a)<f(c) D.f(b)<f(c)<f(a)

解析:(1)由图象可知f(x)在定义域内单调递增,所以a>1,令f(x)=loga(x-b)=0,即x=b+1,所以函数f(x)的零点为b+1,结合函数图象可知0<b+1<1,所以-1<b<0,因此a+b>0,故A错误;

-a<ab<0,又因为a>1,所以-a<-1,因此ab<-1不一定成立,故B错误;

因为a-1<ab<a0,即<ab<1,且0<<1,所以0<ab<1,故C正确;

因为0<|b|<1,所以loga|b|<loga1,即loga|b|<0,故D错误.故选C.

(2)因为log3a>1,所以a>3,因为3b>1,所以b>0,

作出函数y=log3x,y=3x,y=x的图象,如图所示,

由题意可知直线y=c(c>1)与函数y=log3x,y=3x,y=x的图象的交点分别为a,b,c,

由图可知0<b<c<a,因为a>3,所以<b<c<a,

因为函数f(x)=ax2-bx+c图象的对称轴为直线x=,所以f(x)在(,+∞)上单调递增,

所以f(b)<f(c)<f(a).故选D.

1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响,解决与指数函数、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a的取值范围.

2.研究对数函数的性质,应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)=ln(x2-3x+2)的单调区间时,容易只考虑t=x2-3x+2与函数y=ln t的单调性,而忽视t>0的限制条件.

3.指数函数、对数函数、幂函数值的大小比较问题的解题策略:(1)底数相同、指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较.

(2)底数相同、真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较.

(3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个函数值,常引入中间量或结合图象比较大小.

热点训练1　 (1)(2022·河北石家庄二模)已知x=(),y=log45,z=log34,则x,y,z的大小关系为(　　)

A.y>x>z B.x>y>z

C.z>x>y D.x>z>y

(2)已知函数f(x)=(a>0且a≠1),若函数f(x)的图象上有且仅有两个点关于y轴对称,则实数a的取值范围是(　　)

A.(0,1) B.(1,3)

C.(0,1)∪(3,+∞) D.(0,1)∪(1,3)

解析:(1)因为y=log45>1,z=log34>1,

所以==log45·log43≤()2==<=1,即z>y,

因为=log3,而=34=81>43=64,所以=log3>log34,又=<(),

所以x>z.综上,x>z>y.故选D.

(2)y=logax的图象关于y轴对称的图象对应的函数为y=loga(-x),函数f(x)的图象上有且仅有两个点关于y轴对称,等价于y=loga(-x)与y=|x+2|,-3≤x≤0的图象有且仅有一个交点.

当0<a<1时,显然符合题意(图略).

当a>1时,只需loga3>1,所以1<a<3.

综上所述,实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3).故选D.

热点二　函数的零点

1.函数的零点与方程解的联系

函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标,所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.

2.函数零点存在定理

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.

考向1　函数零点的判断

典例2　(2022·湖南衡阳二模)已知定义在R上的奇函数f(x)恒有f(x-1)=f(x+1),当x∈[0,1)时,f(x)=,已知k∈(-,-),则函数g(x)=f(x)-kx-在(-1,6)上的零点个数为(　　)

A.4 B.5

C.3或4 D.4或5

解析:因为f(x-1)=f(x+1),所以f(x)的周期为2,又因为f(x)为奇函数,f(x)=-f(-x),

令x=1,得f(1)=-f(-1),又f(-1)=f(1),所以f(1)=f(-1)=0,

当x∈(-1,1)时,f(x)==1-,由y=单调递减得函数f(x)在(-1,1)上单调递增,

所以-<f(x)<,作出函数f(x)的大致图象如图所示,

由图象可知当y=kx+过点(5,-)时,k=-,此时在(-1,6)上只有3个零点.

当y=kx+经过点(3,0)时,k=-,此时有5个零点.当-<k<-时,有4个零点.

当y=kx+经过点(5,0)时,k=-,此时有5个零点.当-<k<-时,有4个零点.

当y=kx+经过点(6,0)时,k=-,此时在(-1,6)上只有3个零点.当-<k<-时,有4个零点.

所以当k∈(-,-)时,函数g(x)=f(x)-kx-在(-1,6)上有4个或5个零点.故选D.

考向2　求参数的值或取值范围

典例3　(2022·广东汕头一模)定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)=f(2+x),且当x∈[0,2]时,f(x)=若关于x的方程mln|x|=f(x)至少有8个实数解,则实数m的取值范围是(　　)

A.[-,0)∪(0,]

B.[-,]

C.(-,0)∪(0,)

D.(-,)

解析:因为f(2-x)=f(2+x),且f(x)为偶函数,所以f(x-2)=f(x+2),即f(x)=f(x+4),

所以函数f(x)是以4为周期的周期函数,作出y=f(x),y=mln x在同一平面直角坐标系上的图象,如图,

因为方程mln |x|=f(x)至少有8个实数解,所以y=f(x),y=mln |x|的图象至少有8个交点,

根据y=f(x),y=mln |x|都为偶函数可知,图象在x轴正半轴一侧至少有4个交点,

由图可知,当m>0时,只需mln 5≤1,

即0<m≤,

当m<0时,只需mln 6≥-1,即-≤m<0,

当m=0时,由图可知显然成立.

综上可知,-≤m≤.故选B.

1.判断函数零点个数的方法

(1)利用函数零点存在定理判断.

(2)代数法:求方程f(x)=0的实数根.

(3)几何法:对于不易求根的方程,将它与函数y=f(x)的图象联系起来,利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时,可用求导的方法判断函数的单调性.

2.利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法

热点训练2　 (1)(2022·广东潮州二模)已知函数f(x)=若函数F(x)=f(x)-a的两个零点分别在区间(-1,0)和(,1)内,则实数a的取值范围为(　　)

A.(,ln 2) B.(0,1)

C.(ln 2,1) D.(,1)

(2)(2022·山东模拟预测)函数f(x)=1+sin πx-xsin πx在区间[-,]上的所有零点之和为(　　)

A.0 B.3 C.6 D.12

解析:(1)先作出f(x)=的图象,令f(x)=a,

在区间(-1,0)内时,ex=a,x=ln a,得到-1<ln a<0,所以<a<1;

在区间(,1)内时,ln 2x=a,x=,得到<<1,解得1<ea<2,所以0<a<ln 2.

综上,得a∈(,ln 2).故选A.

(2)函数f(x)=1+sin πx-xsin πx的零点就是函数y=sin πx与y=的图象公共点的横坐标.

如图,因为函数y=sin πx与y=的图象均关于点(1,0)成中心对称,且函数y=sin πx与y=的图象在区间[-,]上共有6个公共点,它们关于点(1,0)对称,

所以函数f(x)在区间[-,]上共有6个零点,它们的和为3×2=6.故选C.

热点三　函数模型及其应用

解函数应用题的步骤

(1)审题:缜密审题,准确理解题意,分清条件和结论,理清数量关系.

(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.

(3)求模:求解数学模型,得出数学结论.

(4)反馈:将得到的数学结论还原为实际问题的意义.

典例4　(1)(2022·湖南衡阳一模)2021年10月16日0时23分,搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭,在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射,顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空,飞行乘组状态良好,发射取得圆满成功.火箭在发射时会产生巨大的噪音,已知声音的声强级d(x)(单位:dB)与声强x(单位:W/m2)满足d(x)=10lg .若人交谈时的声强级约为50 dB,且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109,则火箭发射时的声强级约为(　　)

A.130 dB B.140 dB C.150 dB D.160 dB

(2)(2022·福建三明模拟预测)某科研机构新研制了一种治疗某种疾病的注射性新药,并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量c(t)(单位:mg/L)随着时间t(单位:h)的变化用指数模型c(t)=c0e-kt描述,假定某药物的消除速率常数k=0.1(单位:h-1),刚注射这种新药后的初始血药含量c0=2 000 mg/L,且这种新药在病人体内的血药含量不低于1 000 mg/L时才会对该疾病起疗效,现给某病人注射了这种新药,则该新药对病人有疗效的时长大约为(参考数据:ln 2≈0.693,ln 3≈1.099)(　　)

A.5.32 h B.6.23 h C.6.93 h D.7.52 h

解析:(1)人交谈时的声强级约为50 dB,则50=10lg ⇒=105⇒x=10-7,

即人交谈时的声强为10-7W/m2.因为火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109,

所以火箭发射时的声强为10-7×109=100 (W/m2),

因此火箭发射时的声强级为10lg =10 lg 1014=10×14=140(dB).故选B.

(2)由题意得c(t)=c0e-kt=2 000e-0.1t.

设该药在机体内的血药浓度不低于1 000 mg/L,即有疗效的时间为t1,则c(t1)=2 000≥1 000,≥,

故-0.1t1≥-ln 2,t1≤≈6.93,故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93 h.故选C.

1.构建函数模型解决实际问题的失分点

(1)不能选择相应变量得到函数模型.

(2)构建的函数模型有误.

(3)忽视函数模型中变量的实际意义.

2.解决新概念信息题的关键

(1)依据新概念进行分析.

(2)有意识地运用转化思想,将新问题转化为我们所熟知的问题.

热点训练3　 (1)(2022·湖南永州二模)在流行病学中,基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.假设某种传染病的基本传染数为R0,1个感染者在每个传染期会接触到N个新人,这N个人中有V个人接种过疫苗(称为接种率),那么1个感染者传染人数为(N-V).已知某种传染病在某地的基本传染数R0=4,为了使1个感染者传染人数不超过1,则该地疫苗的接种率至少为(　　)

A.45% B.55% C.65% D.75%

(2)(2022·广东惠州一模)中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog2(1+),它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫做信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计,按照香农公式,若不改变信道带宽W,而将信噪比从1 000提升至 5 000,则C大约增加了(附:lg 2≈0.301 0)(　　)

A.20% B.23% C.28% D.50%

解析:(1)为了使1个感染者传染人数不超过1,只需(N-V)≤1,即R0·(1-)≤1,

因为R0=4,故1-≤,可得≥.故选D.

(2)将信噪比从1 000提升至5 000时,C大约增加了=≈==≈0.23=23%.故选B.