2023届高考数学二轮复习专题五概率与统计第2讲概率、随机变量及其分布列学案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题五概率与统计第2讲概率、随机变量及其分布列学案，共22页。
第2讲　概率、随机变量及其分布列1.[古典概型](2022·新高考Ⅰ卷,T5)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为(　D　)A. B. C. D.解析:从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有=21种不同的取法,若两数不互质,不同的取法有(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8)共7种,故所求概率P==.故选D.2.[相互独立事件](2022·全国乙卷,T10)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则(　D　)A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大解析:该棋手连胜两盘,则第二盘为必胜盘,记该棋手在第二盘与甲比赛,比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为,记此时连胜两盘的概率为p甲,则p甲=[(1-p2)p1p3+p2p1(1-p3)]+[(1-p3)p1p2+p3p1(1-p2)]=p1(p2+p3)-2p1p2p3.记该棋手在第二盘与乙比赛,且连胜两盘的概率为p乙,同理得p乙=p2(p1+p3)-2p1p2p3.记该棋手在第二盘与丙比赛,且连胜两盘的概率为p丙,同理得p丙=p3(p1+p2)-2p1p2p3.则p甲-p乙=p1(p2+p3)-2p1p2p3-[p2(p1+p3)-2p1p2p3]=(p1-p2)p3<0,p乙-p丙=p2(p1+p3)-2p1p2p3-[p3(p1+p2)-2p1p2p3]=(p2-p3)p1<0,即p甲<p乙,p乙<p丙,则该棋手在第二盘与丙比赛,p最大.选项D判断正确;选项B,C判断错误;p与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关,选项A判断错误.故选D.3.[n重伯努利试验](2021·天津卷,T14)甲、乙两人在每次猜谜语活动中各猜一个谜语,若一方猜对,且另一方猜错,则猜对一方获胜,否则本次平局.已知每次活动中,甲、乙猜对的概率分别为和,且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响,各次活动也互不影响,则一次活动中,甲获胜的概率为　　　,3次活动中,甲至少获胜2次的概率为　　　. 解析:(1)根据题中条件,事件甲获胜为甲猜对乙猜错.P=×(1-)=.故甲获胜的概率为.(2)根据独立重复事件的概率,甲获胜2次的概率为P(X=2)=()2×(1-)=,甲获胜3次的概率为P(X=3)=()3×(1-)0=,所以甲至少胜2次的概率为P=+=.故3次活动中,甲至少获胜2次的概率为.答案:　4.[条件概率](2022·新高考Ⅰ卷,T20节选)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据: 不够良好良好病例组4060对照组1090 从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.(1)证明:R=·;(2)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|)的估计值,并利用(1)的结果给出R的估计值.解:(1)因为R=·=···,所以R=···.所以R=·.(2)由调查数据可知P(A|B)==,P(A|)==,又P(|B)==,P(|)==,所以R=·=6.5.[随机变量的分布列、均值与方差](2022·全国甲卷,T19)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率;(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.解:(1)甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如表. 第一场比赛第二场比赛第三场比赛甲学校获胜概率0.50.40.8乙学校获胜概率0.50.60.2 甲学校要获得冠军,需要在3场比赛中至少获胜2场,①甲学校3场全胜,概率为P1=0.5×0.4×0.8=0.16,②甲学校3场获胜2场败1场,概率为P2=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44,所以甲学校获得冠军的概率为P=P1+P2=0.6.(2)乙学校的总得分X的可能取值为0,10,20,30,其概率分别为P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44,P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06,则X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06 所以E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.　　概率及随机变量的分布列是高考考查的重点和热点内容,主要从以下几个方面进行考查:(1)概率主要考查几种概率的应用,常见的几种概率模型有:古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、全概率模型、n重伯努利试验,常以选择题和填空题的形式考查,属于基础题.(2)随机变量的分布列及均值和方差是高考热点,主要结合概率中的古典概型和相互独立事件的概率考查,常以解答题的形式考查,难度中等.热点一　相互独立事件、古典概型1.古典概型的概率公式:P(A)=.2.设A,B为两个事件,如果P(AB)=P(A)P(B),那么称事件A与事件B相互独立.典例1　(1)(2022·内蒙古赤峰模拟)中国古典乐器一般按“八音”分类,最早见于《周礼·春官·大师》.“八音”分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”,其中“金、石、土、革”为打击乐器,“木、匏、竹”为吹奏乐器,“丝”为弹拨乐器.某音乐学院为大一、大二两个年级各开设5个乐器学习社团,其中“竹”社团与“革”社团学院安排两个年级必须开设,其余3个社团由两个年级各自随机选取,则两个年级所开设社团里同时包含“打击”“吹奏”“弹拨”三种类别乐器的概率为(　　)A. B. C. D.(2)(2022·河南开封模拟)如图,某系统由A,B两个零件组成,零件A中含1个元件,零件B中含2个元件,每个零件中的元件只要有一个能正常工作,该零件就能正常工作;两个零件都正常工作,该系统才能正常工作,每个元件能正常工作的概率都是,且各元件是否正常工作相互独立,则该系统能正常工作的概率为(　　)A. B. C. D.解析:(1)由题意可知,基本事件总数n==400,两个年级所开设社团里同时包含“打击”“吹奏”“弹拨”三种类别乐器包含的基本事件个数m==100,则两个年级所开设社团里同时包含“打击”“吹奏”“弹拨”三种类别乐器的概率为P===.故选C.(2)由题得零件B不能正常工作的概率是(1-)2=,所以零件B能正常工作的概率是1-=,零件A能正常工作的概率为,所以该系统能正常工作的概率为×=.故选B.(1)求古典概型的概率关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数.常常用到排列、组合的有关知识.求解时要注意两点:①对于较复杂的题目,列出事件数时要正确分类,分类时要做到不重不漏;②当直接求解有困难时,可考虑求其对立事件的概率.(2)求相互独立事件的概率的两种方法.①直接法:正确分析复杂事件的构成,将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题,然后用相应概率公式求解.②间接法:当复杂事件正面情况较多,反面情况较少时,可利用其对立事件进行求解,“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解.热点训练1　 (1)(2022·江西月考)2020年9月22日,国家主席习近平在第七十五届联合国大会上宣布,中国力争2030年前二氧化碳排放达到峰值,努力争取2060年前实现碳中和.“碳达峰”“碳中和”倡导绿色、环保、低碳的生活方式,推动资源循环利用,提高资源利用效率,与我们每一个人都有关.为了更好地宣传“碳中和”相关工作,国家相关部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家赴A,B两地指导工作,每地至少安排一名专家,则甲、乙被安排在不同地点工作的概率为(　　)A. B. C. D.(2)(2022·湖南益阳模拟)甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛,赛程如框图所示,其中编号为i的方框表示第i场比赛,方框中是进行该场比赛的两名棋手,第i场比赛的胜者称为“胜者i”,负者称为“负者i”,第6场为决赛,获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为,而乙、丙、丁之间相互比赛,每人胜负的可能性相同,则甲获得冠军的概率为(　　)A. B. C. D.解析:(1)当A地安排1名专家,B地安排4名专家,有=5种排法,A地安排2名专家,B地安排3名专家,有=10种排法,A地安排3名专家,B地安排2名专家,有=10种排法,A地安排4名专家,B地安排1名专家,有=5种排法,因为每地至少安排1名专家,所以共有5+10+10+5=30(种)不同的排法,若甲、乙被安排在不同地点工作,当A地安排1名专家,B地安排4名专家,则有=2种排法,当A地安排2名专家,B地安排3名专家,则先在甲或乙中选一人安排在A地,有种选法,再给A地从剩下的3人中挑一人,有种选法,所以有=6种排法,同理,当A地安排3名专家,B地安排2名专家,则有=6种排法,当A地安排4名专家,B地安排1名专家,有=2种排法,所以甲、乙被安排在不同地点工作,共有2+6+6+2=16(种)不同的排法,所以甲、乙被安排在不同地点工作的概率为P==.故选C.(2)甲获得冠军,则甲参加的比赛结果有三种情况:1胜3胜6胜,1负4胜5胜6胜,1胜3负5胜6胜.故甲获得冠军的概率为+2××=.故选D.热点二　条件概率与全概率公式1.条件概率公式设A,B为随机事件,且P(A)>0,则条件概率P(B|A)==.2.全概率公式设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=P(Ai)P(B|Ai).典例2　(1)(2021·山东济南山师大附中高三模拟)某地需要从某医院某科室的5名男医生(含一名主任医师)、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生参加会议,则在有一名主任医师被选派的条件下,两名主任医师都被选派的概率为(　　)A. B. C. D.(2)有三个箱子,编号分别为1,2,3.1号箱装有1个红球、4个白球,2号箱装有2个红球、3个白球,3号箱装有3个红球.某人从三个箱子中任取一箱,从中任意摸出一球,取得红球的概率为　　　　. 解析:(1)设事件A表示“有一名主任医师被选派”,事件B表示“两名主任医师都被选派”,则“在有一名主任医师被选派的条件下,两名主任医师都被选派”的概率为P(B|A)====.故选A.(2)记事件Ai为“球取自于i(i=1,2,3)号箱”,记事件B为“取得红球”,B总是伴随着A1,A2,A3之一同时发生,且A1B,A2B,A3B两两互斥,P(A1)=P(A2)=P(A3)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=1,所以P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×1=.答案:(1)A　(2)应用全概率公式求概率的步骤:(1)根据题意找出完备事件组,即满足全概率公式的Ω的一个划分A1,A2,A3,…,An;(2)用Ai(i=1,2,3,…,n)来表示待求的事件;(3)代入全概率公式求解.热点训练2　 (1)(2022·重庆沙坪坝区校级月考)某区有A,B两所学校,其中A校有男教师10人,女教师5人,B校有男教师3人,女教师6人.为了响应国家号召,实现教育资源的优化和均衡,决定从A校随机抽一名教师调到B校,然后在B校的10名教师中随机抽一名教师去培训学习.在从B校抽出来的参与培训学习的为男教师的条件下,从A校调到B校的教师为女教师的概率是(　　)A. B. C. D.(2)(2021·山东淄博实验中学高三模拟)托马斯·贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式:P(A|B)=,这个公式被称为贝叶斯公式(贝叶斯定理),其中P(B|A)·P(A)+P(B|Ac)·P(Ac)称为B的全概率.这个定理在实际生活中有着重要的应用价值.假设某种疾病在所有人群中的感染率是0.1%,医院现有的技术对于该疾病检测准确率为99%,即已知患病的情况下,99%的可能性可以检查出阳性,正常人99%的可能性检查为正常.如果从人群中随机抽一个人去检测,经计算,检测结果为阳性的全概率为0.010 98,请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为(　　)A.0.1% B.8% C.9% D.99%解析:(1)记“从A校调到B校的教师为女教师”为事件M,记“从B校抽出来的参与培训学习的为男教师”为事件N,则P(MN)=×=,又“从B校抽出来的参与培训学习的为男教师”包含两种情况:从A校抽取到B校的教师为男教师,从A校抽取到B的教师为女教师,所以P(N)=×+×=,所以从B校抽出来的参与培训学习的为男教师的条件下,从A校调到B校的教师为女教师的概率是P(M|N)==.故选A.(2)记“一个人患病”为事件A,“检测结果为阳性”为事件B,则P(A)=0.1%,P(B|A)=99%,P(B|A)·P(A)+P(B|Ac)·P(Ac)=0.010 98,所以P(A|B)==≈9%,所以估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为9%.故选C.热点三　随机变量的分布列、均值与方差1.二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.E(X)=np,D(X)=np(1-p).2.超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品,从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.E(X)=n·.考向1　二项分布典例3　为了加强食品安全监管,某县市场监管局计划添购一批食品检测仪器,符合这次采购要求的检测仪器只有甲、乙两种型号,下表是该县市场监管局以往使用甲、乙两种型号检测仪器的使用年限及数量统计表.使用年限1年2年3年4年合计甲型号检测仪器数量/台287320乙型号检测仪器数量/台396220 以频率估计概率.(1)分别从以往使用的甲、乙两种检测仪器中各随机抽取一台,求甲型号检测仪器的使用年限比乙型号检测仪器的使用年限恰好多1年的概率;(2)若该县市场监管局购买甲、乙两种型号检测仪器各2台,记2年后仍可使用的检测仪器的台数为ξ,求ξ的分布列与均值.解:(1)记事件Ai为“从以往使用的甲型号检测仪器中随机抽取一台,使用年限为i年”,事件Bi为“从以往使用的乙型号检测仪器中随机抽取一台,使用年限为i年”,i=1,2,3,4,事件C为“从以往使用的甲、乙两种型号检测仪器中各随机抽取一台,甲型号检测仪器的使用年限比乙型号检测仪器的使用年限恰好多1年”,则P(C)=P(A2B1)+P(A3B2)+P(A4B3)=×+×+×=.(2)由题意知甲型号检测仪器2年后仍可使用的概率为,乙型号检测仪器2年后仍可使用的概率为.设2年后仍可使用的甲型号检测仪器有X台,乙型号检测仪器有Y台,易知X～B(2,),Y～B(2,).由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,且P(ξ=0)=P(X=0,Y=0)=()0()2×()0()2=,P(ξ=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)=()1()1×()0()2+()0()2×()1()1=,P(ξ=3)=P(X=2,Y=1)+P(X=1,Y=2)=()2()0×()1()1+()1()1×()2()0=,P(ξ=4)=P(X=2,Y=2)=()2()0××()2()0=,P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)-P(ξ=4)=,所以ξ的分布列为ξ01234P 所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×=.考向2　超几何分布典例4　在袋子中装有10个大小相同的小球,其中黑球有3个,白球有n(2≤n≤5,n≠3)个,其余的球为红球.(1)若n=5,从袋中任取1个球,记下颜色后放回,连续取三次,求三次取出的球中恰有2个红球的概率;(2)从袋里任意取出2个球,如果这两个球的颜色相同的概率是,求红球的个数;(3)在(2)的条件下,从袋里任意取出2个球.若取出1个白球记1分,取出1个黑球记2分,取出1个红球记3分.用ξ表示取出的2个球所得分数的和,写出ξ的分布列,并求ξ的数学期望.解:(1)设“从袋中任取1个球是红球”为事件A,则P(A)=,故三次取出的球中恰有2个红球的概率为××=.(2)设“从袋里任意取出2个球,球的颜色相同”为事件B,则P(B)===,整理得n2-7n+12=0,解得n=3(舍)或n=4.所以红球的个数为10-3-n=3.(3)ξ的所有可能取值为2,3,4,5,6,且P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,P(ξ=5)==,P(ξ=6)==.所以ξ的分布列为ξ23456P所以E(ξ)=2×+3×+4×+5×+6×=.1.随机变量X如果服从二项分布X～B(n,p),那么其概率、期望与方差可直接利用公式P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),E(X)=np,D(X)=np(1-p)求得.2.超几何分布的应用条件:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考察某类个体个数X的概率分布.热点训练3　 (1)(2022·山东枣庄模拟)已知有一道四个选项的单项选择题和一道四个选项的多项选择题,某同学知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项.但根据得分规则:全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.这样,他在做多项选择题时,可能选择一个选项,也可能选择两个或三个选项,但不会选择四个选项.①如果该同学不知道单项选择题的正确答案,就做随机猜测.已知该同学知道单项选择题的正确答案和随机猜测概率都是,在他做完单项选择题后,从卷面上看,在题答对的情况下,求他知道单项选择题正确答案的概率;②假设该同学在做该道多项选择题时,基于已有的解题经验,他选择一个选项的概率为,选择两个选项的概率为,选择三个选项的概率为.已知该道多项选择题只有两个正确选项,该同学完全不知道四个选项的正误,只好根据自己的经验随机选择.记X表示该同学做完该道多项选择题后所得的分数.求:(ⅰ)P(X=0);(ⅱ)X的分布列及数学期望.(2)据调查,目前对于已经近视的小学生,有两种佩戴眼镜的方式可供选择,一种是佩戴传统的框架眼镜;另一种是佩戴角膜塑形镜.A市从当地小学生中随机抽取容量为100的样本,其中因近视佩戴眼镜的有24人(其中佩戴角膜塑形镜的8人中,2名是男生,6名是女生).①若从样本中随机选取一名小学生,已知这名小学生佩戴眼镜,那么,他佩戴的是角膜塑形镜的概率是多少?②从这8名佩戴角膜塑形镜的小学生中,随机选出3人,求其中男生人数X的分布列;③若将样本的频率当成估计总体的概率,从A市的小学生中,随机选出20名小学生,求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差.解:(1)①记事件A为“题目答对了”,事件B为“知道正确答案”,则P(A|B)=1,P(A|)=,P(B)=P()=,由全概率公式可得,P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=×1+×=,故所求概率为P(B|A)====.②记事件Ai为“该同学选择了i个选项”,i=1,2,3,事件C为“选到的选项都是正确的”,则P(X=2)=P(A1C)=P(A1)P(C|A1)=×=,P(X=5)=P(A2C)=P(A2)P(C|A2)=×=,P(X=0)=1-P(X=2)-P(X=5)=.(ⅰ)P(X=0)=.(ⅱ)随机变量X的分布列为X025P故E(X)=0×+2×+5×=.(2)①记“这名小学生佩戴眼镜”为事件A,“这名小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件B,则所求的概率为P(B|A)===.所以若从样本中随机选取一名小学生,已知这名小学生佩戴眼镜,则他佩戴的是角膜塑形镜的概率是.②依题意,X的所有可能取值为0,1,2,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.所以X的分布列为X012P ③由已知可得,Y～B(20,0.08),则E(Y)=np=20×0.08=1.6,D(Y)=np(1-p)=20×0.08×0.92=1.472.所以佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望是1.6,方差是1.472.