2023届高考数学二轮复习专题五概率与统计培优提能非线性回归问题学案

培优提能　非线性回归问题

1.直接换元的非线性模型

2.间接转化

典例　某芯片公司为制定下一年的研发投入计划,需了解年研发资金投入量x(单位:亿元)对年销售额Y(单位:亿元)的影响.该公司对历史数据进行对比分析,建立了两个函数模型:①y=α+βx2,②y=eλx+t,其中α,β,λ,t均为常数,e为自然对数的底数.

现该公司收集了近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据,i=1,2,…,12,并对这些数据作了初步处理,得到了散点图及一些统计量的值.

令ui=,vi=ln yi(i=1,2,…,12),经计算得如表数据:

(1)设{ui}和{yi}的相关系数为r1,{xi}和{vi}的相关系数为r2,请从样本相关系数的角度,选择一个拟合程度更好的模型;

(2)(ⅰ)根据(1)的选择及表中数据,建立Y关于x的经验回归方程(系数精确到0.01);

(ⅱ)若下一年销售额y需达到90亿元,预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?

附:①样本相关系数r=,

回归直线=+x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=,=-;

②参考数据:308=4×77,≈9.486 8,e4.499 8≈90.

解:(1)由题意,r1=====0.86,

r2====≈0.91,

则|r1|<|r2|,因此从样本相关系数的角度,模型y=eλx+t的拟合程度更好.

(2)(ⅰ)先建立v关于x的经验回归方程,

由y=eλx+t,得ln y=t+λx,即v=t+λx;

由于λ==≈0.02,

t=-λ =4.20-×20≈3.84,

所以v关于x的经验回归方程为=0.02x+3.84,

所以ln =0.02x+3.84,则=e0.02x+3.84.

(ⅱ)下一年销售额y需达到90亿元,即y=90,

代入=e0.02x+3.84,得90=e0.02x+3.84,

又e4.499 8≈90,所以4.499 8≈0.02x+3.84,

所以x≈=32.99,

所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元.

非线性回归方程的求法

(1)根据原始数据作出散点图.

(2)根据散点图,选择恰当的拟合函数.

(3)作恰当变换,将其转化成线性函数,求经验回归方程.

(4)在(3)的基础上通过相应变换,即可得非线性回归方程.

触类旁通　奋斗“十四五”、奋进新征程,良好的开端是夺取全面建设社会主义现代化国家新胜利的关键.某企业为响应国家号召,汇聚科研力量,加强科技创新,准备增加研发资金.现该企业为了了解年研发资金投入额x(单位:亿元)对年盈利额Y(单位:亿元)的影响,研究了“十二五”和“十三五”规划10年发展期间年研发资金投入额xi和年盈利额yi的数据,i=1,2,…,10.通过对比分析,建立了两个函数模型:①y=α+βx2,②y=eλx+t,其中α,β,λ,t均为常数,e为自然对数的底数.令ui=,vi=ln yi(i=1,2,…,10),经计算得如表数据:

(1)请从样本相关系数的角度分析哪一个模型的拟合程度更好;

(2)(ⅰ)根据(1)的选择及表中数据,建立Y关于x的经验回归方程(系数精确到0.01);

(ⅱ)若2022年计划投入研发资金25亿元,请根据(1)的选择预测2022年的盈利额为多少亿元(结果精确到0.01).

参考公式:样本相关系数

r=,

经验回归方程=+x中,=,=-.

参考数据:e5.06≈157.60.

解:(1)设模型①对应的样本相关系数为r1,模型②对应的样本相关系数为r2,

由题意得

r1===≈0.87,

r2===≈0.92.

则|r1|<|r2|,因此从样本相关系数的角度分析,模型y=eλx+t的拟合程度更好.

(2)(ⅰ)先建立v关于x的经验回归方程,

由y=eλx+t,得ln y=t+λx,即v=t+λx,

λ==≈0.18,

t=-λ=5.36-×26=0.56,

所以Y关于x的经验回归方程为=e0.18x+0.56.

(ⅱ)把x=25代入=e0.18x+0.56,

则=e0.18×25+0.56=e5.06≈157.60(亿元),

所以预测2022年的盈利额约为157.60亿元.