2023届高考数学二轮复习强化训练12空间位置关系、空间角与空间距离作业含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习强化训练12空间位置关系、空间角与空间距离作业含答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．[2022·广东湛江二模]已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且α∩β＝m，则“m⊥n”是“n⊥β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．[2022·湖北仙桃模拟]已知平面α，β，γ，直线a，b，c，下列说法正确的是( )
A．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β
B．若a⊥α，α⊥β，则a∥β
C．若a⊥α，b∥β，α∥β，则a⊥b
D．若α∩γ＝a，β∩γ＝b，a∥b，则α∥β
3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中O为平面AA1B1B的中心，O1为平面A1B1C1D1的中心．若E为CD中点，则异面直线AE与OO1所成角的余弦值为( )
A．eq \f(2\r(5),5) B．eq \f(\r(10),5) C．eq \f(\r(5),10) D．eq \f(\r(5),5)
4．[2022·山东滨州二模]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设直线BD1与直线AD所成的角为α，直线BD1与平面CDD1C1所成的角为β，则α＋β＝( )
A．eq \f(π,4)B．eq \f(π,3)C．eq \f(π,2)D．eq \f(2π,3)
5．[2022·北京昌平二模]如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是BB1，DD1的中点，则下列结论正确的是( )
A.A1O∥EF
B．A1O⊥EF
C．A1O∥平面EFB1
D．A1O⊥平面EFB1
6．已知长方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是边长为8的正方形，长方体的高为AA1＝6，则BC1与对角面BB1D1D夹角的正弦值等于( )
A．eq \f(2\r(2),5)B．eq \f(3,5)C．eq \f(4,5)D．eq \f(3\r(2),5)
7．[2022·山东威海三模]已知圆柱的高和底面半径均为4，AB为上底面圆周的直径，点P是上底面圆周上的一点，且AP＝BP，PC是圆柱的一条母线，则点P到平面ABC的距离为( )
A．4B．2eq \r(3)C．3D．2eq \r(2)
8．[2022·辽宁大连二模]如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点F是棱AA1上的一个动点(不包括顶点)，平面BFD1交棱CC1于点E，则下列命题中正确的是( )
A．存在点F，使得∠D1FB为直角
B．对于任意点F，都有直线A1C1∥平面BED1F
C．对于任意点F，都有平面A1C1D⊥平面BED1F
D．当点F由A1向A移动过程中，三棱锥F­BB1D1的体积逐渐变大
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)
9．[2022·山东威海三模]已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β外两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n，②α∥β，③n∥β，④m⊥α，则正确的是( )
A．②③④⇒①B．①③④⇒②
C．①②④⇒③D．①②③⇒④
10．[2022·河北邯郸一模]如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，则( )
A．BD∥平面EGHF
B．FH∥平面ABC
C．AC∥平面EGHF
D．直线GE，HF，AC交于一点
11．如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°，则( )
A．直线AD与直线BC所成角的大小为90°
B．直线AB与直线CD所成角的余弦值为eq \f(\r(3),4)
C．直线AD与平面BCD所成角的大小为45°
D．直线AD与平面BCD所成角的大小为60°
12．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，下列四个结论中正确的是( )
A．直线BC1与直线AD1所成的角为90°
B．B1D⊥平面ACD1
C．点B1到平面ACD1的距离为eq \f(\r(3),2)
D．直线B1C与平面ACD1所成角的余弦值为eq \f(\r(3),3)
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为________．
14．[2022·福建福州三模]已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为eq \r(3)，以A1为球心，半径为2的球面与底面ABCD的交线的长度为________．
15．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当eq \f(CF,CD)＝________时，D1E⊥平面AB1F.
16．如图，在棱长为4的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱A1A上的动点，N是棱BC的中点．当平面D1MN与底面ABCD所成的锐二面角最小时，A1M＝________．
强化训练12 空间位置关系、空间角与空间距离
1．解析：α∩β＝m，m⊥n，只有一条垂直直线，不能得出n⊥β，不充分，
当n⊥β时，由于m⊂β，则有n⊥m，是必要的，
因此是必要不充分条件．
答案：B
2．解析：若a∥α，b∥β，a∥b，则α与β平行或相交，故A错误；
若a⊥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β，故B错误；
若a⊥α，b∥β，α∥β，由面面平行与线面垂直的性质定理可得，a⊥b，故C正确；
若α∩γ＝a，β∩γ＝b，a∥b，则α与β平行或相交，故D错误．
答案：C
3．解析：设正方体的边长为2，建立如图所示空间直角坐标系，
A（2，0，0），E（0，1，0），O（2，1，1），O1（1，1，2），
eq \(AE,\s\up6(→))＝（－2，1，0），OO1＝（－1，0，1），
设异面直线AE与OO1所成角为θ，
则csθ＝AE·OO1AE·OO1＝eq \f(2,\r(5)×\r(2))＝eq \f(\r(10),5).
答案：B
4．解析：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，
因为AD∥BC，所以直线BD1与直线AD所成的角α＝∠D1BC，
因为BC⊥平面CDD1C1，所以D1C为D1B在平面CDD1C1上的射影，
所以直线BD1与平面CDD1C1所成的角β＝∠BD1C，
又BC⊥平面CDD1C1，所以BC⊥D1C，
所以∠D1BC＋∠BD1C＝eq \f(π,2)，即α＋β＝eq \f(π,2).
答案：C
5．解析：在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令AB＝2a，DD1＝2b（a>0，b>0），O是底面ABCD的中心，E，F分别是BB1，DD1的中点，
则O（a，a，0），A1（2a，0，2b），E（2a，2a，b），B1（2a，2a，2b），F（0，0，b），OA1＝（a，－a，2b），eq \(FE,\s\up6(→))＝（2a，2a，0），EB1＝（0，0，b），
对于A，显然OA1与eq \(FE,\s\up6(→))不共线，即A1O与EF不平行，A不正确；
对于B，因OA1·eq \(FE,\s\up6(→))＝a·2a＋（－a）·2a＋0·2b＝0，则OA1⊥eq \(FE,\s\up6(→))，即A1O⊥EF，B正确；
对于C，设平面EFB1的法向量为n＝（x，y，z），则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(EF,\s\up6(→))＝2ax＋2ay＝0,n·EB1＝bz＝0))，令x＝1，得n＝（1，－1，0），
OA1·n＝2a>0，因此OA1与n不垂直，即A1O不平行于平面EFB1，C不正确；
对于D，由选项C知，OA1与n不共线，即A1O不垂直于平面EFB1，D不正确．
答案：B
6．解析：连接A1C1，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵底面是边长为8的正方形，AA1＝6，
∴A1（8，0，0），B（8，8，6），C1（0，8，0），
因为A1C1⊥B1D1，A1C1⊥B1B且B1B∩B1D1＝B1，所以A1C1⊥平面BB1D1D，
∴BC1＝（－8，0，－6），平面BB1D1D的法向量A1C1＝（－8，8，0），
∴BC1与对角面BB1D1D所成角的正弦值为csBC1，A1C1＝eq \f(|（－8，0，－6）·（－8，8，0）|,\r(64＋36)×\r(64＋64))＝eq \f(64,80\r(2))＝eq \f(2\r(2),5).
答案：A
7．解析：由题可得AB＝8，因为AP＝BP，所以S△ABP＝eq \f(1,2)×8×4＝16，
因为PC⊥平面ABP，且PC＝4，所以VC－ABP＝eq \f(1,3)×16×4＝eq \f(64,3)，
因为AP＝BP＝4eq \r(2)，所以AC＝BC＝4eq \r(3)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)×8×eq \r(48－16)＝16eq \r(2)，
设点P到平面ABC的距离为d，则VP－ABC＝eq \f(1,3)×16eq \r(2)d＝eq \f(64,3)，解得d＝2eq \r(2).
答案：D
8．解析：对于A，易知eq \(D1F,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＝（eq \(D1A1,\s\up6(→))＋eq \(A1F,\s\up6(→))）·（eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))）＝eq \(A1F,\s\up6(→))·eq \(FA,\s\up6(→))＝|eq \(A1F,\s\up6(→))|·|eq \(FA,\s\up6(→))|≠0，故eq \(D1F,\s\up6(→))与eq \(FB,\s\up6(→))不垂直，故A错误；
对于B，连接A1C1、AC、EF，则平面ACC1A1∩平面BED1F＝EF，
若A1C1∥平面BED1F，则A1C1∥EF，显然仅当F和E为所在棱中点时A1C1与EF才平行，故B错误；
对于C，连接A1D、A1C1、C1D、BD1、AD1、BC1，
由AB⊥平面ADD1A1得AB⊥A1D，易知AD1⊥A1D，
∵AB∩AD1＝A，AB、AD1⊂平面ABC1D1，∴A1D⊥平面ABC1D1，
∴A1D⊥BD1，同理可证A1C1⊥BD1，
∵A1D∩A1C1＝A1，A1D、A1C1⊂平面A1C1D，∴BD1⊥平面A1C1D，
∵BD1⊂平面BED1F，∴平面A1C1D⊥平面BED1F，故C正确；
对于D，连接BD1、FB1、B1D1，
∵AA1∥BB1，AA1⊄平面BB1D1，BB1⊂平面BB1D1，
∴AA1∥平面BB1D1，则F到平面BB1D1的距离为定值，
又△BB1D1面积为定值，故三棱锥F－BB1D1体积为定值，故D错误．
答案：C
9．解析：对于A，若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又∵n∥β，∴m⊥n，故A正确；对于B，若m⊥α，m⊥n，则n∥α，又∵n∥β，∴α与β平行或相交，故B错误；对于C，若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又∵m⊥n，n⊄β，∴n∥β，故C正确；对于D，若n∥β，α∥β，则n∥α，又∵m⊥n，则m与α平行或相交，故D错误．
答案：AC
10．解析：因为BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD.
又E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，
且EF＝eq \f(1,2)BD，则EF∥GH.
易知BD∥平面EGHF，FH与AC为相交直线，即A正确，B，C错误．
因为EFHG为梯形，所以EG与FH必相交，设交点为M，
所以EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD，
则M是平面ABC与平面ACD的一个交点，
所以M∈AC，即直线GE，HF，AC交于一点，即D正确．
答案：AD
11．解析：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，
设AB＝2，则A（0，－1，eq \r(3)），C（0，2，0），D（eq \r(3)，－1，0），
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝（eq \r(3)，0，－eq \r(3)），eq \(BC,\s\up6(→))＝（0，2，0），eq \(AB,\s\up6(→))＝（0，1，－eq \r(3)），eq \(CD,\s\up6(→))＝（eq \r(3)，－3，0）.
因为eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，所以AD⊥BC，
即直线AD与直线BC所成角的大小为90°，A正确；
因为cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→))|,|\(AB,\s\up6(→))||\(CD,\s\up6(→))\(|,\s\up6( )))＝eq \f(\r(3),4)，
所以直线AB与直线CD所成角的余弦值为eq \f(\r(3),4)，B正确；
设AD与平面BCD所成的角为θ，因为n＝（0，0，1）是平面BCD的一个法向量，
所以sinθ＝|cs〈eq \(AD,\s\up6(→))，n〉|＝eq \f(|\(AD,\s\up6(→))·n|,|\(AD,\s\up6(→))||n\(|,\s\up6( )))＝eq \f(\r(2),2)，所以θ＝45°，
即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°，C正确；D错．
答案：ABC
12．解析：建立如图所示的空间直角坐标系：
A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1）.
A：BC1＝（－1，0，1），AD1＝（－1，0，1），因为BC1＝AD1，所以BC1∥AD1，因此本选项不正确；
B：B1D＝（－1，－1，－1），AD1＝（－1，0，1），eq \(AC,\s\up6(→))＝（－1，1，0），
因为B1D·AD1＝（－1，－1，－1）·（－1，0，1）＝0，B1D·eq \(AC,\s\up6(→))＝（－1，－1，－1）（－1，1，0）＝0，所以B1D⊥AD1，B1D⊥AC，而AC∩AD1＝A，AC，AD1⊂平面ACD1，因此B1D⊥平面ACD1，所以本选项正确；
C：因为B1D⊥平面ACD1，所以B1D是平面ACD1的法向量，CB1＝（1，0，1），所以点B1到平面ACD1的距离为CB1·B1DB1D＝|eq \f(－1×1－1×1,\r(（－1）2＋（－1）2＋（－1）2))|＝eq \f(2\r(3),3)，因此本选项不正确；
D：由上可知：cs〈CB1·B1D〉＝CB1·B1DCB1·B1D＝eq \f(－1×1－1×1,\r(（－1）2＋（－1）2＋（－1）2)×\r(12＋12))＝－eq \f(\r(6),3)，所以直线B1C与平面ACD1所成角的余弦值为1-cs2CB1·B1D＝eq \r(1－（－\f(\r(6),3)）2)＝eq \f(\r(3),3)，因此本选项正确．
答案：BD
13．解析：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，圆锥的母线与其底面所成的角为θ，
则eq \f(1,2)×2πrl＝2·π·r2⇒eq \f(r,l)＝eq \f(1,2)，
∴csθ＝eq \f(1,2)⇒θ＝eq \f(π,3).
答案：eq \f(π,3)
14．解析：正方体中，AA1⊥平面ABCD，所以平面ABCD与球的截面是以A为圆心的圆，且半径为eq \r(22－（\r(3)）2)＝1，所以球面与底面ABCD的交线为以A为圆心，1为半径的弧，该交线为eq \f(1,4)×2π＝eq \f(π,2).
答案：eq \f(π,2)
15．解析：如图，建立空间直角坐标系，设棱长为2，A（2，0，0），F（0，t，0），B1（2，2，2），D1（0，0，2），E（1，2，0），D1E＝（1，2，－2），eq \(AF,\s\up6(→))＝（－2，t，0），AB1＝（0，2，2），
若D1E⊥平面AB1F，则D1E⊥AB1D1E⊥AF，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1×0＋2×2＋（－2）×2＝0,1×（－2）＋2t＋（－2）×0＝0))，
解得：t＝1，
所以eq \f(CF,CD)＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
16．解析：如图
设M（4，0，a）（0≤a≤4），N（2，4，0），D1（0，0，4），
eq \(MN,\s\up6(→))＝（－2，4，－a），D1N＝（2，4，－4），
设平面D1MN的一个法向量为n＝（x，y，z），
n·MN=0n·D1N=0⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x＋4y－az＝0,2x＋4y－4z＝0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(（4－a）z,4),y＝\f(（a＋4）z,8)))，
令z＝8，x＝8－2a，y＝a＋4，则n＝（8－2a，a＋4，8），
平面ABCD的一个法向量为n1＝（0，0，1），
设平面D1MN与底面ABCD所成的锐二面角为θ，
所以csθ＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(n·n1,|n||n1|)))＝eq \f(8,\r(（8－2a）2＋（a＋4）2＋82))
＝eq \f(8,\r(5a2－24a＋144))，
当a＝eq \f(24,10)＝eq \f(12,5)时，csθ有最大值，则θ有最小值，所以A1M＝eq \f(8,5).
答案：eq \f(8,5)