2023届高考数学二轮复习考点2三角恒等变换与解三角形作业含答案

考点突破练2　三角恒等变换与解三角形

一、单项选择题

1.(2021·全国乙·文6)cos2-cos2=(　　)

A. B. C. D.

2.(2022·山东济南一模)已知sin=-,则sin 2α的值为(　　)

A. B.- 

C. D.-

3.(2022·福建四市第一次质检)某学生在“捡起树叶树枝,净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝(视为三条线段),想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形.经测量,其长度分别为3 cm,4 cm,6 cm,则(　　)

A.能作出两个锐角三角形

B.能作出一个直角三角形

C.能作出一个钝角三角形

D.不能作出这样的三角形

4.(2022·湖南长郡中学高三检测)设sin 20°=m,cos 20°=n,化简= (　　)

A. B.- 

C. D.-

5.(2022·湖北襄阳高三期末)在△ABC中,AC=2,BC=4,则角B的最大值为(　　)

A. B. 

C. D.

6.(2022·江苏海安高级中学二模)设M,N为某海边相邻的两座山峰,到海平面的距离分别为100米,50米.现欲在M,N之间架设高压电网,须计算M,N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点P,利用测角仪从P点测得的M,N点的仰角分别为30°,45°,并从P点观测到M,N点的视角为45°,则M,N之间的距离为(　　)

A.50米 

B.50米

C.50米 

D.50米

7.(2022·福建晋江模拟)若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β的值是(　　)

A. B.

C. D.

8.(2022·陕西教学质量检测二)圭表(如图甲)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一天定为冬至,日影长度最短的那一天定为夏至.图乙是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图,已知北京冬至正午太阳高度角大约(即∠ABC)为30°,夏至正午太阳高度角(即∠ADC)大约为75°,圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a,则表高(即AC的长)为(　　)

甲

乙

A.a B.a

C.a D.a

二、多项选择题

9.(2022·广东深圳高三检测)在△ABC中,下列命题正确的是(　　)

A.若A>B,则sin A>sin B

B.若sin 2A=sin 2B,则△ABC一定为等腰三角形

C.若a2+b2=c2,则△ABC一定为直角三角形

D.若三角形的三边满足a2+b2>c2,则此三角形的最大角为钝角

10.(2022·湖北八市高三联考)将函数f(x)=2cos2xsin φ+sin 2xcos φ-sin φ的图象向左平移个单位长度后,与函数g(x)=cosωx-的图象重合,则φ的值可能为              (　　)

A.- B.- 

C.- D.

11.(2022·广东茂名模拟)我国古代著名的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC.对于图2,下列结论正确的是(　　)

图1

图2

A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形

B.若BB'=3,sin∠ABB'=,则A'B'=2

C.若AB=2A'B',则AB'=BB'

D.若A'是AB'的中点,则三角形ABC的面积是三角形A'B'C'面积的7倍

三、填空题

12.(2022·广东湛江二模)若tan(α-β)=,tan β=2,则tan α=　　　　　. 

13.若函数f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2,则常数φ的一个取值为　　　　　. 

14.设锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,则的取值范围是　　　　　. 

15.(2022·河北保定一模)已知定义在x∈上的函数f(x)=sin+sin 2x在x=θ处取得最小值,则最小值为　　　　　,此时cos θ=　　　　　. 

考点突破练2　三角恒等变换与解三角形

1.D　解析原式=cos2-cos2=cos2-sin2=cos.

2.A　解析因为sin=-,所以sin2α=-cos2α+=-cos2=2sin2-1=2-1=.

3.C　解析因为三条高线的长度为3cm,4cm,6cm,故三边之比为4∶3∶2,

设最大边所对的角为α,则cosα==-<0,

而α为三角形内角,故α为钝角,故三角形为钝角三角形.

4.C　解析.

5.A　解析设AB=x,则x>0,由余弦定理可得cosB=≥2,

当且仅当x=2时,等号成立,因为0<B<π,则0<B≤,故角B的最大值为.

6.A　解析如图,由题可知∠MPM1=30°,∠NPN1=45°,

∴PM=200,PN=50,又∠MPN=45°,

∴MN2=40000+5000-2×200×50=25000,

∴MN=50(米).

7.A　解析因为α∈,β∈,

所以2α∈,β-α∈,α+β∈,

又因为sin2α=,sin(β-α)=,

所以2α为第二象限角,β-α为第二象限角,所以cos(β-α)=-=-,cos2α=-=-,又因为α+β=(β-α)+2α,所以cos(α+β)=cos(β-α)cos2α-sin(β-α)sin2α=,所以α+β∈,所以α+β=.

8.C　解析依题意∠BAD=∠ADC-∠ABC=75°-30°=45°,

在△BAD中由正弦定理得,即,所以AD=,又因为在Rt△ACD中,=sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=,所以AC=a.

9.AC　解析对于选项A,在△ABC中,若A>B,则a>b,因此sinA>sinB,A正确;对于选项B,若sin2A=sin2B,则2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形,B错误;对于选项C,若a2+b2=c2,由勾股定理的逆定理可知△ABC一定为直角三角形,C正确;对于选项D,若三角形的三边满足a2+b2>c2,由余弦定理可知cosC>0,仅可得C为锐角,最大角是否为钝角不确定,D错误.

10.AC　解析f(x)=(1+cos2x)sinφ+sin2xcosφ-sinφ=cos2xsinφ+sin2xcosφ=sin(2x+φ),将f(x)的图象向左平移个单位长度得y=sin2x++φ=sin2x++φ的图象,与函数g(x)=cosωx-的图象重合,故ω=±2,

①若g(x)=cos=sin=sin+φ=+2kπ,φ=2kπ-(k∈Z),结合选项,φ=-符合.

②若g(x)=cos=cos=sin2x+=sin2x+,+φ=+2kπ,φ=2kπ+(k∈Z),结合选项,φ=-符合.

11.ABD　解析对于A选项,根据题意,图2是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC,故AA'=BB',AB'>BB',所以这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形,故A选项正确;

对于B选项,由题知,在△ABB'中,BB'=3,sin∠ABB'=,∠AB'B=120°,所以sin∠BAB'=sin(60°-∠ABB')=,所以由正弦定理得,解得AB'=5,因为BB'=AA'=3,所以A'B'=2,故B选项正确;

对于C选项,不妨设AB=2A'B'=2,AA'=x,所以在△AB'B中,由余弦定理得|AB|2=|AB'|2+|BB'|2-2|AB'||BB'|cos∠AB'B,代入数据得AA'=x=,所以AB'=AA'+A'B'=1+,BB'=AA'=,所以,故C选项错误;

对于D选项,若A'是AB'的中点,则S△ABB'=BB'·AB'sin120°=B'C'·A'B'sin60°=2S△A'B'C',所以S△ABC=3S△ABB'+S△A'B'C'=7S△A'B'C',故D选项正确.

12.-　解析因为tan(α-β)=,tanβ=2,所以tanα=tan[(α-β)+β]==-.

13.答案不唯一,φ=2kπ+,k∈Z均可　解析因为f(x)=cosφsinx+(sinφ+1)cosx=sin(x+θ),所以=2,解得sinφ=1,故可取φ=.

14.(+1,+2)　解析因为B=2A,则sinB=sin2A=2sinAcosA,cosB=cos2A=2cos2A-1,

又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

故由正弦定理可得=2cosA+cosB+=2cosA+cosB+2cos2A=2cosA+2cos2A+2cos2A-1=4cos2A+2cosA-1.

又△ABC为锐角三角形,故可得A∈,B=2A∈,C=π-3A∈,解得A∈,则cosA∈,故4cos2A+2cosA-1∈(+1,+2),即∈(+1,+2).

15.-　解析因为x∈,则x+,令t=sin∈[-1,1],则t=(sinx+cosx),t2=(1+2sinxcosx)=(1+sin2x),则sin2x=2t2-1,所以f(x)=t+2t2-1=2t2+t-1,所以当t=-时,函数y=2t2+t-1取得最小值,即ymin=-1=-,此时sin=-,

由已知θ+,

所以cos,cosθ=cos=coscos+sinθ+sin.