2023届高考数学二轮复习考点8空间向量与空间角、距离作业含答案

考点突破练8　空间向量与空间角、距离

1.

(2022·江苏徐州模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1C1C是边长为4的正方形,AB=3,BC=5.

(1)求直线A1B与直线AC1所成角的余弦值;

(2)若在线段BC1上存在一点D,且=t,t∈[0,1],当AD⊥A1B时,求t的值.

2.

(2022·天津河西二模)如图所示,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,AE⊥底面ABCD,AE∥CF,AD=3,AB=BC=AE=2,CF=1.

(1)求证:BF∥平面ADE;

(2)求直线BE与直线DF所成角的余弦值;

(3)求点D到直线BF的距离.

3.(2022·江苏苏锡常镇四市一模)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,AA1=AB=3,D,E分别为棱BC,B1C1上的点,且=t(0<t<1).

(1)若t=,求证:AD∥平面A1EB;

(2)若二面角C1-AD-C的大小为,求实数t的值.

4.(2022·河北保定一模)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=1,∠BCD=60°,现将平面DAC沿AC折起至平面PAC,使得PB=.

(1)证明:AB⊥PC;

(2)求二面角A-PC-B的余弦值.

5.

(2022·辽宁锦州一模)如图,在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD是菱形,AB=1,SC=,三棱锥S-BCD是正三棱锥,E,F分别为线段SA,SC的中点.

(1)求证:BD⊥平面SAC;

(2)求二面角E-BF-D的余弦值;

(3)判断直线SA与平面BDF的位置关系.如果平行,求出直线SA与平面BDF的距离;如果不平行,请说明理由.

6.(2022·山东青岛模拟)如图,C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,平面PAC⊥平面ABC,△PAC为正三角形,E,F分别是PC,PB上的动点.

(1)求证:BC⊥AE;

(2)若E,F分别是线段PC,PB的中点且异面直线AF与BC所成角的正切值为,记平面AEF与平面ABC的交线为直线l,点Q为直线l上的动点,求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围.

考点突破练8　空间向量与空间角、距离

1.解(1)在△ABC中,因为AC2+AB2=BC2,所以AC⊥AB.

又AA1⊥平面ABC,所以AA1,AC,AB两两垂直.

以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则A1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0,4),A(0,0,0),所以=(4,0,4),=(0,-3,4).设直线A1B与直线AC1所成角为θ(0°≤θ≤90°),

则cosθ=,

即直线A1B与直线AC1所成角的余弦值为.

(2)依题意=t,t∈[0,1].

因为=(4,-3,4),=(0,3,-4),=(0,3,0),

所以+t=(4t,3-3t,4t).

因为,则=4t×0+3×(3-3t)-4×4t=0,解得t=.

2.(1)证明∵AE∥CF,AE⊄平面BFC,CF⊂平面BFC,∴AE∥平面BCF.∵AD∥BC,AD⊄平面BCF,BC⊂平面BCF,∴AD∥平面BFC.又AD,AE⊂平面ADE,AD∩AE=A,∴平面ADE∥平面BFC.∵BF⊂平面BFC,∴BF∥平面ADE.

(2)解以A为原点,分别为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,

则B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,3,0),E(0,0,2),F(2,2,1),

则=(-2,0,2),=(2,-1,1),

∴cos<>==-,

∴直线BE与直线DF所成角的余弦值为.

(3)解由(2)可知=(0,2,1),=(2,-1,1),

cos<>=,∴sin<>=,∴点D到直线BF的距离为||sin<>=.

3.(1)证明当t=时,D,E分别为棱BC,B1C1的中点,

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,连接DE(图略),则DE∥AA1,DE=AA1,所以四边形DEA1A是平行四边形,所以AD∥A1E.又因为AD⊄平面A1EB,A1E⊂平面A1EB,所以AD∥平面A1EB.

(2)解(方法一)如图所示,

在平面ABC内,过点C作AD的垂线,垂足为H,连接C1H,

则∠C1HC为二面角C1-AD-C的平面角,即∠C1HC=.

在Rt△C1HC中,C1C=3,所以CH=.

在Rt△CHA中,CH=,AC=3,

所以sin∠CAH=.

又因为∠CAH为锐角,所以cos∠CAH=,且0<∠CAH<,所以点H在线段AD的延长线上.在△CDA中,sin∠CDH=sin,CD==6-3,所以t==2-.

(方法二)由题可知AA1⊥平面ABC,∠BAC=90°,

以为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,3,0),C1(0,3,3),

所以=(3,0,0),=(0,3,3),=(-3,3,0),=t=(-3t,3t,0),所以=(3-3t,3t,0).

设平面AC1D的一个法向量为n1=(x,y,z),

则

令y=t-1,则x=t,z=1-t,故n1=(t,t-1,1-t).

由题得平面ADC的一个法向量为n2=(0,0,1).

因为二面角C1-AD-C的大小为,所以=cos,即,得t2-4t+2=0.

又因为0<t<1,所以t=2-.

4.(1)证明在等腰梯形ABCD中,过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC于点F.因为在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=1,∠BCD=60°,

所以BE=CF=CD=,EF=AD=1,AE=DF=,

所以AC=BD=,BC=2,

所以BD2+CD2=BC2,所以BD⊥CD,同理AB⊥AC.

又因为AP=AB=1,PB=,

所以AP2+AB2=PB2,所以AB⊥AP.

又AC∩AP=A,AC,AP⊂平面ACP,所以AB⊥平面ACP.

因为PC⊂平面ACP,所以AB⊥PC.

(2)解取线段AC的中点为M,线段BC的中点为N,则MN∥AB.因为AB⊥平面ACP,所以MN⊥平面ACP.

因为AC,PM⊂平面ACP,所以MN⊥AC,MN⊥PM.

因为PA=PC,线段AC的中点为M,所以PM⊥AC,所以MN,MC,MP两两垂直.

以M为原点,以MN所在直线为x轴,以MC所在直线为y轴,以MP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则A0,-,0,B1,-,0,C0,,0,P0,0,,=0,,-,=1,-,-.

由题得,平面APC的一个法向量为m=(1,0,0).

设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),

则令y=1,则x=,z=,则n=(,1,),所以cos<m,n>=.

因为二面角A-PC-B为锐角,所以二面角A-PC-B的余弦值为.

5.(1)证明连接AC,交BD于点O,连接SO.因为四边形ABCD是菱形,所以O为AC,BD的中点,且BD⊥AC.因为三棱锥S-BCD是正三棱锥,SB=SD,O为BD的中点,所以BD⊥SO.

又SO∩AC=O,SO,AC⊂平面SAC,所以BD⊥平面SAC.

(2)解作SH⊥平面BCD于点H,则H为正三角形BCD的中心,H在线段OC上,且OH=OC=,CH=OC=,SH==1.

如图,以O为坐标原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则A0,-,0,B,0,0,C0,,0,D-,0,0,S0,,1,E0,-,F0,,所以=-,-,=-,=(-1,0,0).

设n1=(x1,y1,z1)是平面EBF的法向量,

则

取x1=1,则y1=0,z1=1,故n1=(1,0,1).

设n2=(x2,y2,z2)是平面DBF的法向量,

则

取y2=,则x2=0,z2=-2,故n2=(0,,-2).

所以cos<n1,n2>==-.又因为二面角E-BF-D是锐角,所以二面角E-BF-D的余弦值为.

(3)解直线SA与平面BDF平行.理由如下:

连接OF,由(1)知O为线段AC的中点,且F为线段SC的中点,所以OF∥SA.又因为SA⊄平面BDF,OF⊂平面BDF,所以直线SA∥平面BDF.

(或者用向量法判断直线SA与平面BDF平行:

由(2)知n2=(0,,-2)是平面BDF的一个法向量,=0,-,-1.因为·n2=0×0++(-2)×(-1)=0,所以⊥n2.

又因为SA⊄平面BDF,所以直线SA∥平面BDF.)

设点A与平面BDF的距离为h,则h为直线SA与平面BDF的距离.因为=0,-,0,n2=(0,,-2)是平面DBF的一个法向量,

所以h=.

6.(1)证明因为C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,所以BC⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,且平面PAC∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面PAC.因为AE⊂平面PAC,所以BC⊥AE.

(2)解由E,F分别是线段PC,PB的中点,连接AF,EF,所以BC∥EF.由(1)知BC⊥AE,所以EF⊥AE,

所以在Rt△AFE中,∠AFE就是异面直线AF与BC所成的角.因为异面直线AF与BC所成角的正切值为,

所以tan∠AFE=,即.

又EF⊂平面AEF,BC⊄平面AEF,所以BC∥平面AEF.

又BC⊂平面ABC,平面EFA∩平面ABC=l,所以BC∥l,

所以在平面ABC中,过点A作BC的平行线即为直线l.

以C为坐标原点,CA,CB所在直线分别为x轴,y轴,过点C且垂直于平面ABC的直线为z轴,建立空间直角坐标系.

设AC=2,因为△PAC为正三角形,所以AE=,则EF=2.

由已知E,F分别是线段PC,PB的中点,所以BC=2EF=4.

则A(2,0,0),B(0,4,0),P(1,0,),E,0,,F,2,,所以=-,0,,=(0,2,0).

因为BC∥l,所以设Q(2,t,0),t∈R,平面AEF的一个法向量为m=(x,y,z),

则取z=,得x=1,y=0,所以m=(1,0,).又=(1,t,-),

则|cos<,m>|=.

设直线PQ与平面AEF所成角为θ,

则sinθ=,

所以直线PQ与平面AEF所成角的取值范围为.