2023届高考数学二轮复习小题限时提速练(三)作业含答案

提速练(三)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={x|x=2n+1,n∈Z},B={x|<3},则A∩B=(　D　)

A.{1,3}    B.{3,5,7,9}

C.{3,5,7} D.{1,3,5,7,9}

解析:由<3,得1≤x<10,则A∩B={1,3,5,7,9}.故选D.

2.已知(1+i)z=2i,则复数z的共轭复数是(　C　)

A.1+i B.-1+i

C.1-i D.-1-i

解析:由(1+i)z=2i,可得z===1+i,所以复数z的共轭复数是1-i.故选C.

3.已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=1,b=(-1,),则|a-2b|的值为(　C　)

A. B.4

C. D.2

解析:因为平面向量a,b的夹角为,且|a|=1,b=(-1,),

所以|b|==2,a·b=1×2cos =1,

所以|a-2b|====

.故选C.

4.在某研究性学习成果报告会上,有A,B,C,D,E,F共6项成果要汇报,如果B成果不能最先汇报,而A,C,D按先后顺序汇报(不一定相邻),那么不同的汇报安排种数为(　A　)

A.100 B.120

C.300 D.600

解析:先排B成果,有5种排法,然后排剩余5个成果共=120,由于A,C,D顺序确定,所以不同的排法共有=100(种).故选A.

5.(2022·山东青岛二模)《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建设学术语,指的是一段类似隧道形状的几何体,如图,在羡除ABCDEF中,底面ABCD是正方形,EF∥平面ABCD,EF=2,其余棱长都为1,则这个几何体的外接球的体积为(　B　)

A.π  B.

C.π D.4π

解析:连接AC,BD交于点M,取EF的中点O,则OM⊥平面ABCD,取BC的中点G,连接FG,作GH⊥EF,垂足为H,如图所示.

由题意可知,HF=,FG=,所以HG==,

所以OM=HG=,AM=,所以OA==1,

又OE=1,所以OA=OB=OC=OD=OE=OF=1,即这个几何体的外接球的球心为O,半径为1,所以这个几何体的外接球的体积V=πR3=×π×13=

π.故选B.

6.设a=log0.222 022,b=sin(sin 2 022),c=2 0220.22,则a,b,c的大小关系为(　A　)

A.a<b<c B.b<a<c

C.b<c<a D.c<b<a

解析:因为a=log0.222 022<log0.22=-1,-1<b=sin(sin 2 022)<1,

c=2 0220.22>2 0220=1,所以a<b<c.故选A.

7.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵,研究发现鲑鱼的游速(单位:m/s)可以表示为v=log3,其中Q表示鲑鱼的耗氧量,则鲑鱼以1.5 m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为(　D　)

A.2 600 B.2 700 C.2  D.27

解析:当一条鲑鱼静止时,v=0,

此时0=log3,则=1,耗氧量为Q1=100;

当一条鲑鱼以1.5 m/s的速度游动时,v=1.5,此时1.5=log3,

所以log3=3,则=27,即耗氧量为Q=2 700,

因此鲑鱼以1.5 m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为=27.故选D.

8.已知函数f(x)=xln x-ax+(a+1)有两个零点x1,x2,若x1+x2>,则实数a的取值范围是(　A　)

A.(0,+∞)

B.(-1,0)

C.{a|a=0}

D.(-1,0)∪(0,+∞)

解析:因为f(x)=xln x-ax+(a+1),所以f′(x)=ln x+(1-a),

令f′(x)>0,即ln x>a-1,解得x>ea-1,令f′(x)<0,即ln x<a-1,解得0<x<ea-1,

即f(x)在(0,ea-1)上单调递减,在(ea-1,+∞)上单调递增,即x=ea-1是函数f(x)的极小值点.

因为f()=ln -+(a+1)=--+(a+1)=0,

所以是函数f(x)的一个零点,不妨设x1=,若x1+x2>,则x2>,

则ea-1>,解得a>0.故选A.

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.设0<a<b,且a+b=2,则(　AC　)

A.1<b<2 B.2a-b>1

C.ab<1 D.+>3

解析:对于A,因为0<a<b,且a+b=2,所以0<2-b<b,解得1<b<2,故A

正确;

对于B,因为a<b,即a-b<0,所以2a-b<20=1,故B错误;

对于C,因为0<a<b,且a+b=2,所以ab≤=1,当且仅当a=b=1时,等号成立,所以ab<1,故C正确;

对于D,因为0<a<b,且a+b=2,

所以(+)=+)(a+b)=(1+++2)≥(3+2)=(3+2),

当且仅当=,即a=2-2,b=4-2时等号成立,

因为(3+2)-3=<0,所以(3+2)<3,所以D错误.故选AC.

10.已知双曲线C:+=1(0<k<1),则(　ACD　)

A.双曲线C的焦点在x轴上

B.双曲线C的焦距等于4

C.双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于

D.双曲线C的离心率的取值范围为(1,)

解析:对于A,因为0<k<1,所以9-k>0,k-1<0,

所以双曲线C:-=1(0<k<1)表示焦点在x轴上的双曲线,故选项A正确;

对于B,由A知a2=9-k,b2=1-k,所以c2=a2+b2=10-2k,所以c=,

所以双曲线C的焦距2c=2(0<k<1),故选项B错误;

对于C,设焦点在x轴上的双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),焦点坐标为(±c,0),则渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,所以焦点到渐近线的距离d==b,

所以双曲线C:-=1(0<k<1)的焦点到其渐近线的距离等于,故选项C正确;

对于D,双曲线C的离心率e===,

因为0<k<1,所以1<2-<,所以e=∈(1,),故选项D正确.故选ACD.

11.已知函数f(x)=cos(2x-),先将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变,再将所得图象上所有的点向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则(　BCD　)

A.g(x)=cos(6x-)

B.g(x)的图象关于x=对称

C.g(x)的最小正周期为3π

D.g(x)在区间(,)上单调递减

解析:对于函数f(x)=cos(2x-),先将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变,得到y=cos(x-)的图象,

再将所得图象上所有的点向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)=

cos(x-)的图象,故A错误;

当x=时,g()=1,故B正确;

函数g(x)的最小正周期为=3π,故C正确;

当x∈(,)时,x-∈(0,π),故函数g(x)在区间(,)上单调递减,故D正确.故选BCD.

12.已知数列{an}满足an+1(2an+1)=3an+m,an≠-,则下列说法正确的有(　BC　)

A.若m=-12,a1=1,则a3=5

B.若m=0,a1=,则an=

C.若m=12,a1≠-2,3,则{}是等比数列

D.若m=-,a1=1,则an=-

解析:A选项,若m=-12,则an+1(2an+1)=3an-12,即an+1=.

又a1=1,则a2==-3,a3==,故A错误;

B选项,若m=0,则an+1(2an+1)=3an,即an+1=,

即=+,则-1=-1).又a1=,则-1=2-1=1,

所以{-1}是首项为1,公比为的等比数列,则-1=,

即=+1=,即an=,故B正确;

C选项,若m=12,则an+1(2an+1)=3an+12,即an+1=,

则====-×(),

所以{}是公比为-的等比数列,故C正确;

D选项,若m=-,则an+1=,则an+1-==,

则==1+=1+(an≠),

即-=1.又a1=1,则=2,

所以{}是首项为2,公差为1的等差数列,所以=n+1,

即an-=,即an=+,故D错误.故选BC.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(1+2x-x2)n的展开式中各项系数的和为64,则的展开式中常数项为　　　　. 

解析:因为的展开式中各项系数的和为64,则令x=1得2n=64,解得n=6.

表示6个因式1+x+的乘积,在这6个因式中,有6个因式都选1,可得常数项为1;有2个因式都选x,有1个因式选,其余的3个因式都选1,可得常数项为×13=60;有4个因式都选x,有2个因式都选,可得常数项为=15.综上,所求的展开式中常数项为60+15+1=76.

答案:76

14.2022年冬奥会在北京、延庆、张家口三个区域布局赛区,北京承办所有冰上项目,延庆和张家口承办所有雪上项目.组委会招聘了甲在内的4名志愿者,准备分配到上述3个赛区参与赛后维护服务工作,要求每个赛区至少分到一名志愿者,则志愿者甲正好分到北京赛区的概率为　　　　.

解析:依题意得3个赛区分配的志愿者人数只有1人、1人、2人这种情况,一共有=36种安排方法;志愿者甲分配到北京赛区有+

=12种安排方法,

故志愿者甲正好分到北京赛区的概率P==.

答案:

15.已知点A(1,)在抛物线y2=2px(p>0)上,若△ABC的三个顶点都在抛物线上,记三边AB,BC,CA所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,则-

+=　　　　. 

解析:因为点A(1,)在抛物线y2=2px(p>0)上,所以2=2p×1,解得p=1,所以抛物线的方程为y2=2x.设B(,y1),C(,y2),

k1==,k2==,k3==,

-+=-+=.

答案:

16.在△ABC中,AB=AC=2,cos A=,将△ABC绕BC旋转至△BCD的位置,使得AD=,如图所示,则三棱锥DABC外接球的体积为　　　　.

解析:在△ABC中,由余弦定理得BC2=22+22-2×2×2×=2,所以BC=.

在三棱锥DABC中,AB=AC=DB=DC=2,AD=BC=.

将三棱锥DABC放入长方体中,如图所示,设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,

三棱锥DABC外接球的半径为R,则a2+b2=4,b2+c2=4,a2+c2=2,

所以a2+b2+c2=5,所以R==,

从而三棱锥DABC外接球的体积V=πR3=π.

答案:π