2023届高考数学二轮复习小题限时提速练(四)作业含答案

提速练(四)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设全集U={-2,-1,0,1,2},A={-2,-1,2},B={-2,-1,0,1},则(∁UA)∩B=(　B　)

A.{-2,1}  B.{0,1}

C.{-1,0,1} D.{-2,-1,0,1}

解析:∁UA={0,1},(∁UA)∩B={0,1}.故选B.

2.若复数z满足z(1-i)=|1-i|,则复数z的实部是(　D　)

A.-1　　　　B.i　　　　C.i　　　　D.

解析:依题意得|1-i|==,所以z===+i,故z的实部为.故选D.

3.2022年北京冬奥会参加冰壶混双比赛的队伍共有10支,冬奥会冰壶比赛的赛程安排如下,先进行循环赛,循环赛规则规定每支队伍都要和其余9支队伍轮流交手一次,循环赛结束后按照比赛规则决出前4名进行半决赛,胜者决冠军,负者争铜牌,则整个冰壶混双比赛的场数是(　B　)

A.48 B.49 C.93 D.94

解析:由已知可得循环赛的比赛场数为==45,故总场数为45+

2+1+1=49.故选B.

4.若tan(α+)=-2,则tan(2α+)=(　D　)

A. B.  C.- D.

解析:由tan(α+)=-2,可得tan(2α+)=tan(2α+π+)=tan(2α+

)=tan[2(α+)]===.故选D.

5.函数f(x)=xln||的图象大致为(　C　)

解析:由f(-x)=-xln||=-f(x),定义域关于原点对称,可知f(x)为奇函数,排除B,D;

又f(e)=-e<0,排除A.故选C.

6.某商场举办返利活动,凡购物满200元的顾客,有机会进行一次抽奖.已知每次抽奖获得一等奖的概率为,获得二等奖的概率为,获得三等奖的概率为,若一位顾客连续抽奖两次,则恰好抽到一次一等奖和一次二等奖的概率为(　D　)

A.  B.  C. D.

解析:恰好抽到一次一等奖和一次二等奖的概率为××=.故选D.

7.(2022·河北石家庄模拟)已知3a=2,5b=3,则下列结论正确的有(　B　)

①a<b;②a+<b+;③a+b<2ab;④a+ab<b+ba.

A.1个 B.2个 

C.3个 D.4个

解析:因为3a=2,5b=3,则a=log32,b=log53.

对于①,因为23<32,则2<,从而0=log31<a=log32<log3=,

因为33>52,则3>,则=log5<log53=b<log55=1,即0<a<<b<1,①

正确;

对于②,(a+)-(b+)=(a-b)+(-)=,

因为0<a<<b<1,则a-b<0,0<ab<1,所以a+>b+,②错误;

对于③,因为2ab=2log32·log53=2log52=log54,所以a+b-2ab=log32+log53-log54=log32-log5>log3-log5=0,所以a+b>

2ab,③错误;

对于④,构造函数f(x)=,其中0<x<e,则f′(x)=.当0<x<e时,

f′(x)>0,

则函数f(x)在(0,e)上单调递增,因为0<a<b<1,则f(a)<f(b),即<

,可得ab<ba,所以a+ab<b+ba,④正确.故选B.

8.已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点M为双曲线的左支上一点,满足|MF1|=2|F1F2|,且cos∠MF1F2=-,则该双曲线的离心率e=(　D　)

A.  B.  C. D.2

解析:因为|MF1|=2|F1F2|=4c,由双曲线的定义得|MF2|=|MF1|+2a=4c+

2a,所以由余弦定理得cos∠MF1F2==

=-,

即9c2-16ac-4a2=0,即9e2-16e-4=0,解得e=2(负值舍去),则该双曲线的离心率e=2.故选D.

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.(x+)6的展开式中,下列结论正确的是(　CD　)

A.展开式共6项

B.常数项为64

C.所有项的系数之和为729

D.所有项的二项式系数之和为64

解析:(x+)6展开式的总项数是7,A不正确;

(x+)6展开式的常数项为x6-3()3=160,B不正确;

取x=1得(x+)6展开式的所有项的系数之和为36=729,C正确;

由二项式系数的性质得(x+)6展开式的所有项的二项式系数之和为26=64,D正确.故选CD.

10.已知函数f(x)=cos2-sin cos ,则(　BCD　)

A.函数f(x)的最小正周期为4π

B.点(-,)是函数f(x)图象的一个对称中心

C.将函数f(x)图象向左平移个单位长度,所得到的函数图象关于y轴对称

D.函数f(x)在区间(-,0)上单调递减

解析:f(x)=cos2-sin cos =·-=cos x-sin x+

=cos(x+)+,故最小正周期为2π,A错误;

f(-)=cos(-+)+=,点(-,)是函数f(x)图象的一个对称中心,B正确;

将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数f(x)=cos(x+

+)+=-cos x+的图象,关于y轴对称,C正确;若x∈(-,0),则x+∈(0,),f(x)单调递减,D正确.故选BCD.

11.下列函数中,存在实数a,使函数f(x)为奇函数的是(　ACD　)

A.f(x)=lg(x+)

B.f(x)=x2+ax

C.f(x)=-2

D.f(x)=xln(ex+a)-

解析:对于A,当a=1时,函数f(x)=lg(x+)的定义域为R,关于原点对称,

又由f(x)+f(-x)=lg(x+)+lg(-x+)=lg 1=0,

即f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,所以A正确;

对于B,因为函数y=x2为偶函数,所以函数f(x)=x2+ax不可能是奇

函数,

即不存在实数a,使得函数f(x)为奇函数,所以B不正确;

对于C,由函数f(x)=-2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,

又由f(-x)=-f(x),即-2=-+2,解得a=-4,所以C正确;

对于D,当a=1时,函数f(x)=xln(ex+1)-=x[ln(ex+1)-]=

xln(+ ),

其定义域为R,关于原点对称,

又由f(-x)=-xln(+)=-xln(+)=-f(x),即f(-x)=

-f(x),

所以函数f(x)为奇函数,所以D正确.故选ACD.

12.如图,若正方体的棱长为1,点M是正方体ABCDA1B1C1D1的侧面ADD1A1上的一个动点(含边界),P是棱CC1的中点,则下列结论正确的是(　ABD　)

A.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为

B.若保持|PM|=,则点M在侧面运动路径的长度为

C.三棱锥BC1MD的体积最大值为

D.若M在侧面ADD1A1内运动(不含边界),且∠MD1B=∠B1D1B,点M的轨迹为线段

解析:将面ABB1A1与面BCC1B1展开到同一平面内,连接AP,此时AP=

=,

也可将面ABCD与面CDD1C1展开到同一平面内,此时AP=

=,

而<,故A正确;

过点P作PE⊥DD1于点E,连接EM,则E为DD1的中点,PE=1且PE⊥平面ADD1A1,EM⊂平面ADD1A1,所以PE⊥EM,由|PM|=,知EM=

=1,故点M是以E为圆心,1为半径的圆与侧面ADD1A1的交线,长度为=,B正确;

连接C1B,C1D,BD,MD,MB,MC1,则BD=C1D=C1B=,所以=×

()2=,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),设M(m,0,n)(0≤m≤1,0≤n≤1),设平面C1BD的法向量为n=(x,y,z),则令y=1得n=(-1,1,-1),设M(m,0,n)到平面C1BD的距离为h,

则h===,故当m=1,n=1时,h取得最大值为=,此时三棱锥BC1MD的体积取得最大值为==×

×=,C错误;

cos∠B1D1B===,所以cos∠MD1B=,连接MD1,MB,因为M(m,0,n)

(0<m<1,0<n<1),所以MD1=,MB=,

cos∠MD1B===,化简(m+n-1)2=0,所以m+

n-1=0且m,n∈(0,1),知M的轨迹是线段,D正确.故选ABD.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知向量|a|=1,b=(-1,-),且a·(2a-b)=1,则向量a与b的夹角为　　　　.

解析:设向量a与b的夹角为θ,由a·(2a-b)=1求得2-a·b=1,所以a·b=1,又|b|==2,所以cos θ==,因为θ∈

[0,π],所以θ=.

答案:

14.半径为3的金属球在机床上通过切割,加工成一个底面半径为2的圆柱,当圆柱的体积最大时,其侧面积为　　　　.

解析:要使圆柱的体积最大,即圆柱的高最大,

所以仅当金属球是圆柱的外接球时高最大,为h=2=2,

所以所求侧面积为S=2×2π×2=8π.

答案:8π

15.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点M在C上,且点M到点F的距离为13,到x轴的距离为9,则p=　　　　.

解析:根据抛物线的定义,点M到点F的距离等于点M到准线y=-的距离为13,

又因为点M到x轴的距离为9,可得13-9=,解得p=8.

答案:8

16.函数f(x)=((a,b∈R)的最大值为2,且在区间(-∞,]上单调递增,则a的取值范围是　　　　,b+的最小值为　　　　.

解析:注意到y=()t(t∈R)是减函数,所以y=x2-ax+b在(-∞,]上单调递减,

而y=x2-ax+b的单调递减区间是(-∞,],所以≥,a≥1.因为f(x)=

(的最大值为2,

所以y=x2-ax+b=(x-)2+b-的最小值为-1,即b-=-1,b+=+-1,

令h(a)=+-1,h′(a)==0,a=2,所以h(a)在a=2处取得最小值2.

答案:[1,+∞)　2