2023届高考数学二轮复习专题十三空间向量与空间角作业含答案

专题强化训练(十三)

1.如图,AB是圆O的直径,PA⊥圆O所在的平面,C为圆周上一点,D为线段PC的中点,∠CBA=30°,AB=2PA.

(1)证明:平面ABD⊥平面PBC;

(2)若G为AD的中点,求直线CG与平面PBG所成角的正弦值.

(1)证明:因为PA⊥圆O所在的平面,即PA⊥平面ABC,而BC⊂平面ABC,则PA⊥BC,

又AB是圆O的直径,C为圆周上一点,有AC⊥BC,

又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,则BC⊥平面PAC,而AD⊂平面PAC,

因此BC⊥AD,

在Rt△ABC中,∠CBA=30°,有AB=2AC,

又AB=2PA,即PA=AC,

而D为线段PC的中点,则AD⊥PC,

又PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PBC,因此AD⊥平面PBC,

而AD⊂平面ABD,所以平面ABD⊥平面PBC.

(2)解:过点C作Cz∥PA,如图,由PA⊥平面ABC知,Cz⊥平面ABC,

以C为坐标原点,直线CA,CB,Cz分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Cxyz,令AC=2,

则A(2,0,0),B(0,2,0),P(2,0,2),D(1,0,1),G(,0,),

则=(,0,),=(-2,2,-2),=(-,0,-),

设平面PBG的法向量为n=(x,y,z),

则

令z=-,得n=(3,2,-),

设直线CG与平面PBG所成角为θ,

则sin θ=|cos<n,>|===.

2.(2021·山西晋中三模)在三棱锥ABCD中,E,F分别是棱BC,CD上的点,且EF∥平面ABD.

(1)求证:BD∥平面AEF;

(2)若AE⊥平面BCD,DE⊥BC,AE=CE=DE=2,二面角BADC的平面角的余弦值为-,求直线AB与AD所成角的余弦值.

(1)证明:E,F分别是棱BC,CD上的点,

即EF⊂平面BCD,

又EF∥平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以EF∥BD,

因为BD⊄平面AEF,EF⊂平面AEF,所以BD∥平面AEF.

(2)解:因为AE⊥平面BCD,DE⊥BC,

所以以E为原点,ED所在直线为x轴,EC所在直线为y轴,EA所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,

因为AE=CE=DE=2,

所以A(0,0,2),C(0,2,0),D(2,0,0),

设BE=a,则B(0,-a,0),=(0,-a,-2),=(0,2,-2),=(2,0,-2),

设平面ABD的法向量为n=(x1,y1,z1),

则

取x1=1,得n=(1,-,1).

设平面ACD的法向量为m=(x2,y2,z2),

则

取x2=1,得m=(1,1,1),

因为二面角BADC的平面角的余弦值为-,

所以|cos<m,n>|=||=,

解得a=4,所以B(0,-4,0),=(0,-4,-2),

设直线AB与AD所成角为θ,

则cos θ===.

所以直线AB与AD所成角的余弦值为.

3.(2022·河北保定高三期末)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,平面PCD⊥底面ABCD,且BC=2,AB=4,BD=2.

(1)证明:BC⊥PD;

(2)若PC=PD=,求二面角APBC的余弦值.

(1)证明:在平行四边形ABCD中,AD=BC=2,AB=4,BD=2,

因为AD2+AB2=BD2,则AD⊥AB,即BC⊥CD,

因为平面PCD⊥底面ABCD,且平面PCD∩底面ABCD=CD,BC⊂平面ABCD,则BC⊥平面PCD.

又PD⊂平面PCD,所以BC⊥PD.

(2)解:取CD的中点E,AB的中点F,连接PE,EF,

由(1)知,EF⊥CD,因为PC=PD=,则PE⊥CD,

又平面PCD⊥底面ABCD,且平面PCD∩底面ABCD=CD,PE⊂平面PCD,

则PE⊥平面ABCD,

以E为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Exyz,

则P(0,0,3),A(2,-2,0),B(2,2,0),C(0,2,0),

所以=(2,2,-3),=(-2,0,0),=(0,4,0),

设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则

即令x=3,得n=(3,0,2),

设平面PBC的法向量为m=(a,b,c),即令b=3,得m=(0,3,2),

于是得cos<m,n>===,

由图知,二面角APBC的平面角为钝角,所以二面角APBC的余弦值为-.

4.(2022·四川雅安二模)如图(1),已知△ABC是边长为6的等边三角形,点M,N分别在AB,AC上,MN∥BC,O是线段MN的中点.将△AMN沿直线MN进行翻折,A翻折到点P的位置,使得二面角PMNB是直二面角,如图(2).

(1)若BM⊥平面POC,求MN的长;

(2)求二面角NPMB的余弦值.

解:(1)设BC的中点为E,因为△ABC是边长为6的等边三角形,O是线段MN的中点,

则OE⊥BC,PO⊥MN.

又因为二面角PMNB是直二面角,平面PMN∩平面MNB=MN,PO⊂平面PMN,

所以PO⊥平面MNB.

以O为坐标原点,分别以OM,OE,OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.

设MN=2x,OE=y,0<x<3,0<y<3,

则M(x,0,0),B(3,y,0),C(-3,y,0),

所以=(3-x,y,0),=(-3,y,0).

因为BM⊥平面POC,则⊥,故-3(3-x)+y2=0,又在翻折前,=,即=,得y=(3-x),

联立解得x=2或x=3(舍去),故y=,故MN=4.

(2)易知平面PMN的一个法向量为m=(0,1,0),

由P(0,0,3-y),得=(-x,0,3-y),=(3-x,y,0).

设平面PMB的法向量为n=(a,b,c),

则⇒

又y=(3-x),

取a=,解得b=-1,c=1,故n=(,-1,1),

所以cos<m,n>===-,由图知二面角NPMB为钝二面角,

故二面角NPMB的余弦值为-.