2023届高考数学二轮复习专题二十直线与圆锥曲线的位置关系作业含答案

专题强化训练(二十)

一、单项选择题

1.设抛物线的顶点为坐标原点O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线(　B　)

A.经过点O        B.经过点P

C.平行于直线OP     D.垂直于直线OP

解析:不妨设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),如图所示,连接PF,则|PF|=|PQ|,则△QPF为等腰三角形,所以QF的垂直平分线过点P.

故选B.

2.直线l经过点P(4,2)且与双曲线-y2=1交于M,N两点,如果点P是线段MN的中点,那么直线l的方程为(　A　)

A.x-y-2=0 B.x+y-6=0

C.2x-3y-2=0 D.不存在

解析:当直线l的斜率不存在时,显然不符合题意;当直线l的斜率存在时,设M(x1,y1),N(x2,y2),因为点P是线段MN的中点,所以x1+x2=8,

y1+y2=4,代入双曲线方程得两式相减得-=2(-),则直线l的斜率为k===1,又直线l过点P,所以直线l的方程为y=x-2,联立得到x2-8x+10=0,经检验Δ>0,所以直线y=x-2满足题意.故选A.

3.(2022·江西重点中学协作体联考)如图所示,椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=kx(k>0)与C相交于M,N两点,若M,F1,N,F2四点共圆(其中M在第一象限),且直线NF2的倾斜角不小于,则椭圆C的实轴长的取值范围是(　A　)

A.[+1,2)  B.[+1,4)

C.(2,+1]     D.(2,2]

解析:椭圆的半焦距为c=1,由椭圆的中心对称性和M,F1,N,F2四点共圆,可知四边形MF1NF2为矩形,所以以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点,则c>,所以a2<2c2=2,则a<,因为直线NF2的倾斜角不小于,所以直线MF1的倾斜角不小于,则≥,化简可得|F1M|≤|F2M|,因为|F1M|+|F2M|=2a,所以2a-|F2M|≤|F2M|,则|F2M|≥(-1)a,又(2a-|F2M|)2+|F2M|2=4c2=4,点M在第一象限,所以|F2M|=a-,故a-≥(-1)a,解得a≥,即2a≥+1,所以+1≤2a<2,椭圆C的实轴长的取值范围是[+1,2).

故选A.

4.设O为坐标原点,直线l过定点(1,0),与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB,则抛物线C的准线方程为(　A　)

A.x=-    B.x=- 

C.x=-1 D.x=-2

解析:由题意可知直线l的斜率不为0.

设直线l:x=my+1,与y2=2px(p>0)联立得y2-2pmy-2p=0,Δ>0恒成立.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-2p.由OA⊥OB,得x1x2+y1y2=0,即·+y1y2=0,即-2p=0,得p=,所以所求准线方程为x=-.故选A.

5.(2022·安徽皖北联盟联考)已知直线l:2kx-2y-kp=0与抛物线C:y2=2px(p>0)相交于A,B两点,点M(-1,-1)是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点,则下列结论错误的是(　C　)

A.p=2

B.k=-2

C.△MAB的面积为5

D.|AB|=5

解析:由点M(-1,-1)为准线x=-上的一点,可得-=-1,解得p=2,所以抛物线C:y2=4x,所以直线l:2kx-2y-kp=0化为y=k(x-1),直线l经过抛物线C的焦点F(1,0),

设A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的半径R=,因此线段AB的中点到准线的距离为,所以以AB为直径的圆与准线相切于点M,圆心为G(x0,-1).由=4x1,=4x2,相减可得k×(-2)=4,解得k=-2,所以直线l的方程为y=-2(x-1),把G(x0,-1)代入可得-1=-2(x0-1),解得x0=,所以R==,|AB|=5,点M到直线l的距离d==,S△MAB=|AB|·d=×5×=.综上可得A,B,D正确,C错误.故选C.

6.已知过椭圆+y2=1的右焦点的直线l,斜率存在且与椭圆交于A,B两点,若弦AB的垂直平分线与x轴交于点M,则点M横坐标的取值范围为(　C　)

A.[0,] B.(-,0]

C.[0,) D.[-,0)

解析:当直线AB的斜率k=0时,即直线AB为x轴,则垂直平分线为y轴,所以xM=0;

当直线AB的斜率k≠0 时,又斜率存在,则设直线AB的方程为y=k(x-2),联立得(5k2+1)x2-20k2x+20k2-5=0,由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,设N为线段AB的中点,所以xN=,代入直线AB的方程可得yN=,则弦AB的垂直平分线MN的方程为y+=-(x-),当y=0时,x==,因为k2>0,所以x∈(0,).综上所述,x∈[0,),即点M横坐标的取值范围为[0,).故选C.

二、多项选择题

7.(2022·云南昆明模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与C相交于A,B两点(点A位于第一象限),l与C的准线交于点D,F为线段AD的中点,准线与x轴的交点为E,则(　ABD　)

A.直线l的斜率为

B.=2

C.·>0

D.直线AE与BE的倾斜角互补

解析:易知抛物线C的焦点为F(1,0),若直线l与x轴重合,则直线l与抛物线C只有一个交点,不符合题意,若直线l⊥x轴,则直线l与抛物线C的准线平行,不符合题意.

设直线l的方程为x=my+1(m≠0),点A(x1,y1),B(x2,y2),

联立可得

即D(-1,-),

因为点F为线段AD的中点,则A(3,),则>0,可得m>0,

因为点A在抛物线C上,则=3×4=12,可得m=,

所以直线l的方程为x=y+1,即y=(x-1),故直线l的斜率为,A正确;

联立解得或

即点A(3,2),B(,-),

易知点D(-1,-2),所以=(-,-),=(-,-),则=2,

B正确;

易知点E(-1,0),=(-4,-2),=(,-),

故·=-+4=-<0,C错误;

kAE==,kBE==-,则kAE=-kBE,所以直线AE与BE的倾斜角互补,

D正确.故选ABD.

8.已知双曲线E:-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-3,0),

F2(3,0),两条渐近线的夹角的正切值为2,直线l:kx-y-3k=0与双曲线E的右支交于A,B两点,设△F1AB的内心为I,则(　ACD　)

A.双曲线E的标准方程为-=1

B.满足|AB|=的直线l有2条

C.IF2⊥AB

D.△F1AB与△IAB的面积的比值的取值范围是(2,6]

解析:A选项,设双曲线E的一条渐近线的倾斜角为θ,0<θ<,因为a>b,所以0<2θ<,从而tan 2θ==2,解得tan θ=或

tan θ=-(舍去),所以=,又a2+b2=9,所以a2=6,b2=3,所以双曲线E的标准方程为-=1,A正确;B选项,直线l的方程为kx-y-3k=0,即k(x-3)-y=0,则直线l恒过右焦点F2,又过焦点F2的弦最短为==,所以满足|AB|=的直线l只有1条,B错误;C选项,由双曲线的定义可知,|AF1|-|AF2|=2=|BF1|-|BF2|,即|AF1|-|BF1|=

|AF2|-|BF2|,因此F2是△F1AB的内切圆在AB边上的切点,因此

IF2⊥AB,C正确;D选项,由题意知==

=+2,

因为|AB|≥,所以∈(2,6],D正确.故选ACD.

三、填空题

9.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为　　　　　. 

解析:由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2.联立解得交点坐标为(0,-2),(,),不妨设A点的纵坐标yA=-2,B点的纵坐标yB=,

所以S△OAB=·|OF|·|yA-yB|=×1×|-2-|=.

答案:

10.如图,过点M(a,0)作直线l1,l2与抛物线E:y2=4x相交,其中l1与E交于A,B两点,l2与E交于C,D两点,直线AD过E的焦点F,若直线AD,BC的斜率分别为k1,k2满足k1=3k2,则实数a的值为　　　　　. 

解析:设直线l1的方程为x=t1y+a,设直线l2的方程为x=t2y+a,设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),联立可得y2-4t1y-4a=0,所以y1+y2=4t1,y1y2=-4a,同理可得y3+y4=4t2,y3y4=-4a,易知点F(1,0),设直线AD的方程为x=ty+1,联立可得y2-4ty-4=0,所以y1+y4=4t,y1y4=-4,k1===,k2==

=-=,因为k1=3k2,则=,解得a=3.

答案:3

四、解答题

11.(2022·福建南平模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,焦距为4.过右焦点F2且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M,N两点,已知△MNF1的周长为4,点M关于x轴的对称点为P,直线PN交x轴于点Q.

(1)求椭圆C的方程;

(2)求四边形MF1NQ面积的最大值.

解:(1)△MNF1的周长为4,由椭圆的定义得4a=4,即a=.又焦距2c=4,得c=2,

所以b==1,所以椭圆C的方程为+y2=1.

(2)设直线l的方程为x=my+2(m≠0).联立得(m2+5)y2+4my-1=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,点P(x1,-y1),直线PN的方程为y+y1=(x-x1),令y=0得x===+2=+2=,即Q(,0),所以=|y1-y2||F1Q|==

=·=·≤,当且仅当=,即m=±时等号成立.所以四边形MF1NQ面积的最大值为.

12.(2022·湖北模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,记双曲线C与圆x2+y2=8的交点为D1,D2,D3,D4(逆时针排列),且矩形D1D2D3D4的面积为8. 

(1)求双曲线C的标准方程;

(2)已知点P(2,1),直线y=-x+m交双曲线C的左支于A,B两点,若

△PAB的外接圆过坐标原点O,求m的值.

解:(1)因为e2=1+=,所以=,所以双曲线C:x2-2y2=2b2,

联立

可得x2=,y2=,所以4×=8,

所以b4+4b2-5=0,解得b2=1或b2=-5(舍去),

所以双曲线C的标准方程为-y2=1.

(2)联立得x2-4mx+2(m2+1)=0,

则Δ=(-4m)2-8(m2+1)=8(m2-1)>0,解得m<-1或m>1,

设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=4m<0,x1x2=2(m2+1)>0,

所以m<-1,

|AB|=·|x1-x2|=·==4,设线段AB的中点为M,则xM==2m,

yM=-xM+m=-m,即M(2m,-m),从而AB的中垂线为l1:y=x-3m,又OP的中垂线为l2:y=-2x+,设△PAB的外接圆的圆心为N,联立直线l1,l2的方程得圆心N(+m,-2m),从而|ON|=|AN|=,

所以=,

即m2-m-4=0,因为m<-1,所以m=-.