2023届高考数学二轮复习特色练(二)创新性好题作业含答案

特色练(二)　创新性好题

趋势1　以高观点为背景　

1.已知i为虚数单位,若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+

isin θ2),…,zn=rn(cos θn+isin θn),则z1z2…zn=r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)].特别地,如果z1=z2=…=zn=

r(cos θ+isin θ),那么[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+

isin nθ),这就是法国数学家棣莫弗(1667—1754年)创立的棣莫弗定理.根据上述公式,可判断下列命题正确的是(　A　)

A.若z=cos+isin,则z4=-+i

B.若z=cos+isin,则z5=1+i

C.若z1=2(cos+isin),z2=3(cos+isin),则z1z2=-6+6i

D.若z1=3(cos-isin),z2=4(cos+isin),则z1z2=6+6i

解析:对于A,若z=cos+isin,则z4=cos+isin=-+i,所以该选项正确;对于B,若z=cos+isin,则z5=cos π+isin π=-1,所以该选项错误;对于C,若z1=2(cos+isin),z2=3(cos+isin),则z1z2=

6(cos π+isin π)=-6,所以该选项错误;对于D,若z1=3(cos+

isin),z2=4(cos+isin),则z1z2=12(cosπ+isinπ)=6+6i,所以该选项错误.故选A.

2.素数也叫质数,部分素数可写成“2n-1”的形式(n是素数),法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“2n-1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数.2018年底发现的第51个梅森素数是282 589 933-1,它是目前最大的梅森素数.已知第8个梅森素数为P=231-1,第9个梅森素数为Q=261-1,则lg约等于(参考:在Q,P很大的条件下≈,lg 2≈0.3)(　C　)

A.7 B.8 C.9 D.10

解析:因为P=231-1, Q=261-1,P,Q两数远远大于1,所以的值约等于,lg=lg=lg 230=30lg 2≈9.故选C.

3.在18世纪早期,英国数学家泰勒发现了公式sin x=x-+-

+…+(-1)n-1+…,其中x∈R,n∈N*,n!=1×2×3×…×n,0!=1.现用上述公式求1-+-+…+(-1)n-1+…的值,下列选项中与该值最接近的是(　B　)

A.-sin 20° B.-sin 25°

C.-sin 30° D.-sin 35°

解析:因为sin x=x-+-+…+(-1)n-1+…,所以(sin x)′=

cos x=(x-+-+…+(-1)n-1+…)′=1-+-+…+

(-1)n-1+…,

当x=2时,cos 2=sin(-2),

于是1-+-+…+(-1)n-1+…=cos 2=sin(-2)≈sin(-0.43)=

sin[-0.43×()°]≈-sin 24.6°≈-sin 25°.故选B.

4.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型,比如:当x→0时,的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在,也可能不存在,为此,洛必达在1696年提出洛必达法则:在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式的值.如:===1,则=(　D　)

A.0 B.  C.1 D.2

解析:===2.故选D.

5.丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人,特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数f(x)在区间(a,b)上的导函数为f′(x),f′(x)在(a,b)上的导函数为

f″(x),若在(a,b)上,f″(x)>0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凹函数”.已知f(x)=ex-1+xln x-tx2在区间(1,2)上为“凹函数”,则实数t的取值范围是(　B　)

A.(-∞,2] B.(-∞,1]

C.(-∞,+) D.(-∞,e+)

解析:因为f(x)=ex-1+xln x-tx2,所以f′(x)=ex-1+ln x+1-2tx,

f″(x)=ex-1+-2t,

因为f(x)=ex-1+xln x-tx2在(1,2)上为“凹函数”,

所以在(1,2)上,f″(x)=ex-1+-2t>0恒成立.令g(x)=ex-1+-2t,x∈(1,2),

则g′(x)=ex-1-单调递增,有g′(x)>g′(1)=0,所以g(x)在(1,2)上单调递增,

由g(1)=2-2t≥0,得t≤1,所以实数t的取值范围为(-∞,1].故选B.

6.以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系,是微积分学重要的理论基础,其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则在区间(a,b)内至少存在一个点x0∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f′(x0)

(b-a),x=x0称为函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的中值点,若关于函数f(x)=sin x在区间[0,π]上的“中值点”的个数为m,函数g(x)=ex在区间[0,1]上的“中值点”的个数为n,则有m+n的值为(参考数据:π≈3.14,e≈2.72)(　B　)

A.1 B.2 C.0 D.3

解析:设函数f(x)=sin x在区间[0,π]上的“中值点”为x0,由f(x)=sin x,得f′(x)=cos x,

则由拉格朗日中值定理,得f(π)-f(0)=f′(x0)(π-0),即πcos x0=0,因为x0∈[0,π],所以x0=,所以函数f(x)=sin x在区间[0,π]上的“中值点”的个数为1,即m=1.

设函数g(x)=ex在区间[0,1]上的“中值点”为x1,由g(x)=ex,得

g′(x)=ex,则由拉格朗日中值定理,得g(1)-g(0)=g′(x1)(1-0),即e-1=,作出函数y=ex和y=e-1的图象如图所示,1<e-1<e,当x∈(0,1)时,1<ex<e,

由图可知,函数y=ex和y=e-1的图象在区间[0,1]上有一个交点,即方程e-1=在区间[0,1]上有1个解,所以函数g(x)=ex在区间[0,1]上的“中值点”的个数为1,即n=1,

所以m+n=2.故选B.

7.(多选题)著名数学家欧拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线,该定理被称为欧拉线定理.已知△ABC的外心为O,重心为G,垂心为H,M为BC的中点,且AB=4,AC=2,则下列各式正确的有(　BCD　)

A.·=4 

B.·=-6

C.=++ 

D.+=4+2

解析:由G是△ABC的重心可得==+)=+,所以·=(+)·(-)=(||2-)=-4,故A选项错误;过△ABC的外心O作AB,AC的垂线,垂足分别为D,E,如图(1),易知D,E分别是AB,AC的中点,则

·=·(-)=·-·=||||cos∠OAE-

||||·cos∠OAD=||||-||||=||2-||2=-6,故B选项正确;

因为G是△ABC的重心,所以有++=0,故++=(+

)+(+)+(+)=3+++=3,

由欧拉线定理可得=3,故C选项正确;

如图(2),由=3,可得=+,即=+,则有+=2=6=6(+)=4+2,故D选项正确.故选BCD.

8.(多选题)双纽线,也称伯努利双纽线,伯努利双纽线的描述首见于1694年,雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是到两个定点距离之和为定值的点的轨迹,而卡西尼卵形线则是到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹,当此定值使得轨迹经过两定点的中点时,轨迹便为伯努利双纽线.双纽线在数学曲线领域占有至关重要的地位.双纽线像数字“8”,不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美,同时也具有特殊的有价值的艺术美,是形成其他一些常见的漂亮图案的基石,也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线C:=4(x2-y2)是双纽线,则下列结论正确的是(　BCD　)

A.曲线C经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点)

B.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2

C.曲线C关于直线y=x对称的曲线方程为=4(y2-x2)

D.若直线y=kx与曲线C只有一个交点,则实数k的取值范围为

(-∞,-1]∪[1,+∞)

解析:对于A,令y=0,解得x=0或x=2或x=-2,当y≠0时,x无解,所以曲线C经过整点(2,0),(-2,0),(0,0),故A错误;对于B,根据曲线C:

(x2+y2)2=4(x2-y2),可知22≥x2+y2,所以曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2,故B正确;对于C,曲线方程中x,y互换可得曲线C关于直线y=x对称的曲线方程为(x2+y2)2=4(y2-x2),故C正确;对于D,根据曲线C:(x2+y2)2=4(x2-y2),可知x2≥y2,可得若直线y=kx与曲线C只有一个交点,则实数k的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞),故D正确.故选BCD.

趋势2　以新定义为背景　

1.定义运算:a⊗b=设函数f(x)=x⊗(x+1),则该函数的图象是(　C　)

解析:由a⊗b的定义可知f(x)=

因为f(0)=0-1=-1,所以函数的图象过点(0,-1),排除A,B;当x<0时,f(x)=x2>0,排除D,只有C符合.故选C.

2.在R上定义运算:a*b=ab+a+b,则满足x*x>0的实数x的取值范围为(　B　)

A.{x|0<x<2}  B.{x|x<-2或x>0}

C.{x|-2<x<2} D.{x|x<-2或x>2}

解析:在R上定义运算可得a*b=ab+a+b,则x*x=x2+x+x=x2+2x,因为x*x>0,即x2+2x>0,解得x<-2或x>0.故选B.

3.对于角α(α≠,k∈Z)的正切的倒数,记作cot α==,称其为角α的余切.在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若满足a+2acos B=c,则cot A-cot B的取值范围是(　C　)

A.(,2) B.(1,2)

C.(1,) D.(1,+∞)

解析:因为a+2acos B=c,根据正弦定理得sin A+2sin Acos B=sin C,由sin C=sin(A+B),得sin A+2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,即sin A=sin(B-A),三角形为锐角三角形,可得A=B-A,即B=2A,

所以可得<B<,

可得sin B∈(,1),所以∈(1,),

则cot A-cot B=-====,所以cot A-cot B∈(1,).故选C.

4.若将一个椭圆绕其中心旋转90°,所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆是“对偶椭圆”的是(　A　)

A.+=1 B.+=1

C.+=1 D.+=1

解析:由“对偶椭圆”的定义得短半轴长b与半焦距c相等的椭圆是“对偶椭圆”,对于A,c2=8-4=4=b2,即b=c,A是“对偶椭圆”;

对于B,c2=5-3=2≠b2,即b≠c,B不是“对偶椭圆”;

对于C,c2=6-2=4≠b2,即b≠c,C不是“对偶椭圆”;

对于D,c2=9-6=3≠b2,即b≠c,D不是“对偶椭圆”.故选A.

5.定义集合A与B之间的运算:A*B={x|x∈A且x∉A∩B},则(A*B)*A=

　　　　.

解析:如图,A*B表示的是阴影部分,

设A*B=C,根据A*B的定义可知,C*A=,所以(A*B)*A=.

答案:

6.已知点A(1,-1).若曲线G上存在两点B,C,使△ABC为正三角形,则称G为Ψ型曲线,给定下列四条曲线:

①y=x+3(-3≤x≤0);②y=x2(x≥0);③y=(0≤x≤);④y=

(x<0).

其中属于Ψ型曲线的是　　　　(写出序号即可).

解析:对于①,线段y=x+3(-3≤x≤0)的端点为E(-3,0),F(0,3),

则|EF|=3,|AE|=|AF|=,cos∠EAF==<,

故∠EAF>,所以曲线y=x+3(-3≤x≤0)上存在两点B,C使得△ABC为正三角形,

故y=x+3(-3≤x≤0)是Ψ型曲线.

对于②,设过点A且与曲线y=x2(x≥0)相切的直线方程为y+1=

k(x-1)(k>0),

联立

可得x2-kx+k+1=0,令Δ=k2-4k-4=0,

因为k>0,解得k=2+2,设切点为M,

则tan∠OAM===<,故0<∠OAM<,

所以曲线y=x2(x≥0)上不存在两点B,C,使得△ABC为正三角形,曲线y=x2(x≥0)不是Ψ型曲线.

对于③,由y=(0≤x≤)可得x2+y2=2,

曲线y=(0≤x≤)表示圆x2+y2=2在第一象限内的圆弧(包括端点),

曲线y=(0≤x≤)的端点为P(0,),Q(,0),

=(-1,+1),=(-1,1),cos∠PAQ===,

因为∠PAQ∈[0,π],则∠PAQ=,故曲线y=(0≤x≤)上不存在两点B,C,使得△ABC为正三角形,曲线y=(0≤x≤)不是Ψ型曲线.

对于④,曲线y=(x<0)为函数y=的图象在第三象限的部分,以A为圆心作圆,

如图所示:

由图可知,存在圆A,当该圆与曲线y=(x<0)相交于B,C两点时,满足∠BAC=60°,

所以曲线y=(x<0)为Ψ型曲线.

答案:①④

趋势3　考查图表类数据分析　

1.基尼系数是国际上用来综合考察居民内部收入分配差异状况的一个重要指标,它的一种简便易行的计算方法是根据中位数对平均数的占比来估计基尼系数(换算表如表所示).假设某地从事某行业的人员仅有4人,年收入分别为5万元、10万元、30万元、55万元,则这4人年收入的基尼系数为(　D　)

中位数占比—基尼系数换算表

A.0.595 B.0.525 C.0.450 D.0.363

解析:4人的平均年收入为25万元,中位数为20万元,则中位数对平均数的占比为=0.8,由表可知对应的基尼系数为0.363.故选D.

2.某人于2016年底贷款购置了一套房子,根据家庭收入情况,此人选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式,且截止2020年底,他没有再购买第二套房子.如图是2017年和2020年此人的家庭收入用于各项支出的比例分配图,根据以上信息,判断下列结论正确的是(　B　)

A.此人一家2020年用于饮食的支出费用跟2017年相同

B.此人一家2020年用于其他方面的支出费用是2017年的3倍

C.此人一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍

D.此人一家2020年用于房贷的支出费用比2017年减少了

解析:由于此人选择的是每月还款数额相同的还贷方式,故可知2020年用于房贷方面的支出费用跟2017年相同,D错误;设一年房贷支出费用为n,则可知2017年此人的家庭收入为=,2020年此人的家庭收入为=,×150%=,此人一家2020年的家庭收入比2017年增加了50%,C错误;2017年、2020年用于饮食的支出费用分别为×

25%=,×25%=,A错误;2017年、2020年用于其他方面的支出费用分别是×6%=,×12%=,B正确.故选B.

3.2022年3月15日国家统计局发布了截止到2022年前两个月的主要经济数据,其中按消费类型分零售额同比增速折线图如图所示,下列说法错误的是(　C　)

A.2022年1—2月,餐饮收入同比增速为8.9%

B.2022年1—2月,商品零售同比增速为6.5%

C.2021年每月的餐饮收入的同比增速为正

D.2021年每月的商品零售的同比增速为正

解析:由题图可知A,B正确;对于C,由题图可知2021年8月,11月,12月同比增速为负,故C错误;由题图可知D正确.故选C.

4.由国家信息中心“一带一路”大数据中心等编写的《“一带一路”贸易合作大数据报告(2017)》于2017年3月发布.中国与“一带一路”沿线国家出口额和进口额的数据如图,下列说法正确的是(　D　)

中国与“一带一路”沿线国家

出口额和进口额(单位:亿美元)

A.中国与沿线国家贸易进口额的极差为1 072.5亿美元

B.中国与沿线国家贸易出口额的中位数不超过5 782亿美元

C.中国与沿线国家贸易顺差额逐年递增(贸易顺差额=贸易出口额-贸易进口额)

D.中国与沿线国家前四年的贸易进口额比贸易出口额更稳定

解析:对于A,中国与沿线国家贸易进口额的极差为4 833.6-3 661.1=

1 172.5,所以A错误;

对于B,由题图中的数据可得出口额的中位数为=

5 782.85,故B错误;

对于C,2011年至2016年的贸易顺差额依次为142.9,428.6,976.8,1 536.8,2 262.4,2 213.7,2016年开始下降,故C错误;

由题图中数据可知中国与沿线国家前四年的贸易出口额比贸易进口额波动性更大,故D正确.故选D.

5.某单位为了解公众网上购物的情况,收集并整理了某年全年每月甲、乙两个网络购物平台点击量(单位:万次)的数据,绘制的折线图如图所示.根据该折线图,下列结论正确的是(　C　)

A.全年甲平台的点击量要大于乙平台的点击量

B.全年各月甲平台点击量的中位数是28

C.全年各月乙平台点击量的极差为38

D.8月份甲、乙两个平台的点击量相差最多

解析:对于A,全年甲平台的点击量为10+14+13+40+20+5+13+46+28+

39+33+40=301(万次),全年乙平台的点击量为11+24+17+44+21+20+

45+16+49+32+41+21=341(万次),A错误;对于B,全年各月甲平台点击量的中位数为=24,B错误;对于C,全年各月乙平台点击量的极差为49-11=38,C正确;对于D,7月份甲、乙两个平台的点击量相差32万次,8月份甲、乙两个平台的点击量相差30万次,D错误.故选C.

6.已知某地区人口总数为125万,具体分布如图,卫健委拟针对18到60岁的人群开展疫苗接种工作,抽样发现,他们中有80%的人符合接种的健康要求.截至3月底,已有30%符合健康要求的人接种了第一剂,据要求,这部分人需要在4月份接种第二剂,剩余70%符合健康要求的人需在4月份接种第一剂,5月份接种第二剂,则该地区4月份需要

　　　　万剂疫苗. 

解析:18到60岁的人数为125×0.7=87.5(万人),其中符合接种的健康要求的人数为87.5×0.8=70(万人),所以需要70万剂疫苗.

答案:70

趋势4　相近学科融合　

1.图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切,A,B,C,D是其中四个圆的圆心,则·=(　B　)

A.14 B.26 C.38 D.42

解析:如图所示,设两个单位向量e1,e2,取{e1,e2}作为基底,

其中|e1|=|e2|=1,且e1,e2的夹角为60°,所以=2e1+4e2,=4e1+2e2,所以·=(2e1+4e2)·(4e1+2e2)=8+8+20e1·e2=8+8+20×1×

1×=26.故选B.

2.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年(公元1584年),他写成《律学新说》,提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是:在1和2之间插入11个正数,使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则,插入的第四个数应为(　C　)

A. B. C. D.

解析:用{an}表示这个数列,依题意a1=1,a13=2,则=q12=2,q=,插入的第四个数即a5=a1q4==.故选C.

3.生物的性状是由遗传基因决定的,遗传基因在体细胞内成对存在,一个来自父本,一个来自母本,且随机组合.豌豆子叶的颜色是由一对基因D(显性),d(隐性)决定的,其中DD,Dd,dD子叶是黄色的,dd子叶是绿色的;豌豆形状是由一对基因R(显性),r(隐性)决定的,其中RR,Rr,rR形状是圆粒,rr形状是皱粒,生物学上已经证明:控制不同性状的基因遗传时互不干扰,若父本和母本的基因型都是DdRr,不考虑基因突变,则子代是绿色且圆粒的概率为(　B　)

A. B. C. D.

解析:子叶颜色的基因型可能为DD,Dd,dD,dd,所以子叶颜色为绿色的概率为,同理子代是圆粒的概率为,由相互独立事件的概率公式知子代是绿色且圆粒的概率为P=×=.故选B.

4.六氟化硫,化学式为SF6,在常温常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体,有良好的绝缘性,在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体),如图所示,硫原子位于正八面体的中心,6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为2a,则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的体积是(不计氟原子的大小)

(　B　)

A.a3 B.a3

C.4a3 D.8a3

解析:如图,连接AC,BD,AC∩BD=O,连接OE.因为AE=CE,BE=DE,所以OE⊥AC,OE⊥BD,又AC,BD是平面ABCD内的两条相交直线,所以OE⊥平面ABCD.因为AB=BC=AE=2a,所以AC==2a.因为四边形ABCD是正方形,所以AO=AC=a,则OE==a,故该正八面体的体积为×(2a)2×a×2=a3.故选B.

5.惰性气体分子为单原子分子,在自由原子情形下,其电子电荷分布是球对称的.负电荷中心与原子核重合,但如果两个原子接近,则彼此能因静电作用产生极化(正负电荷中心不重合),从而导致有相互作用力,这称为范德瓦尔斯相互作用.若有两个相同的惰性气体原子,它们的原子核固定,原子核正电荷的电荷量为q,这两个相距为R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U=kcq2(+--

),其中kc为静电常量,x1,x2分别表示两个原子负电中心相对各自原子核的位移,且|x1|和|x2|都远小于R,当|x|远小于1时,(1+x)-1≈1-x+x2,则U的近似值为(　B　)

A. B.-

C.  D.-

解析:根据题意,

U=kcq2(+--)

=+--)

=(1+--),

因为|x1|和|x2|都远小于R,当|x|远小于1时,(1+x)-1≈1-x+x2,

所以(1+--)

≈[1+1-+()2-(1-+)-(1++)]

≈[-++---]≈-.故选B.

6.制作芯片的原料是晶圆,晶圆是由硅元素加以纯化得到,晶圆越薄,其体积越小且成本越低,但对工艺的要求就越高,即制作晶圆越薄其工艺就越高.某大学为鼓励更多的有志青年投入芯片事业中,成立甲、乙、丙三个科研小组,用三种不同的工艺制作晶圆.甲小组制作的晶圆厚度为sin mm,乙小组制作的晶圆厚度为sin mm,丙小组制作的晶圆厚度为cos mm,则这三个小组中制作工艺水平最高与最低的分别是(　A　)

A.甲小组和丙小组 B.丙小组和乙小组

C.乙小组和丙小组 D.丙小组和甲小组

解析:设a=sin,b=sin,c=cos,所以6a=2sin,6b=3sin,6c=

3cos.

因为<,所以3cos>3cos=.又<,<,所以2sin<2sin=1,3sin<

3sin=,所以c最大,B,D错误.设f(x)=,x∈(0,),f′(x)=

,

令g(x)=xcos x-sin x,x∈(0,),g′(x)=-xsin x<0,所以g(x)在(0,)上单调递减,所以g(x)<g(0)=0,即f′(x)<0,所以f(x)在(0,)上单调递减,所以f()>f(),即>,所以3sin>2sin,所以b>a.故选A.

7.(多选题)声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波,每一个音都是由纯音合成的,纯音的数学函数为y=Asin ωx,其中A影响音的响度和音长,ω影响音的频率.平时我们听到的音乐都是由许多音构成的复合音,假设我们听到的声音函数是f(x)=sin x+sin 2x+

sin 3x+…+sin nx+…,令fn(x)=sin kx.已知一个音的发音的频率为200Hz,发音函数y=Afn(ωx)(ω>0),则下列说法正确的有(　ACD　)

A.ω=400π

B.y=f2(x)的最大值为

C.y=f3(x)在(,)上单调递减

D.y=f3(x)图象过y=f2(x)图象的最值点

解析:A选项,=200,T==⇒ω=400π,A正确;

B选项,y=f2(x)=sin x+sin 2x,y′=cos x+cos 2x=2cos2x+cos x-

1=(2cos x-1)(cos x+1),

由于cos x∈[-1,1],cos x+1≥0,

所以当2cos x-1>0,<cos x≤1,

即2kπ-<x<2kπ+,k∈Z时,f2(x)单调递增;

当2cos x-1<0,-1≤cos x<,

即2kπ+<x<2kπ+,k∈Z时,f2(x)单调递减.

所以f2(x)max=f2(2kπ+)=sin(2kπ+)+sin(4kπ+)=+=≠,所以B错误.

C选项,y=f3(x)=sin x+sin 2x+sin 3x,

y′=cos x+cos 2x+cos 3x=2cos2x+cos x-1+cos(2x+x)=2cos2x+

cos x-1+cos 2xcos x-sin 2xsin x=2cos2x+cos x-1+(2cos2x-1)·

cos x-2sin2xcos x=2cos2x+cos x-1+2cos3x-cos x-2(1-cos2x)cos x=

4cos3x+2cos2x-2cos x-1=(2cos x+1)(2cos2x-1)=(2cos x+1)

(cos x+1)(cos x-1),

所以当cos x∈(-,-)或cos x∈(,1]时,y=f3(x)单调递增;

当cos x∈[-1,-)或cos x∈(-,)时,y=f3(x)单调递减;

x∈(,)⇒cos x∈(-,),此时y=f3(x)单调递减,C选项正确.

D选项,由B选项的分析可知,f2(x)的最大值点为(2kπ+,),

f3(2kπ+)=sin(2kπ+)+sin(4kπ+)+sin(6kπ+π)=sin+

sin=+=.

f3(x)的图象过y=f2(x)图象的最大值点.

f2(-x)=-f2(x),所以f2(x)为奇函数,

f3(-x)=-f3(x),所以f3(x)为奇函数,

所以f3(x)的图象过y=f2(x)图象的最小值点. 所以D选项正确.故选ACD.

8.化学中,将构成粒子(原子、离子或分子)在空间按一定规律呈周期性排列构成的固体物质称为晶体.在结构化学中,可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位,这个基本单位叫做晶胞.已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心,Ca原子均在顶点位置,O原子位于棱的中点).则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为　　　　. 

解析:如图所示,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,

设立方体的棱长为a,则B(a,a,0),F(0,,a),B1(a,a,a),E(a,,a),所以=(-a,-,a),=(0,-,0),因为cos<,>==,所以原子连线BF与B1E所成角的余弦值为.

答案: