新高考数学二轮复习专题六第2讲圆锥曲线的方程与性质学案

这是一份新高考数学二轮复习专题六第2讲圆锥曲线的方程与性质学案，共25页。

考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
核心提炼
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.
2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
例1 (1)(2022·衡水中学模拟)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP且线段AP的长为2＋eq \r(2)，则该椭圆方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1
答案 D
解析 设椭圆的半焦距为c，因为点P在以线段F1A为直径的圆上，所以AP⊥PF1.
又因为F2B∥AP，所以F2B⊥BF1.
又因为|F2B|＝|BF1|，
所以△F1F2B是等腰直角三角形，于是△F1AP也是等腰直角三角形，
因为|AP|＝2＋eq \r(2)，所以|F1A|＝eq \r(2)(2＋eq \r(2))，
得a＋c＝eq \r(2)(2＋eq \r(2))，又b＝c，所以a＝eq \r(2)c，
解得a＝2eq \r(2)，c＝2，得b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是C右支上的一点(不是顶点)，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝________.
答案 4
解析 延长F2M交PF1于点Q，
由于PM是∠F1PF2的角平分线，F2M⊥PM，
所以△QPF2是等腰三角形，
所以|PQ|＝|PF2|，且M是QF2的中点．
根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，
即|QF1|＝2a，
由于O是F1F2的中点，
所以MO是△QF1F2的中位线，
所以|MO|＝eq \f(1,2)|QF1|＝a＝4.
易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误
双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．
跟踪演练1 (1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x，实轴长为4，则该双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1
B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1或eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1
D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1或eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1
答案 D
解析 设双曲线方程为eq \f(x2,2m)－eq \f(y2,m)＝1(m≠0)，
∵2a＝4，∴a2＝4，
当m>0时，2m＝4，m＝2；
当m<0时，－m＝4，m＝－4.
故所求双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1或eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1.
(2)已知A，B是抛物线y2＝8x上两点，当线段AB的中点到y轴的距离为3时，|AB|的最大值为( )
A．5 B．5eq \r(2)
C．10 D．10eq \r(2)
答案 C
解析 设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，线段AB的中点为M.如图，分别过点A，B，M作准线l的垂线，垂足分别为C，D，N，连接AF，BF.因为线段AB的中点到y轴的距离为3，抛物线y2＝8x的准线l：x＝－2，所以|MN|＝5.
因为|AB|≤|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝2|MN|＝10，当且仅当A，B，F三点共线时取等号，所以|AB|max＝10.
考点二 椭圆、双曲线的几何性质
核心提炼
1．求离心率通常有两种方法
(1)求出a，c，代入公式e＝eq \f(c,a).
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
2．与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
考向1 椭圆、双曲线的几何性质
例2 (2022·河南五市联考)设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心的圆恰好与双曲线C的两条渐近线相切，且该圆恰好经过线段OF2的中点，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(3)x B．y＝±eq \f(\r(3),3)x
C．y＝±eq \f(2\r(3),3)x D．y＝±2x
答案 B
解析 由题意知，渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，
焦点F2(c，0)，c2＝a2＋b2，
因为以F2为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，则圆的半径r等于圆心到切线的距离，
即r＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(±\f(b,a)·c)),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(b,a)))2))＝b，
又该圆过线段OF2的中点，故eq \f(c,2)＝r＝b，
所以eq \f(b,a)＝eq \r(\f(b2,a2))＝eq \r(\f(b2,c2－b2))＝eq \f(\r(3),3).
所以渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x.
考向2 离心率问题
例3 (多选)(2022·全国乙卷)双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cs∠F1NF2＝eq \f(3,5)，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \f(3,2)
C.eq \f(\r(13),2) D.eq \f(\r(17),2)
答案 AC
解析 不妨设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，F1(－c，0)，F2(c，0)．
当两个交点M，N在双曲线两支上时，如图1所示，
图1
设过F1的直线与圆D相切于点P，连接OP，
由题意知|OP|＝a，又|OF1|＝c，
所以|F1P|＝b.
过点F2作F2Q⊥F1N，交F1N于点Q.
由中位线的性质，
可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.
因为cs∠F1NF2＝eq \f(3,5)，
所以sin∠F1NF2＝eq \f(4,5)，
故|NF2|＝eq \f(5,2)a，|QN|＝eq \f(3,2)a，
所以|NF1|＝|F1Q|＋|QN|＝2b＋eq \f(3,2)a.
由双曲线的定义可知
|NF1|－|NF2|＝2a，
所以2b＋eq \f(3,2)a－eq \f(5,2)a＝2a，所以2b＝3a.
两边平方得4b2＝9a2，即4(c2－a2)＝9a2，
整理得4c2＝13a2，所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(13,4)，
故eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),2)，即e＝eq \f(\r(13),2).
当两个交点M，N都在双曲线上的左支上时，如图2所示，
图2
同理可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.
因为cs∠F1NF2＝eq \f(3,5)，
所以sin∠F1NF2＝eq \f(4,5)，
可得|NF2|＝eq \f(5,2)a，|NQ|＝eq \f(3,2)a，
所以|NF1|＝|NQ|－|QF1|＝eq \f(3,2)a－2b，
所以|NF2|＝|NF1|＋2a＝eq \f(7,2)a－2b，
又|NF2|＝eq \f(5,2)a，所以eq \f(7,2)a－2b＝eq \f(5,2)a，
即a＝2b，故e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \f(\r(5),2).故选AC.
规律方法 (1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求eq \f(b,a)或eq \f(a,b)的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．
跟踪演练2 (1)(2022·全国甲卷)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为eq \f(1,4)，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
答案 A
解析 设P(m，n)(n≠0)，
则Q(－m，n)，易知A(－a，0)，
所以kAP·kAQ＝eq \f(n,m＋a)·eq \f(n,－m＋a)＝eq \f(n2,a2－m2)＝eq \f(1,4).(*)
因为点P在椭圆C上，
所以eq \f(m2,a2)＋eq \f(n2,b2)＝1，得n2＝eq \f(b2,a2)(a2－m2)，
代入(*)式，得eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(3),2).故选A.
(2)(多选)(2022·衡水中学模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若|AF1|＝|BF2|＝2|AF2|，则( )
A．∠AF1B＝∠F1AB
B．双曲线的离心率e＝eq \f(\r(33),3)
C．双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(6),3)x
D．原点O在以F2为圆心，|AF2|为半径的圆上
答案 AB
解析 设|AF1|＝|BF2|＝2|AF2|＝2m，
则|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝3m，
由双曲线的定义知，
|AF1|－|AF2|＝2m－m＝2a，
即m＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，
即|BF1|－2m＝2a，
∴|BF1|＝3m＝|AB|，∠AF1B＝∠F1AB，
故选项A正确；
由余弦定理知，在△ABF1中，
cs∠AF1B＝eq \f(|AF1|2＋|BF1|2－|AB|2,2|AF1|·|BF1|)
＝eq \f(4m2＋9m2－9m2,2·2m·3m)＝eq \f(1,3)，
在△AF1F2中，
cs∠F1AB＝eq \f(|AF1|2＋|AF2|2－|F1F2|2,2·|AF1|·|AF2|)
＝eq \f(4m2＋m2－4c2,2·2m·m)＝cs∠AF1B＝eq \f(1,3)，
化简整理得12c2＝11m2＝44a2，
∴离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(44,12))＝eq \f(\r(33),3)，故选项B正确；
双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(\f(c2－a2,a2))x＝±eq \r(e2－1)x＝±eq \f(2\r(6),3)x，
故选项C错误；
若原点O在以F2为圆心，|AF2|为半径的圆上，
则c＝m＝2a，与eq \f(c,a)＝eq \f(\r(33),3)相矛盾，故选项D错误．
考点三 抛物线的几何性质
核心提炼
抛物线的焦点弦的几个常见结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p.
例4 (1)(2022·泰安模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，射线FM与y轴交于点A(0,2)，与抛物线C的准线交于点N，eq \(FM,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5),5)eq \(MN,\s\up6(→))，则p的值等于( )
A.eq \f(1,8) B．2 C.eq \f(1,4) D．4
答案 B
解析 设点M到抛物线的准线的距离为|MM′|，抛物线的准线与x轴的交点记为点B.
由抛物线的定义知，
|MM′|＝|FM|.
因为eq \f(|FM|,|MN|)＝eq \f(\r(5),5)，
所以eq \f(|MM′|,|MN|)＝eq \f(\r(5),5)，
即cs∠NMM′＝eq \f(|MM′|,|MN|)＝eq \f(\r(5),5)，
所以cs∠OFA＝cs∠NMM′＝eq \f(\r(5),5)，
而cs∠OFA＝eq \f(|OF|,|AF|)＝eq \f(\f(p,2),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)))2＋22))＝eq \f(\r(5),5)，解得p＝2.
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p，0)．若|AF|＝|AM|，则( )
A．直线AB的斜率为2eq \r(6)
B．|OB|＝|OF|
C．|AB|>4|OF|
D．∠OAM＋∠OBM<180°
答案 ACD
解析 对于A，由题意，得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0)).
因为|AF|＝|AM|，且M(p，0)，
所以xA＝eq \f(xF＋xM,2)＝eq \f(3,4)p，
将其代入抛物线方程y2＝2px，得yA＝eq \f(\r(6),2)p，
所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)p，\f(\r(6),2)p))，
所以直线AB的斜率kAB＝kAF＝eq \f(\f(\r(6),2)p－0,\f(3,4)p－\f(p,2))＝2eq \r(6)，
故A正确；
对于B，由选项A的分析，知直线AB的方程为y＝2eq \r(6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，代入y2＝2px，得12x2－13px＋3p2＝0，解得x＝eq \f(3,4)p或x＝eq \f(1,3)p，所以xB＝eq \f(1,3)p，所以yB＝－eq \f(\r(6),3)p，所以|OB|＝eq \r(x\\al(2,B)＋y\\al(2,B))＝eq \f(\r(7),3)p≠|OF|，故B不正确；
对于C，由抛物线的定义及选项A，B的分析，
得|AB|＝xA＋xB＋p＝eq \f(13,12)p＋p＝eq \f(25,12)p>2p，
即|AB|>4|OF|，故C正确；
对于D，易知|OA|＝eq \f(\r(33),4)p，|AM|＝eq \f(5,4)p，
|OB|＝eq \f(\r(7),3)p，|BM|＝eq \f(\r(10),3)p，
则cs∠OAM＝eq \f(|OA|2＋|AM|2－|OM|2,2|OA|·|AM|)
＝eq \f(\f(33,16)p2＋\f(25,16)p2－p2,2×\f(\r(33),4)p·\f(5,4)p)＝eq \f(21,5\r(33))>0，
cs∠OBM＝eq \f(|OB|2＋|BM|2－|OM|2,2|OB|·|BM|)
＝eq \f(\f(7,9)p2＋\f(10,9)p2－p2,2×\f(\r(7),3)p·\f(\r(10),3)p)＝eq \f(4,\r(70))>0，
所以∠OAM<90°，∠OBM<90°，所以∠OAM＋∠OBM<180°，故D正确．综上所述，选ACD.
规律方法 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算．
跟踪演练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
答案 x＝－eq \f(3,2)
解析 方法一 (解直角三角形法)由题易得|OF|＝eq \f(p,2)，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，
所以tan∠OPF＝tan∠PQF，
所以eq \f(|OF|,|PF|)＝eq \f(|PF|,|FQ|)，即eq \f(\f(p,2),p)＝eq \f(p,6)，
解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－eq \f(3,2).
方法二 (应用射影定理法)由题易得|OF|＝eq \f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq \f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－eq \f(3,2).
(2)(2022·济宁模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \r(2)eq \(BF,\s\up6(→))，则线段BC的中点到准线的距离为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案 B
解析 由抛物线的方程可得焦点F(1,0)，渐近线的方程为x＝－1，
由eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \r(2)eq \(BF,\s\up6(→))，可得eq \f(|AB|,|BF|)＝eq \r(2)，
由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图所示，作BE垂直准线于点E，
准线交x轴于点N，则|BF|＝|BE| ，
故eq \f(|AB|,|BF|)＝eq \f(|AB|,|BE|)＝eq \r(2)，故∠ABE＝eq \f(π,4) ，
而BE∥x轴，故∠AFN＝eq \f(π,4)，
所以直线AB的倾斜角为eq \f(π,4)，
所以直线AB的方程为y＝x－1，
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－1，,y2＝4x，))
整理可得x2－6x＋1＝0，
则x1＋x2＝6，所以BC的中点的横坐标为3，
则线段BC的中点到准线的距离为3－(－1)＝4.
专题强化练
一、单项选择题
1．(2022·中山模拟)抛物线C：y2＝2px上一点(1，y0)到其焦点的距离为3，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝8x
C．y2＝12x D．y2＝16x
答案 B
解析 因抛物线C：y2＝2px上一点(1，y0)到其焦点的距离为3，则p>0，抛物线准线方程为x＝－eq \f(p,2)，由抛物线定义得1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)))＝3，解得p＝4，
所以抛物线C的方程为y2＝8x.
2．已知双曲线eq \f(x2,m)－y2＝1(m>0)的一个焦点为F(3,0)，则其渐近线方程为( )
A．y＝±eq \f(\r(2),4)x B．y＝±2eq \r(2)x
C．y＝±2x D．y＝±eq \f(1,2)x
答案 A
解析 因为双曲线eq \f(x2,m)－y2＝1(m>0)的一个焦点为F(3,0)，
所以由m＋1＝32，得m＝8，
所以双曲线方程为eq \f(x2,8)－y2＝1，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),4)x.
3．(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于( )
A．2 B．2eq \r(2)
C．3 D．3eq \r(2)
答案 B
解析 方法一 由题意可知F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1.设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4)，y0))，
则由抛物线的定义可知|AF|＝eq \f(y\\al(2,0),4)＋1.
因为|BF|＝3－1＝2，
所以由|AF|＝|BF|，可得eq \f(y\\al(2,0),4)＋1＝2，
解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2)．
不妨取A(1,2)，
则|AB|＝eq \r(1－32＋2－02)＝eq \r(8)＝2eq \r(2)，故选B.
方法二 由题意可知F(1,0)，故|BF|＝2，
所以|AF|＝2.
因为抛物线的通径长为2p＝4，
所以AF的长为通径长的一半，
所以AF⊥x轴，
所以|AB|＝eq \r(22＋22)＝eq \r(8)＝2eq \r(2).故选B.
4.(2022·潍坊模拟)如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)上支的一部分．已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为36，F到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(5,4)
C.eq \f(4,3) D.eq \f(4,5)
答案 B
解析 点F(0，c)到渐近线y＝±eq \f(a,b)x，
即ax±by＝0的距离d＝eq \f(|±bc|,\r(a2＋b2))＝b＝12，
又由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋c＝36，,a2＋122＝c2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝16，,c＝20，))所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(20,16)＝eq \f(5,4).
5．(2022·福州质检)已知点F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，且满足AF1⊥AB，eq \f(|AF1|,|AB|)＝eq \f(4,3)，则该椭圆的离心率是( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(\r(5),3) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(6),3)
答案 B
解析 如图所示，设|AF1|＝4x，则|AB|＝3x，
因为AF1⊥AB，
则|BF1|＝eq \r(|AB|2＋|AF1|2)＝5x，
由椭圆的定义可得
|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝4a＝12x，则x＝eq \f(a,3)，
所以|AF1|＝4x＝eq \f(4a,3)，
则|AF2|＝2a－eq \f(4a,3)＝eq \f(2a,3)，
由勾股定理可得|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4a,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,3)))2＝4c2，则c＝eq \f(\r(5),3)a，
因此该椭圆的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),3).
6.如图，圆O与离心率为eq \f(\r(3),2)的椭圆T：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)相切于点M(0,1)，过点M引两条互相垂直的直线l1，l2，两直线与两曲线分别交于点A，C与点B，D(均不重合)．若P为椭圆上任意一点，记点P到两直线的距离分别为d1，d2，则deq \\al(2,1)＋deq \\al(2,2)的最大值是( )
A．4 B．5 C.eq \f(16,3) D.eq \f(25,3)
答案 C
解析 易知椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，
圆O的方程为x2＋y2＝1，
设P(x0，y0)，
因为l1⊥l2，
则deq \\al(2,1)＋deq \\al(2,2)＝|PM|2＝xeq \\al(2,0)＋(y0－1)2，
因为eq \f(x\\al(2,0),4)＋yeq \\al(2,0)＝1，
所以deq \\al(2,1)＋deq \\al(2,2)＝4－4yeq \\al(2,0)＋(y0－1)2
＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0＋\f(1,3)))2＋eq \f(16,3)，
因为－1≤y0≤1，
所以当y0＝－eq \f(1,3)，即点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(4\r(2),3)，－\f(1,3)))时，deq \\al(2,1)＋deq \\al(2,2)取得最大值eq \f(16,3).
二、多项选择题
7．(2022·临沂模拟)2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则( )
A．椭圆的长轴长为4eq \r(2)
B．|AB|的取值范围是[4,2＋2eq \r(2)]
C．△ABF面积的最小值是4
D．△AFG的周长为4＋4eq \r(2)
答案 ABD
解析 由题意知，椭圆中的几何量b＝c＝2，
得a＝2eq \r(2)，
则2a＝4eq \r(2)，A正确；
|AB|＝|OB|＋|OA|＝2＋|OA|，
由椭圆性质可知2≤|OA|≤2eq \r(2)，
所以4≤|AB|≤2＋2eq \r(2)，B正确；
记∠AOF＝θ，
则S△ABF＝S△AOF＋S△OBF
＝eq \f(1,2)|OA|·|OF|sin θ＋eq \f(1,2)|OB|·|OF|sin(π－θ)
＝|OA|sin θ＋2sin θ
＝(|OA|＋2)sin θ，
取θ＝eq \f(π,6)，
则S△ABF＝1＋eq \f(1,2)|OA|≤1＋eq \f(1,2)×2eq \r(2)<4，C错误；
由椭圆定义知|AF|＋|AG|＝2a＝4eq \r(2)，
所以△AFG的周长L＝|FG|＋4eq \r(2)＝4＋4eq \r(2)，
D正确．
8．(2022·济宁模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是双曲线C上异于顶点的一点，则( )
A．||PA1|－|PA2||＝2a
B．若焦点F2关于双曲线C的渐近线的对称点在C上，则C的离心率为eq \r(5)
C．若双曲线C为等轴双曲线，则直线PA1的斜率与直线PA2的斜率之积为1
D．若双曲线C为等轴双曲线，且∠A1PA2＝3∠PA1A2，则∠PA1A2＝eq \f(π,10)
答案 BCD
解析 对于A，在△PA1A2中，根据三角形两边之差小于第三边，
可知||PA1|－|PA2||<|A1A2|＝2a，故A错误；
对于B，焦点F2(c，0)，
渐近线不妨取y＝eq \f(b,a)x，即bx－ay＝0，
设F2关于双曲线C的渐近线的对称点为(m，n)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n,m－c)×\f(b,a)＝－1，,b×\f(m＋c,2)－a×\f(n,2)＝0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(a2－b2,c)，,n＝\f(2ab,c)，))
即F2关于双曲线C的渐近线的对称点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2－b2,c)，\f(2ab,c)))，
由题意知该点在双曲线上，
故eq \f(a2－b22,a2c2)－eq \f(2ab2,b2c2)＝1，将c2＝a2＋b2 代入，
化简整理得b4－3a2b2－4a4＝0，即b2＝4a2，
∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)＝5，
得e＝eq \r(5)，故B正确；
对于C，双曲线C为等轴双曲线，
即C：x2－y2＝a2(a>0)，
设P(x0，y0)(y0≠0)，
则xeq \\al(2,0)－yeq \\al(2,0)＝a2，
则xeq \\al(2,0)－a2＝yeq \\al(2,0)，
故＝eq \f(y0,x0＋a)·eq \f(y0,x0－a)
＝eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－a2)＝1，故C正确；
对于D，双曲线C为等轴双曲线，
即C：x2－y2＝a2(a>0)，
且∠A1PA2＝3∠PA1A2，
设∠PA1A2＝θ，∠A1PA2＝3θ，
则∠PA2x＝4θ，
根据C的结论＝1，
即有tan θ·tan 4θ＝1，
∴eq \f(sin θ,cs θ)·eq \f(sin 4θ,cs 4θ)＝1，
∴cs 5θ＝0，
∵θ＋3θ∈(0，π)，
∴θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，
∴5θ＝eq \f(π,2)，
∴∠PA1A2＝θ＝eq \f(π,10).
三、填空题
9．写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：______________.①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为eq \f(1,3).
答案 eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1(答案不唯一)
解析 只要椭圆方程形如eq \f(x2,9m)＋eq \f(y2,8m)＝1(m>0)或eq \f(y2,9m)＋eq \f(x2,8m)＝1(m>0)即可．
10．(2022·淄博模拟)已知P1，P2，…，P8是抛物线x2＝4y上不同的点，且F(0,1)．若eq \(FP1,\s\up6(--→))＋eq \(FP2,\s\up6(--→))＋…＋eq \(FP8,\s\up6(--→))＝0，则|eq \(FP1,\s\up6(--→))|＋|eq \(FP2,\s\up6(--→))|＋…＋|eq \(FP8,\s\up6(--→))|＝________.
答案 16
解析 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
P3(x3，y3)，…，P8(x8，y8),
P1，P2，P3，…，P8是抛物线x2＝4y上不同的点，点F(0,1)，准线为y＝－1，
则eq \(FPi,\s\up6(--→))＝(xi，yi－1)(i＝1,2，…，8)，
所以eq \(FP1,\s\up6(--→))＋eq \(FP2,\s\up6(--→))＋…＋eq \(FP8,\s\up6(--→))
＝(x1＋x2＋…＋x8，(y1－1)＋(y2－1)＋…＋(y8－1))＝0，
所以(y1－1)＋(y2－1)＋…＋(y8－1)＝0，
即y1＋y2＋y3＋…＋y8＝8，
∴|eq \(FP,\s\up6(--→))1|＋|eq \(FP2,\s\up6(--→))|＋…＋|eq \(FP8,\s\up6(--→))|
＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋…＋(y8＋1)
＝y1＋y2＋…＋y8＋8＝16.
11．(2022·济南模拟)已知椭圆C1：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的焦点分别为F1，F2，且F2是抛物线C2：y2＝2px(p>0)的焦点，若P是C1与C2的交点，且|PF1|＝7，则cs∠PF1F2的值为________．
答案 eq \f(5,7)
解析 依题意，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝12，而|PF1|＝7，则|PF2|＝5，
因为点F2是抛物线C2：y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线l过点F1，如图，
过点P作PQ⊥l于点Q，
由抛物线定义知|PQ|＝|PF2|＝5，
而F1F2∥PQ，
则∠PF1F2＝∠F1PQ，
所以cs∠PF1F2＝cs∠F1PQ＝eq \f(|PQ|,|PF1|)＝eq \f(5,7).
12．(2022·福州质检)已知O为坐标原点，F是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点，A为C的右顶点，过F作C的渐近线的垂线，垂足为M，且与y轴交于点P.若直线AM经过OP的中点，则C的离心率是________．
答案 2
解析 由题意可知，F(－c，0)，A(a，0)，
渐近线不妨设为y＝－eq \f(b,a)x，
则kFM＝eq \f(a,b)，
直线FM的方程为y＝eq \f(a,b)(x＋c)，
令x＝0，可得y＝eq \f(ac,b)，
则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(ac,b)))，
则OP的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(ac,2b)))，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(b,a)x，,y＝\f(a,b)x＋c，))
解得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a2,c)，\f(ab,c)))，
因为直线AM经过OP的中点，
所以eq \f(\f(ac,2b)－0,0－a)＝eq \f(\f(ab,c)－0,－\f(a2,c)－a)，
则2b2＝ac＋c2,2(c2－a2)＝ac＋c2，
即c2－ac－2a2＝0，
则e2－e－2＝0，
解得e＝－1 (舍)或e＝2.
四、解答题
13．(2022·衡水中学模拟)双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．
(1)若l的倾斜角为eq \f(π,2)，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
(2)设b＝eq \r(3)，若l的斜率存在，且(eq \(F1A,\s\up6(--→))＋eq \(F1B,\s\up6(--→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，求l的斜率．
解 (1)设A(xA，yA)．
由题意知，F2(c，0)，c＝eq \r(1＋b2)，
yeq \\al(2,A)＝b2(c2－1)＝b4，
因为△F1AB是等边三角形，
所以2c＝eq \r(3)|yA|，
即4(1＋b2)＝3b4，
解得b2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b2＝－\f(2,3)舍去)).
故双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(2)x.
(2)由已知，F1(－2,0)，F2(2,0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l：y＝k(x－2)．显然k≠0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－\f(y2,3)＝1，,y＝kx－2，))
得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.
因为l与双曲线交于两点，
所以k2－3≠0，且Δ＝36(1＋k2)>0.
设AB的中点为M(xM，yM)．
由(eq \(F1A,\s\up6(--→))＋eq \(F1B,\s\up6(--→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，即eq \(F1M,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
知F1M⊥AB，故
而xM＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(2k2,k2－3)，
yM＝k(xM－2)＝eq \f(6k,k2－3)，＝eq \f(3k,2k2－3)，
所以eq \f(3k,2k2－3)·k＝－1，得k2＝eq \f(3,5)，
故l的斜率为±eq \f(\r(15),5).