山东省淄博市第五中学（五四制）2022-2023学年八年级上学期期末（线上）考试数学试题(含答案)

这是一份山东省淄博市第五中学（五四制）2022-2023学年八年级上学期期末（线上）考试数学试题(含答案)，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省淄博五中八年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一、单选题（每题4分，共40分）
1．已知，多项式x2﹣mx+n可因式分解为（x+3）（x﹣4），则m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7
2．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝5，则BE的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
3．在共有11人参加的演讲比赛中，参赛选手的成绩各不相同，因此选手要想知道自己是否进入前六名，只需了解自己的成绩以及全部成绩的（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
4．已知关于x的分式方程﹣3＝的解为正数，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣6 B．k＞﹣2 C．k＞﹣6且k≠﹣2 D．k≥﹣6且k≠﹣2
5．如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为（　　）

A．30° B．36° C．45° D．72°
6．式子n2﹣1与n2+n的公因式是（　　）
A．n+1 B．n2 C．n D．n﹣1
7．如图，△ABC绕点A，顺时针旋转48°，得到△ADE，点E落在BC边上，连接BD，当BD⊥BC时，∠ABC的度数为（　　）

A．24° B．42° C．48° D．66°
8．如果将一组数据中的每个数都减去2022，那么所得的一组新数据（　　）
A．平均数不变 B．中位数不变 C．众数不变 D．方差不变
9．已知＝7，则的值是（　　）
A． B．2 C． D．
10．如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则的值是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共20分）
11．已知数据x1，x2，…xn的方差是4，则3x1﹣2，3x2﹣2，…，3xn﹣2的标准差为 　 　．
12．已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣7）＝8，那么x2+y2＝　 　．
13．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，若AB＝2，BC＝3，∠ADC＝60°，则图中阴影部分的面积是 　 　．

14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE（点D与点B对应），连接BD．当点E落在直线AB上时，线段BD的长为 　 　．

15．当x＝　 　时，分式的值为零．
三、解答题
16．（1）因式分解：x2（x﹣3）+y2（3﹣x）；
（2）已知x+y＝3，xy＝2，求2x3y+4x2y2+2xy3的值．
17．已知关于x的分式方程的解满足﹣4＜x＜﹣1，且k为整数，求符合条件的所有k值的和．
18．某校招聘一名数学老师，对应聘者分别进行了教学能力、教研能力和组织能力三项测试，并按教学能力占70%，教研能力占20%，组织能力占10%，计算加权平均数，作为最后评定的总成绩．王伟和李婷都应聘了该岗位，经计算，王伟的最后评定总成绩为87.8分，已知李婷的教学能力、教研能力和组织能力三项成绩依次为88分、84分、86分．若该校要在李婷和王伟两人中录用一人，谁将被录用？
19．甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校20千米的郊野公园．已知甲同学的速度是乙同学速度的2倍，甲同学在路上因事耽搁了30分钟，结果两人同时到达公园．问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？
20．如图，将△ABC绕点A顺时旋转得到△ADE，点B的对应点D在BC上，且AD＝CD．若∠E＝26°，求∠CDE的度数．

21．已知：如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝AC，E、F、G分别是BC、AD、CD的中点，EF、CA的延长线相交于点H．
求证：（1）∠CGE＝∠ACD+∠CAD；
（2）AH＝AF．

22．（1）如图①，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P．
①求证：BD⊥CE．
②连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（2）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．


23．如图1，△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，DE∥BC交AC于点E．

（1）求证：BD＝CE．
（2）如图2，过C作CF∥AB交DE延长线于F，G为AE上一点，AG＝BD，连接DG、FG．求证：DG＝FG．
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠A＝45°，∠DGC＝∠B，EG＝2，求AB的长．



参考答案
一、单选题（每题4分，共40分）
1．已知，多项式x2﹣mx+n可因式分解为（x+3）（x﹣4），则m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7
【分析】分解因式结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可．
解：根据题意得：x2﹣mx+n＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，
则m＝1，
故选：B．
【点评】此题考查了因式分解和多项式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝5，则BE的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由旋转的性质可得AB＝AE，∠BAE＝60°，可证△ABE是等边三角形，可得AB＝BE＝5，即可求解．
解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴AB＝AE，∠BAE＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
3．在共有11人参加的演讲比赛中，参赛选手的成绩各不相同，因此选手要想知道自己是否进入前六名，只需了解自己的成绩以及全部成绩的（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【分析】此题是中位数在生活中的运用，知道自己的成绩以及全部成绩的中位数就可知道自己是否进入前6名．
解：11名参赛选手的成绩各不相同，第6名的成绩就是这组数据的中位数，
所以选手知道自己的成绩和中位数就可知道自己是否进入前6名．
故选：C．
【点评】考查了中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
4．已知关于x的分式方程﹣3＝的解为正数，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣6 B．k＞﹣2 C．k＞﹣6且k≠﹣2 D．k≥﹣6且k≠﹣2
【分析】表示出分式方程的解，根据解为正数确定出k的范围即可．
解：分式方程﹣3＝，
去分母得：x﹣3（x﹣2）＝﹣k，
去括号得：x﹣3x+6＝﹣k，
解得：x＝，
由分式方程的解为正数，得＞0，且≠2，
解得：k＞﹣6且k≠﹣2．
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
5．如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为（　　）

A．30° B．36° C．45° D．72°
【分析】根据题意可得五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，利用正多边形内角和可得∠EAB＝∠ACD＝108°，再由邻补角得出∠ACB＝∠EAC＝72°，结合图形代入求解即可．
解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，

∴∠EAB＝∠ACD＝，
∴∠ACB＝∠EAC＝180°﹣108°＝72°，
∴∠BAC＝∠EAB﹣∠EAC＝108°﹣72°＝36°，
故选：B．
【点评】主要考查正多边形内角和及等腰三角形的性质，邻补角等，理解题意，熟练掌握运用正多边形内角和的计算公式是解题关键．
6．式子n2﹣1与n2+n的公因式是（　　）
A．n+1 B．n2 C．n D．n﹣1
【分析】把式子n2﹣1与n2+n分别进行因式分解后，根据公因式的确定方法，即可得到答案．
解：∵n2﹣1＝（n+1）（n﹣1），n2+n＝n（n+1），
∴n2﹣1与n2+n的公因式是n+1．
故选：A．
【点评】本题考查了公因式和因式分解，掌握因式分解是确定公因式的关键．
7．如图，△ABC绕点A，顺时针旋转48°，得到△ADE，点E落在BC边上，连接BD，当BD⊥BC时，∠ABC的度数为（　　）

A．24° B．42° C．48° D．66°
【分析】连接BD，由旋转的性质可得AB＝AD，∠DAB＝48°，然后根据三角形的内角和定理及余角性质可得答案．
解：连接BD，

∵△ABC绕点A，顺时针旋转48°，得到△ADE，
∴AB＝AD，∠DAB＝48°，
∴，
∵BD⊥BC，
∴∠DBC＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣66°＝24°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应边相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，等腰三角形“等边对等角”．
8．如果将一组数据中的每个数都减去2022，那么所得的一组新数据（　　）
A．平均数不变 B．中位数不变 C．众数不变 D．方差不变
【分析】分别根据平均数，中位数，众数以及方差的定义解答即可．
解：如果将一组数据中的每个数都减去2022，那么所得的一组新数据的平均数比原来少2022，故选项A不合题意；
中位数比原来少2022，故选项B不合题意；
众数比原来少2022，故选项C不合题意；
方差不变，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了平均数，中位数，众数以及方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
9．已知＝7，则的值是（　　）
A． B．2 C． D．
【分析】根据分式的倒数求得x﹣＝，于是得到结论．
解：∵＝7，
∴＝，
∴x﹣4﹣＝，
∴x﹣＝，
∵的倒数为x﹣1﹣＝﹣1＝，
∴＝，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的值，正确的求分式的倒数是解题的关键．
10．如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】由平行四边形的性质可求∠ADB＝30°，由直角三角形的性质可求DE＝BH﹣BH，AE＝3BH﹣BH，即可求解．
解：如图，过点B作BH⊥AD于H，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠DAB＝180°，
∵∠ADC＝105°，
∴∠DAB＝75°，
∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝75°，
∴∠BDA＝30°，
∴BD＝2BH＝AD，DH＝BH，
∴AH＝2BH﹣BH，
∵∠EBA＝60°，
∴∠BEA＝180°﹣∠DAB﹣∠ABE＝45°，
∴∠EBH＝45°＝∠BEH，
∴BH＝EH，
∴DE＝BH﹣BH，AE＝3BH﹣BH，
∴＝，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共20分）
11．已知数据x1，x2，…xn的方差是4，则3x1﹣2，3x2﹣2，…，3xn﹣2的标准差为 　6　．
【分析】根据方差公式求出这组数据的方差，再进行开方，即可得出答案．
解：∵数据x1，x2，…xn的方差是4，
∴3x1﹣2，3x2﹣2，…，3xn﹣2的方差是：32×4＝36，
∴3x1﹣2，3x2﹣2，…，3xn﹣2的标准差为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是标准差的计算，计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数．
12．已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣7）＝8，那么x2+y2＝　8　．
【分析】设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为t（t﹣7）＝8，然后利用因式分解法解方程求得t的值即可．
解：设t＝x2+y2（t≥0），则：
t（t﹣7）＝8，
整理，得（t﹣8）（t+1）＝0．
所以t＝8或t＝﹣1（舍去）．
所以x2+y2＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
13．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，若AB＝2，BC＝3，∠ADC＝60°，则图中阴影部分的面积是 　　．

【分析】由平行四边形的性质可知阴影部分面积为平行四边形面积的一半，进而可求出结果．
解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
∴S△AFO＝S△CEO，
∴阴影部分面积等于△BCD的面积，即为▱ABCD面积的一半，
过点C作CP⊥AD于点P，

∵CD＝AB＝2，∠ADC＝60°，
∴DP＝1，CP＝，
∴S平行四边形ABCD＝BC•CP＝，
∴阴影部分面积为，
故答案为：．
【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质是解题关键．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE（点D与点B对应），连接BD．当点E落在直线AB上时，线段BD的长为 　或3　．

【分析】先根据勾股定理求得AB＝5，再分两种情况求BD的长，一是点E在边AB上，则∠DEB＝180°﹣∠＝90°，BE＝AB﹣AE＝1，可求得BD＝；二是点E在边BA的延长线上，则BE＝AB+AE＝9，可求得BD＝3．
解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
由旋转得∠AED＝∠C＝90°，DE＝BC＝3，AE＝AC＝4，
如图1，点E在边AB上，则∠DEB＝180°﹣∠＝90°，
∵BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝1，
∴BD＝＝＝；
如图2，点E在边BA的延长线上，
∵∠DEB＝90°，BE＝AB+AE＝5+4＝9，
∴BD＝＝＝3，
综上所述，线段BD的长为或3，
故答案为：或3．

【点评】此题重点考查旋转的性质、勾股定理的应用、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，求出点E在边AB上及点E在边BA的延长线上时BE的长是解题的关键．
15．当x＝　2　时，分式的值为零．
【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
解：由分子x2﹣4＝0⇒x＝±2；
由分母x+2≠0⇒x≠﹣2；
所以x＝2．
故答案为：2．
【点评】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．
三、解答题
16．（1）因式分解：x2（x﹣3）+y2（3﹣x）；
（2）已知x+y＝3，xy＝2，求2x3y+4x2y2+2xy3的值．
【分析】（1）先提公因式，再用公式法分解；
（2）先把代数式分解因式，再整体代入求解．
解：（1）x2（x﹣3）+y2（3﹣x）
＝（x﹣3）（x2﹣y2）
＝（x﹣3）（x+y）（x﹣y）；
（2）∵x+y＝3，xy＝2，
∴2x3y+4x2y2+2xy3
＝2xy（x2+2xy+y2）
＝2xy（x+y）2
＝2×2×9
＝36．
【点评】本题考查了因式分解的应用，整体代入法是解题的关键．
17．已知关于x的分式方程的解满足﹣4＜x＜﹣1，且k为整数，求符合条件的所有k值的和．
【分析】先解出分式方程，得到，代入﹣4＜x＜﹣1求出k的取值，即可得到k的值，故可求解．
解：，
解得：，
∵﹣4＜x＜﹣1，
∴，
解得：﹣7＜k＜14，
∵k为整数，∴k为﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，
又∵分式方程中x≠2且x≠﹣3，
∴k≠35且k≠0，
∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，
∴符合条件的k值的和为：﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝70．
【点评】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法．
18．某校招聘一名数学老师，对应聘者分别进行了教学能力、教研能力和组织能力三项测试，并按教学能力占70%，教研能力占20%，组织能力占10%，计算加权平均数，作为最后评定的总成绩．王伟和李婷都应聘了该岗位，经计算，王伟的最后评定总成绩为87.8分，已知李婷的教学能力、教研能力和组织能力三项成绩依次为88分、84分、86分．若该校要在李婷和王伟两人中录用一人，谁将被录用？
【分析】根据加权平均数的定义求出李婷的最后评定总成绩，再与王伟的成绩比较即可．
解：李婷的最后评定总成绩为：
88×70%+84×20%+86×10%＝87（分），
∵王伟的最后评定总成绩为87.8分，87＜87.8，
∴王伟将被录用．
【点评】本题考查加权平均数的定义，解题的关键是记住加权平均数的定义，属于中考常考题型．
19．甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校20千米的郊野公园．已知甲同学的速度是乙同学速度的2倍，甲同学在路上因事耽搁了30分钟，结果两人同时到达公园．问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？
【分析】设乙同学平均每小时骑行x千米，则甲同学平均每小时骑行2x千米，利用时间＝路程÷速度，结合甲同学比乙同学少用30分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙同学的骑行速度，再将其代入2x中，可求出甲同学的骑行速度．
解：设乙同学平均每小时骑行x千米，则甲同学平均每小时骑行2x千米，
根据题意得：﹣＝，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×20＝40．
答：甲同学平均每小时骑行40千米，乙同学平均每小时骑行20千米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20．如图，将△ABC绕点A顺时旋转得到△ADE，点B的对应点D在BC上，且AD＝CD．若∠E＝26°，求∠CDE的度数．

【分析】根据旋转的性质可得∠E＝∠C，∠ADE＝∠B，AD＝AB，进而推出∠ADE＝∠ADB，再根据AD＝CD得∠DAC＝∠C，由三角形外角性质得∠ADB＝∠DAC+∠C，最后根据∠CDE＝180°﹣（∠ADE+∠ADB）即可求解．
解：将△ABC绕点A顺时旋转得到△ADE，
∴∠E＝∠C，∠ADE＝∠B，AD＝AB，
由AD＝AB可得∠B＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠ADB，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C，
∵∠E＝26°，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝52°，
∴∠ADE＝52°，
∴∠CDE＝180°﹣（∠ADE+∠ADB）＝180°﹣（52°+52°）＝76°．
【点评】本题主要考查旋转的性质、三角形外角性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
21．已知：如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝AC，E、F、G分别是BC、AD、CD的中点，EF、CA的延长线相交于点H．
求证：（1）∠CGE＝∠ACD+∠CAD；
（2）AH＝AF．

【分析】（1）由题目的已知条件可得EG是△BDC的中位线，所以EG∥BD，由此可得∠CGE＝∠BDC，再根据三角形外角和定理即可证明∠CGE＝∠ACD+∠CAD；
（2）连接FG，易证△FGE是等腰三角形，所以∠GFE＝∠GEF，再根据平行线的性质以及对顶角相等可证明∠H＝∠AFE，进而可得：AH＝AF，
【解答】证明（1）∵E，G分别是BC，CD的中点，
∴EG是△BDC的中位线，
∴EG∥BD，
∴∠CGE＝∠BDC，
∵∠BDC＝∠ACD+∠CAD，
∴∠CGE＝∠ACD+∠CAD；
（2）连接FG，
∵E，F，G分别是BC，AD，CD的中点，
∴EG＝BD，FG＝AC，
∵BD＝AC，
∴GE＝GF，
∴∠GFE＝∠GEF，
∵FG∥HC，
∴∠GFE＝∠H，
∵∠GEF＝∠BFE＝∠AFH，
∴∠H＝∠AFE，
∴AH＝AF．

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
22．（1）如图①，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P．
①求证：BD⊥CE．
②连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（2）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．


【分析】（1）①由△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，证明△ABD≌△ACE（ SAS），可得∠ABD＝∠ACE，再利用三角形的内角和定理证明∠BPC＝180°﹣90°＝90°即可；
②在BD上截取BF＝CP，连接AF，证明△BAF≌△CAP（ SAS），可得△AFP是等腰直角三角形，，从而可得结论；
（2）在CP上截取CN＝BP，连接AN，证明△BAP≌△CAN（ SAS），可得△APN是等腰直角三角形，，从而可得结论．
【解答】（1）①证明：∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，
即∠DAB＝∠EAC，
∴△ABD≌△ACE（ SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB＝90°＝∠ABD+∠DAC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB+∠CBD＝∠CBD+∠BCP，
∴∠BPC＝180°﹣90°＝90°，
∴BD⊥CE；

②解：结论：PB＝PC+PA．
理由：在BD上截取BF＝CP，连接AF，

∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，BF＝CP，
∴△BAF≌△CAP（ SAS），
∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，
∴∠BAC＝∠PAF＝90°，
∴△AFP是等腰直角三角形，
∴，
∴；

（2）解：结论：CP＝BP+PA．
理由：在CP上截取CN＝BP，连接AN，

∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，BP＝CN，
∴△BAP≌△CAN（ SAS），
∴AN＝AP，∠BAP＝∠CAN，
∴∠BAC＝∠PAN＝90°，
∴△APN是等腰直角三角形，
∴，
∴．


【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理的应用，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
23．如图1，△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，DE∥BC交AC于点E．

（1）求证：BD＝CE．
（2）如图2，过C作CF∥AB交DE延长线于F，G为AE上一点，AG＝BD，连接DG、FG．求证：DG＝FG．
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠A＝45°，∠DGC＝∠B，EG＝2，求AB的长．

【分析】（1）根据DE∥BC，可得∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，再根据等腰三角形的性质可得的∠B＝∠C，从而得到∠ADE＝∠AED，进而得到AD＝AE，即可；
（2）先证明四边形BCFD是平行四边形，可得BD＝CF，从而得到AG＝CE＝CF，进而得到AD＝CG，可证得△ADG≌△CGF，即可；
（3）过点D作DP⊥CG于点P，过点F作FQ⊥CG于点Q，则∠FGQ+∠GFQ＝90°，先证明∠DGC＝∠DQG，∠FDG＝45°，可得DG＝DE，从而得到PG＝EG＝1，再证明△DGP≌△GFQ，可得FQ＝PG＝1，然后根据△CQF是等腰直角三角形，可得到CF的长，即可．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴BD＝CE；
（2）证明：由（1）得：AD＝AE，
∵CF∥AB，DE∥BC，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴BD＝CF，
∵BD＝CE，AG＝BD，
∴AG＝CE＝CF，
∴AE＝CG，
∴AD＝CG，
∵CF∥AB，
∴∠A＝∠FCG，
∴△ADG≌△CGF，
∴DG＝FG；
（3）解：如图，过点D作DP⊥CG于点P，过点F作FQ⊥CG于点Q，则∠FGQ+∠GFQ＝90°，

∵△ADG≌△CGF，
∴∠ADG＝∠FGC，
∵CF∥AB，
∴∠A＝∠FCG＝45°，
∵CE＝CF，
∴∠CEF＝∠CFE＝∠AED＝67.5°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝67.5°，
∵∠DGC＝∠B，
∴∠DGC＝67.5°，
∴∠DGC＝∠DQG，∠FDG＝45°，
∴DG＝DE，
∵DP⊥CG，
∴PG＝EG＝1，
∵DG＝FG，
∴∠DFG＝45°＝∠EDG，
∴∠DGF＝90°，
∴∠DGP+∠FGQ＝90°，
∵∠FGQ+∠GFQ＝90°，
∴∠DGP＝∠GFQ，
∵∠DPG＝∠GQF＝90°，
∴△DGP≌△GFQ，
∴FQ＝PG＝1，
∵∠ECF＝45°，
∴△CQF是等腰直角三角形，
∴FQ＝CQ＝1，
∴CF＝，
∴AG＝CE＝CF＝，
∴AB＝AC＝AG+GE+CE＝2+2．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．