辽宁省沈阳市第四十三中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

这是一份辽宁省沈阳市第四十三中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

辽宁省沈阳市第四十三中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图所示几何体的左视图是(    )

A． B． C． D．
2．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么下列比例式能成立的是(    )
A． B． C． D．
4．在中，，，，则的值为(   )
A． B． C． D．
5．如图，和是直立在地面上的两根立柱，米，某一时刻在阳光下的投影米，在阳光下的投影长为6米，则的长为（　　）米．

A． B． C． D．14
6．下列说法中，不正确的是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
7．线段是成比例线段，已知，则（    ）
A． B． C． D．
8．如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点B，点P在y轴上，的面积为1，则k的值为（　　）

A．1 B．2 C． D．
9．关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2
10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x＝1，有下列4个结论：①abc＞0；②a＋c＞b；③4a＋2b＋c＞0；④a＋b≥am2＋bm(m是任意实数)．其中正确结论的个数是（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图，直线l1∥l2∥l3且与直线a、b相交于点A、B、C、D、E、F，若AB＝1，BC＝2，DE＝1.5，则DF＝_____．

12．在一个不透明的袋子中有50个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为36%，估计袋中白球有_______个．
13．在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为___________________．
14．在中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A在第四象限的对应点的坐标是 _____．
15．如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为______．

16．如图，边长为5的正方形中，点E、G分别在射线上，F在边上，与交于点M，，则的最小值为 _____．


三、解答题
17．解方程：3x（x-2）=4（2-x）
18．计算：．
19．在一个不透明的布袋里有四个小球，球表面分别标有2、3、4、6四个数字，它们的材质、形状、大小完全相同．从中随机摸出一个小球记下数字作为x，再从剩下的三个球中随机摸出一个球记下数字作为y，记点A的坐标为．
(1)从中随机摸出一个小球，标号为6的概率是　 　．
(2)运用画树状图或列表的方法，求出点A在反比例函数图象上的概率．
20．如图,菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O,分别过点C．D作CE∥BD,DE∥AC，CE和DE交于点E.
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB=60°,AD=2时，求EA的长．

21．如图，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于，两点．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)点P在线段AB上，且，直接写出点P的坐标；
(3)设直线AB交y轴于点C，点是x轴正半轴上的一个动点，过点N作轴交反比例函数的图像于点M，连接CN，OM．若S四边形COMN＞3，直接写出t的取值范围．
22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
23．数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知．经测量，得到其它数据如图所示．其中，请你根据以上数据计算的长．（结果保留根号）

24．在中，，，以C为顶点作等腰直角三角形．连接，射线交线段于点D．

(1)如图1，，，点A，M，N在一条直线上，直接写出线段 和线段的数量关系和位置关系；
(2)如图2，点A，M，N在一条直线上时，， ．
①求证：；
②若，，求的长；
③若，将绕点C逆时针旋转，在旋转过程中射线交直线于点H，当是直角三角形时，直接写出的长．
25．如图，已知直线与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M．设点P的横坐标为t．
①时，求点N的坐标．
②点C是直线上方抛物线上一点，当时，直接写出t的值．
③若点Q在平面内，当以Q，A，M，N为顶点的四边形是菱形时，直接写出点Q的纵坐标．

参考答案
1．B
【分析】根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
【详解】解：从左边看是：

故选B．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，把握好看的方向以及什么时候用虚线，什么时候用实线是解决问题的关键．
2．B
【分析】方程移项后，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程移项得：，
配方得：，
整理得：．
故选：B．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．A
【分析】由于点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，故有AP2=BP×AB，那么.
【详解】∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，
∴AP2=BP×AB，
即，故A正确，B、C错误；
，故D错误；
故答案为A.
【点睛】本题考查了黄金分割的知识，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．
4．C
【分析】根据正弦的定义解得即可．
【详解】解：．
故选：C
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用，熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边比值，余弦等于邻边比斜边的比值，正切等于对边比邻边的比值是解题的关键．
5．A
【分析】根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，

在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为米，
∵，米，米，米，
∴，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行投影，解题的关键是记住在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．
6．B
【分析】平行四边形判定：1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.所有邻角（每一组邻角）都互补的四边形是平行四边形；
6.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
正方形判定：1.有一个内角是直角的菱形是正方形.
2.邻边相等的矩形是正方形.
3.对角线相等的菱形是正方形.
4.对角线相互垂直的矩形是正方形.
5.对角线相互垂直平分的平行四边形是正方形.
菱形判定：1.四条边相等的四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形).
3.一组邻边相等的平行四边形是菱形.
4.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.
【详解】A、正确．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
B、错误．比如等腰梯形，满足条件，不是平行四边形；
C、正确．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；
D、正确．有一组邻边相等的矩形是正方形；
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形与特殊的平行四边形的判定，牢固掌握判定定理即可解题.
7．D
【分析】根据成比例线段定义：对于四条线段，如果，那么就说成比例线段，然后根据比例的性质：，即可求解得出答案．
【详解】解：线段是成比例线段，
，
，
，
，
；
故选：D．
【点睛】此题考查了成比例线段的概念和性质，熟练掌握成比例线段的概念与比例性质是解答此题的关键．
8．D
【分析】由于轴，则，于是有，然后根据k的几何意义易得k的值．
【详解】解：如图，连接，

∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数图象过第二象限，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的系数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作坐标轴的垂线，所得的矩形面积为，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
9．C
【详解】试题解析：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且
且
∴且
故选C.
10．B
【分析】由抛物线开口向下得到a＜0；由抛物线的对称轴为直线x==1得到b＞0；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，则abc＜0；观察图象得到当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0；当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0；根据二次函数的最值问题得到x=1时，y有最大值a+b+c，则a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），变形得到a+b＞m（am+b）．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线x==1，
∴b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，
∴b＞a+c，所以②错误；
当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴x=1时，y有最大值a+b+c，
∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），
∴a+b＞m（am+b），所以④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为一条抛物线，当a＜0，抛物线的开口向下，当x=时，函数值最大；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．
11．4.5
【分析】根据平行线分线段成比例，由得到，然后根据比例性质求．
【详解】解：，
，
即，
解得，
故答案为：4.5
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
12．18
【详解】试题解析：由频率估计概率的知识可知从袋子中摸出白球的概率为0.36.
因此袋中白球的数量为：50×0.36=18（个）.
故答案为18.
13．x（x-1）=110
【详解】试题解析：有个小朋友参加聚会，则每人送出件礼物，
由题意得，
故答案为
【点睛】本题考查了根据题意列出一元二次方程，解决问题的关键是读懂题意．
14．
【分析】根据位似变换的性质计算，判断即可．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，点A的坐标为，
∴点A的对称点的坐标为或，即或，
∴点A在第四象限的对应点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
15．10
【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，根据平行线分线段成比例可得为的中线，然后勾股定理求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，进而根据菱形的性质即可求解．
【详解】解：如图，设与的交点为，

根据作图可得，且平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又， ，
，
，
，
四边形是平行四边形，
垂直平分，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
为的中点，
中， ，，
，
，
四边形AECF的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
16．##
【分析】本题关键搞清M的运动轨迹，由，可知，所以M到的中点H的距离始终相等，在根据三角形三边的关系可得的范围，从而确定它的最小值．
【详解】解：取的中点H，作于点K，

∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
所以M在以H为圆心，2为半径的圆弧上运动，
∵
当M落在上时，取到等号
即达到最小，最小值为．
故答案为∶
【点睛】本题考查正方形的基本性质，和全等三角形的判定，解决此类问题的关键是判断动点M的运动轨迹，然后利用三角形三边的关系判断何时取到最值．
17．
【分析】按照因式分解法解方程即可．
【详解】解：



或
∴
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
18．
【分析】把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【详解】解：原式



．
【点睛】本题考查的是实数的运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
19．(1)
(2)

【分析】（1）直接根据概率公式即可得出结论；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征可判断有4个点在函数图象上，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）∵球表面分别标有2、3、4、6四个数字，它们的材质、形状、大小完全相同，
∴从中随机摸出一个小球，标号为6的概率为．
故答案为：；
（2）依题意列表得：

2
3
4
6
2

（2，3）
（2，4）
（2，6）
3
（3，2）

（3，4）
（3，6）
4
（4，2）
（4，3）

（4，6）
6
（6，2）
（6，3）
（6，4）


由上表可得，点A的坐标共有12种结果，其中点A在反比例函数图象上的有4种：
（2，6）、（3，4）、（4，3）、（6，2），
∴点A在反比例函数上的概率为．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（1）见解析；（2）
【分析】（1）先证四边形ODEC是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到∠DOC=90°，根据矩形的定义即可判定四边形ODEC是矩形．
（2）根据含30度角直角三角形的性质、勾股定理来求EA的长度即可．
【详解】（1）∵CE∥BD　　DE∥AC
∴四边形ODEC是平行四边形
又∵菱形ABCD
∴AC⊥BD
∴∠DOC=90°
∴四边形ODEC是矩形
（2）∵Rt△AOD中,∠ADO=60°
∴∠OAD=30°
∴OD=AD=
∴AO==3
∴AC=6
∵四边形ODEC是矩形
∴EC=OD=　　∠ACE=90°
∴AE==
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握和灵活运用相关的性质定理与判定定理是解题的关键．
21．(1)反比例函数的解析式为，一次函数解析式为
(2)点P的坐标为（，）
(3)t＞

【分析】（1）将点B，点A坐标代入反比例函数的解析式，可求a和k的值，利用待定系数法可求一次函数解析式；
（2）连接OA，OB，OP，求得OC的长，根据，，求得进而求得点P的坐标；
（3）先求出点C坐标，由面积关系可求解．
【详解】（1）∵反比例函数的图像与一次函数的图像相交于，两点，
∴，
∴，
∴点，
∴反比例函数的解析式为，
由题意可得：，
解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）连接OA，OB，OP，

令代入，
解得，
∴一次函数与轴的交点C坐标为，
∴，
∵点P在线段AB上，
∴设点P为，
∵点A，点B，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为；
（3）∵直线AB交轴于点C，
∴点C，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，反比例函数的性质等知识，求出两个解析式是解题的关键．
22．(1)每件衬衫应降价20元
(2)当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元

【分析】（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，可得每件盈利元，每天可以售出件，进而得到商场平均每天盈利元，依据方程即可得到x的值；
（2）用“配方法”即可求出y的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元．
【详解】（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，
则，
当时，，
解得 ，
经检验，都是原方程的解，但要尽快减少库存，
所以，
答：每件衬衫应降价20元；
（2）∵，
∴当时，y的最大值为1250，
答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及“配方法”在求函数的最大值的问题中的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键．
23．的长为10m
【分析】延长交于点E，则，设，则，通过解直角三角形可得出，，结合可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，再将其代入中即可求出结论．
【详解】解：延长交于点E，则，如图所示．
设，则，
在Rt和Rt中， ， ，
∴，．
，
∴，即，
解得：，
，
．
答：的长为．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由，找出关于的长的一元一次方程是解题的关键．
24．(1)，；
(2)①见解析；②；③或2

【分析】（1）先判断出，得出，，再求出，进而求出，即可得出结论；
（2）①如图，过点C作，交于点F，由等腰直角三角形的性质，可求，，即可证，，证明，可得，根据等腰直角三角形的性质可得，即可证；
②由题意可求出，进而求出，最后用勾股定理即可求出答案；
③分，两种情况讨论，根据等腰直角三角形的性质可求的长．
【详解】（1）解：，；
理由：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
即，；
（2）①证明：如图，过点C作，交于点F，

∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②解：∵，，，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，；
③解：在中，，
∴，
Ⅰ、当时，如图，此时点M与点D重合，

∵是等腰直角三角形，
∴
∴，
Ⅱ、当时，如图，

∵，，
∴，
∴，
∴，
即的长为或2．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形判定和性质以及分类思想，判断出是本题的关键．
25．(1)抛物线的解析式为；
(2)①N；②点C的坐标为或；③点Q的纵坐标为：2或或

【分析】（1）利用一次函数图像上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，由点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）①设点P的坐标为，则点N的坐标为，点M的坐标为，根据建立方程求出t的值即可得出结论；
②由①可得出，，由相似三角形的性质即可得出关于t的方程，解之即可得出x的值，进而可得出点C的坐标；
③若以Q、A、M、N为顶点的四边形是菱形，则为等腰三角形，分，，，三种情况分别讨论即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴点A的坐标为；
当时，，
解得：，
∴点B的坐标为．
将A，B代入，得：，
解得：，
∴这个抛物线的解析式为；
（2）解：①设点P的坐标为，则点N的坐标为，点M的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
解得或（舍），
∴N；
②当时，如图1．

设点P的坐标为，则点N的坐标为，点C的坐标为，点M的坐标为，
∴，，
∵，
∴，即，
解得：，（舍去），，（舍去），
∴或，
∴当时，点C的坐标为或；
③∵A，N，M，
∴，
，
，
若以Q、A、M、N为顶点的四边形是菱形，则为等腰三角形，需要分以下三种情况：
当时，，
解得（舍）或（舍）或，
∴A，N，M，
由菱形的性质可知，点Q的坐标为；
当时，，
解得（舍）或（舍）或，
此时，
由菱形的性质可知，Q，即Q；
当时，，
解得（舍）或，
此时，
由菱形的性质可知，Q，即Q；
综上，点Q的纵坐标为：2或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图像与性质，坐标系内两点间距离，解方程，菱形的性质．其中第（3）题对菱形存在性的讨论，将菱形的存在性转化为等腰三角形的存在性是解题关键．