四川省泸县第一中学2023届高三数学（理）上学期期末考试试卷（Word版附答案）

四川省泸县一中高2023届高三上期末考试

理科数学

本试卷共4页。考试结束后，只将答题卡交回

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则

A． B． C． D．

2．已知i为虚数单位，则

A．1+i             B．1－i                     C．－1+i                 D．－1－i

3．函数的图象大致为

A．B．

C．D．

4．的展开式中的系数为

A． B．160 C． D．80

5．已知数列的前项和为．若，，则

A． B． C． D．

6．将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是奇函数，则a的最小值是

A． B． C． D．

7．已知双曲线，则下列说法正确的是

A．离心率为2 B．渐近线方程为

C．焦距为 D．焦点到渐近线的距离为

8．新冠肺炎疫情是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，其中指数增长率，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数扩大到原来的10倍需要的时间约为（）

A．4天 B．6天 C．8天 D．10天

9．志愿团安排去甲､乙､丙､丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序，一位志愿者说：不能先去甲，甲的困难户最多；另一位志愿者说：不能最后去丁，丁离得最远.他们共有多少种不同的安排方法

A．14 B．12 C．24 D．28

10．抛物线，直线与交于（左侧为，右侧为）两点，若抛物线在点处的切线经过点，则

A． B． C． D．

11．已知△SAB是边长为2的等边三角形，∠ACB＝45°，当三棱锥S﹣ABC体积最大时，其外接球的表面积为

A． B． C． D．

12．已知函数，若不等式有且仅有2个整数解，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，则______.

14．已知函数，若，则实数的取值范围是______．

15．已知向量，，满足，，，则的最大值是______________.

16．已知函数，下列关于函数的说法正确的序号有________.

①函数在上单调递增；

②是函数的周期；

③函数的值域为；

④函数在内有4个零点.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分。

17．（12分）为了解某水果批发店的日销售量，对过去100天的日销售量进行了统计分析，发现这100天的日销售量都没有超出4.5吨，统计的结果见频率分布直方图．

（1）求这100天中日销售量的中位数（精确到小数点后两位）；

（2）从这100天中抽取了5天，统计出这5天的日销售量（吨）和当天的最高气温（℃）的5组数据，研究发现日销售量和当天的最高气温具有的线性相关关系，且，，，．求日销售量（吨）关于当天最高气温（℃）的线性回归方程，并估计水果批发店所在地区这100天中最高气温在10℃~18℃内的天数．

参考公式：，．

18．（12分）已知数列的前n项和为，且.

（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；

（2）在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答.

已知数列满足___________，求的前n项和.

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.

19．（12分）已知四棱锥如图所示，平面平面，四边形为平行四边形，，且.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求

二面角的余弦值.

20.（12分）已知点，直线，为轴右侧或轴上动点，且点到的距离比线段的长

度大1，记点的轨迹为.

（1）求曲线的方程；

（2）已知直线交曲线于，两点（点在点的上方），，为曲线上两个动点，且，求证：直线的斜率为定值.

21．（12分）已知函数.

（1）若在处取得极值，求实数的值；

（2）讨论在上的单调性；

（3）证明：在（1）的条件下.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．

22．直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求的普通方程和的直角坐标方程；

（2）点A，B为与的交点，C为曲线上一点，求面积的最大值．

23．设函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

四川省泸县一中高2023届高三上期末考试

理科数学参考答案

1．D  2．B  3．A  4．A  5．C  6．D  7．A  8．B  9．A  10．D  11．B  12．A

13．0.6    14．；   15．     16．①③④

17．解：（1）由频率分布直方图性质知，各组频率之和为1，

所以，解得，

设中位数为，则，

解得，即这100天中日销售量的中位数约为2.06吨；

（2）因为，，

，

所以，

，

所以销售量（吨）关于当天最高气温（℃）的线性回归方程是：；

当时，，

当时，，

当最高气温早10℃~18℃内时，日销售量在2~4吨，

根据频率分布直方图可得再次范围的频率为：

，

所以估计该景区这100天中最高气温在10℃~18℃内的天数约为：天．

18．解：（1）当时，因为，所以，两式相减得，.

所以.

当时，因为，所以，又，故，于是，

所以是以4为首项2为公比的等比数列.

所以，两边除以得，.

又，所以是以2为首项1为公差的等差数列.所以，即.

（2）若选①：，即.

因为，

所以.

两式相减得，

所以.

若选②：，即.

所以

.

若选③：，即.

所以

.

19．解：（Ⅰ）因为平面平面，交线为，且，

所以平面，又因为平面，故，

因为，且，故平面，

而平面，故平面平面；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，所以为直线与平面所成的角，

故，又因为，所以，，

在中，，

取的中点，连接，易得平面.所以，

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

故，，

设平面的法向量为，故，即，

取，得，

又平面的一个法向量为，所以.

易知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.

20．解：（1）依题意，线段的长度等于到的距离，由抛物线定义知，

点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以的方程为；

（2）将代入得，则，，如图：

设抛物线E上动点，显然直线AC，AD斜率存在，

，同理，因为，则，

，

直线的斜率，即直线的斜率为定值-1.

21．解：（1）解：因为，

在处取得极值，则，所以，解得，

当时，，当时，单调递减，当时，

单调递增，所以是函数的极值，因此；

（2）解：，

当时，在上，恒成立，单调递减；当时，令，解得，

当时，，单调递减，当时，，单调递增.

综上，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（3）证明：由（1）知，则，

令，，在上单调递增，

当时，，当时，，

则，使，即，

则当时，单调递减，当时，单调递增，

所以，

令，，所以单调递减，

所以，所以，所以，得证.

22．解：（1）消去参数方程中的参数t，得到曲线的普通方程为．

分别将，代入即，并化简得曲线的直角坐标方程为．

（2）∵，∴，∴．

设，点C到距离为d，∴，

∴∴．

23．解：（1）当时，，则等价于

即或或解得，故原不等式的解集为.

（2）由.

所以的最大值为.

所以对于任意实数，不等式恒成立等价于恒成立.

即，解得或.故的取值范围为.