2021-2022学年广东省江门市高一上学期期末（一）数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年广东省江门市高一上学期期末（一）数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省江门市高一上学期期末（一）数学试题 一、单选题1．设全集，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用交集和补集的运算律进行运算.【详解】∵  ，，∴   ,又，∴   ，故选:D.2．命题“”的否定是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题“”的否定是：.故选：C3．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】函数的三要素：定义域，对应法则和值域；函数的三要素相同，则为同一个函数，判断函数的三要素即可求解.【详解】对于，和的定义域都是，对应关系也相同，是同一个函数，故选项正确；对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误；对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误；对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误，故选：.4．下列命题为真命题的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则【答案】B【解析】利用反例或不等式的性质逐项检验后可得正确的选项.【详解】对于AC，取，则，但，，故AC错.对于D，取，，则，，但，故D错误.对于B，因为，故，故.故选：B.5．设，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】结合基本不等式，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】当时，，当且仅当时，即时，等号成立，所以当时，是成立的，即充分性成立；反之：时，是成立的，但此时不成立，即必要不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.6．若为幂函数，且在上单调递减，则的解析式可以是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由幂函数的图象特征可排除部分选项，再由给定单调性即可判断作答.【详解】因为幂函数的图象都经过点，显然选项A，B都不满足，即A，B都不是幂函数；而函数是幂函数，但在上单调递增，C不符合要求；是幂函数，且在上单调递减，D满足.故选：D7．设函数，则下列结论正确的是（    ）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．是偶函数D．在区间上单调递增【答案】C【分析】对于A，求出函数的对称轴，可知不存在使得对称轴为直线，A错误；对于B，求出函数的对称中心，可知不存在使其一个对称中心为，B错误；对于C，由求出，利用诱导公式，结合偶函数的定义，可得C正确；对于D，当时，求出整体的范围，验证不是单调递增，D错误.【详解】由解得，所以函数的对称轴为，由解得，故A错误；由解得，所以函数的对称中心为，由解得，故B错误；，而，所以是偶函数，C正确；令，当时， 即，此时在不是单调递增函数，故D错误.故选：C.8．设函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列不等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】比较所给x 的大小，根据偶函数的性质和单调性判断函数值大小.【详解】∵，，又∵函数是定义在上的偶函数，∴当时，，又∵，函数在上单调递增，所以.故选：D. 二、多选题9．下列不等式的解集为R的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】A选项变形为即可判断；B选项，变形为即可判断；C选项，的解集为或即可判断；D选项，变形为即可判断.【详解】即，不等式的解集为R，A正确；变形为，即，不等式的解集为R，B正确；的解集为或，解集不是R，C错误；，因为，不等式两边同乘以，即，，故不等式的解集为R，D正确.故选：ABD10．关于函数（且）的性质表述正确的是（    ）A．恒过定点 B．增函数 C．值域为 D．奇函数【答案】AC【分析】化简函数解析式并判断函数图象性质.【详解】函数（且），恒过点成立，A选项正确；但函数无奇偶性，D.选项错误；当，即时函数单调递增，当，即时函数单调递减，B选项错误；又，故，D选项正确；故选：AD.11．下列结论正确的是（    ）A．是第三象限角B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为C．若角的终边上有一点，则D．若角为锐角，则角为钝角【答案】BC【分析】A中，由象限角的定义即可判断；B中，由弧长公式先求出半径，再由扇形面积公式即可；C中，根据三角函数的定义即可判断；D中，取即可判断.【详解】选项A中，，是第二象限角，故A错误；选项B中，设该扇形的半径为，则，∴，∴，故B正确；选项C中，，，故C正确；选项D中，取，则是锐角，但不是钝角，故D错误．故选：BC．12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ）A．是奇函数 B．在上是增函数C．是偶函数 D．的值域是【答案】ABD【分析】利用奇偶性的定义判断可选项A，C，由函数单调性的结论可判断选项B，由函数单调性求出的取值范围，结合定义可得的值域可判断选项D．【详解】对于A，因为函数，，所以，则函数为奇函数，故选项A正确；对于B，因为、在R上是增函数，所以在R上是增函数，故选项B正确；对于C，因为，则，，因为所以函数不是偶函数，故选项C错误；对于D，又，所以，故的值域为，故选项D正确．故选：ABD．【点睛】关键点点睛：本题考查了函数性质的综合应用，关键点是对函数性质的熟练掌握，以及对新定义的理解，考查了学生的推理能力与运算能力. 三、填空题13．设集合，则等于________．【答案】1【分析】根据，求得a，b即可.【详解】因为集合，所以，所以，故答案为：114．函数的定义域是___________.【答案】【分析】根据对数的真数大于0，分式的分母不能等于0，求解函数的定义域.【详解】由题意得：，解得：且，故答案为：．15．已知，且，则的最小值是__________．【答案】【分析】先应用基本不等式,再解一元二次不等式即可.【详解】因为,应用基本不等式可得即得,即,又因为,所以,即,,当且仅当时, 取最小值25.故答案为:.16．已知函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围为__________．【答案】【分析】由的取值范围，计算整体的范围，根据轴左侧的零点情况讨论列不等式组解得答案.【详解】因为且，所以，（1）若在轴左侧没有零点，则函数在上恰有三个零点，则需化简得此时不等式组无解；（2）若在轴左侧恰有个零点，则函数在上恰有三个零点，则需化简得，解得；（3）若在轴左侧恰有个零点，则函数在上恰有三个零点，则需化简得，此时不等式组无解；综上所述，的取值范围为.故答案为：.【点睛】思路点睛：本题是根据函数在指定区间零点个数求参数范围问题，属于难题，解题的关键是根据自变量的取值范围，计算整体的取值范围，抓住一侧零点个数依次递增讨论列不等式组求解. 四、解答题17．已知，求的值.【答案】【分析】由已知可得，利用诱导公式化简即可求解.【详解】因为，所以，∴  .18．已知函数．(1)判断函数的奇偶性并证明；(2)判断在上的单调性并加以证明．【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)减函数，证明见解析 【分析】（1）先求出函数的定义域，再根据函数奇偶性的定义即可得出答案；（2）根据函数单调性的定义，利用作差法即可得出结论.【详解】（1）解：函数为奇函数，证明如下：函数的定义域为，因为，所以函数为奇函数；（2）解：函数在上单调递减，证明如下：令，则，因为，所以，所以，即，所以函数在上单调递减.19．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？【答案】(1)这所公寓的窗户面积至少为30多少平方米(2)公寓的采光效果变好了 【分析】对于（1），设地板面积为，则窗户面积为，其中，又，据此可得答案；对于（2），设增加的面积为，本题相当于比较与的大小.【详解】（1）设地板面积为，窗户面积为，其中.又由题有，则，当且仅当时取等号.即这所公寓的窗户面积至少为30多少平方米.（2）设增加面积为，由（1），面积未增加前窗户面积与地板面积比值为，面积增加后窗户面积与地板面积比值为.又由题可知，.则，即公寓的采光效果变好了.20．已知函数且，，函数的图象经过点.(1)写出函数的解析式；(2)在同一个坐标下用描点法作出函数的图象，并求出当函数值时，自变量的取值范围；(3)当时，用表示中的最小者，记（例如，），求函数的值域.（请直接写出结果）【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由题设，结合已知求参数a，写出解析式.（2）在坐标轴上分别对、描4个点，结合单调性即可画出函数图象，再利用指数函数的单调性求的取值范围；（3）由（2）所得图象，结合画出的图象，即可确定值域.【详解】（1）∵的图象经过点，∴，解得，又，则.∴.（2）01124 12321 因为，即,故 ，                        又在区间上单调递增,∴故的取值范围是（3）由（2）所得函数图象，结合的定义，可得在图象如下：∴由图知：的值域为.21．已知函数其中．从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求：条件①：函数最小正周期为；条件②：函数图像关于点对称；条件③：函数图像关于对称．(1)的单调递增区间；(2)在区间的最大值和最小值．【答案】(1)若选①②或①③时，，若②③解析式无法确定.(2)若选①②或①③时，最小值为 ，最大值为1. 【分析】（1）由题意解得的解析式，再由同增异减求得的单调递增区间.（2）由x的范围求得的范围，进而求得的最值.【详解】（1）若选条件①②时，则 ，即： ，又∵ 关于 对称，∴ ，即： ，，解得：，，又∵，∴∴令，整理得：∴的单调递增区间为若选条件①③时，则 ，即： ，又∵ 关于 对称，∴，即： ，，解得：，，又∵，∴∴令，整理得：∴的单调递增区间为若选条件②③时，则 不能确定函数的最小正周期，无法确定 ，所以无法确定函数解析式.（2）若选条件①②或选条件①③时， ∵ ∴∴当，即时，取得最大值为1，当，即时，取得最小值为 .22．已知函数，（且）(1)当，求的值；(2)当时，若方程在上有解，求实数的取值范围．(3)若在上恒成立，求实数的值范围；【答案】(1)1(2)(3) 【分析】（1）将条件直接代入即可.（2）由题意即在上有解，且在上恒成立，设，求出其在上的值域即可得出答案.（3）分与两种情况讨论出函数的单调性，即可得出答案.【详解】（1）当时，，则（2）当时，方程在上有解，即在上有解.即在上有解，且在上恒成立.由在上恒成立，则，所以在上有解，即在上有解设所以在上单调递增，故所以当时，方程在上有解.（3）由 ，则由在上恒成立，则，则且设 由，则，则所以在单调递增.当时，在上单调递减，所以，要使在上恒成立则，即当时，恒成立. 所以满足条件.当时，在上单调递增，所以，要使在上恒成立则，即，解得 由于，此时不存在满足条件的值.故满足条件的 范围是