2021-2022学年上海市崇明中学高一下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市崇明中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．己知平面向量，，则向量__________．

【答案】

【分析】根据平面向量的坐标运算计算即可.

【详解】因为，

所以

故答案为：.

2．若是第三象限角，则是第______象限的角.

【答案】二或四

【分析】根据是第三象限角，得到，，再得到，，然后讨论的奇偶可得答案.

【详解】因为是第三象限角，所以，，

所以，，

当为偶数时，为第二象限角，

当为奇数时，为第四象限角.

故答案为：二或四.

【点睛】本题考查了象限角，考查了由角的象限判断半角的象限，属于基础题.

3．已知向量，，若，则_____．

【答案】

【分析】将转化为计算即可.

【详解】由题意得，解得．

故答案为：

4．若，是第三象限的角，则______．

【答案】##

【分析】计算，再利用和差公式计算得到答案.

【详解】因为，是第三象限的角，所以，

.

故答案为：

5．已知向量，则向量的单位向量______．

【答案】或

【分析】根据单位向量的定义即可求解.

【详解】由题意可得，

故与方向相同的单位向量为，

与方向相反的单位向量为，

故答案为：或

6．在中，若，，，则______．

【答案】

【分析】根据三角形内角关系得角的大小，再根据两角差的正弦公式求得的值，最后由正弦定理得边的值.

【详解】解：在，可得，

又

由正弦定理得，所以．

故答案为：.

7．已知为单位向量，其夹角为，则__________．

【答案】0

【详解】 .

8．函数的值域为_____．

【答案】

【分析】根据正弦函数的图象和性质即得.

【详解】因为函数，，

所以，即函数的值域为

故答案为：.

9．已知向量和，则用和来表示是______．

【答案】

【分析】设，根据可求出结果.

【详解】设，

则，

所以，解得，

所以．

故答案为：.

10．将函数上的点，先保持纵坐标不变，将横坐标放大为原来的两倍，再向左平移个单位，得到的函数解析式是______．

【答案】

【分析】先结合诱导公式化简函数，再根据三角函数图象的伸缩变换与平移变换求得最终函数解析式即可.

【详解】解：由于．将横坐标放大为原来的两倍得解析式为，

再向左平移个单位，得到的函数解析式为.

故答案为：.

11．已知向量，，，且、、三点共线，则_______

【答案】

【分析】先求出的坐标，再根据、、三点共线求出的值.

【详解】由题得，

，

因为、、三点共线，

所以，

所以，

所以.

故答案为：

【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和共线向量，考查三点共线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

12．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则=___________.

【答案】

【解析】由利用二倍角的余弦公式和同角公式可得，再根据三角函数的定义可得且，进一步可得的值.

【详解】因为，所以，

所以，所以，所以，所以

因为，所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，考查了同角公式，考查了三角函数的定义，属于基础题.

二、单选题

13．下列函数中是偶函数的是(　　)

A．y＝sin2x B．y＝－sinx

C．y＝sin|x| D．y＝sinx＋1

【答案】C

【详解】A、B是奇函数，D是非奇非偶函数，C符合f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，

∴y＝sin|x|是偶函数

14．下列四个命题中，正确的个数是（    ）

①             ② 零向量垂直于任何向量

③ “”等价于“存在实数，使得” ④

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】A

【分析】对于①，根据平面向量数量积的定义运算可知①不正确；；

对于②，零向量不谈垂直问题；

对于③，缺少条件；

对于④，.

【详解】对于①，等式左边，

等式右边，故①不正确；

对于②，零向量的方向是任意的，零向量不谈垂直问题，故②不正确；

对于③，“”等价于“存在实数，使得”，故③不正确；

对于④，，故④不正确.

故选：A

15．设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据共线向量和向量数量积的定义依次判断充分性和必要性即可得到结果.

【详解】若为非零向量，且存在负数，使得，则共线且方向相反，

，充分性成立；

当时，的夹角可能为钝角，此时不存在复数，使得，必要性不成立；

“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

16．设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

【答案】B

【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得的值进而求得，判断出三角形的形状.

【详解】∵，

由正弦定理得：，

∵，∴，，故三角形为直角三角形，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查.

三、解答题

17．已知，求下列各式的值：

（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）2.6.

【解析】由求出.

（1）由分子分母同除以求解；

（2）将，变形为，再分子分母同除以求解

【详解】因为，

所以.

（1）；

（2），

，

，

，

18．已知飞机从地按北偏东的方向飞行到达地，再从地按南偏东的方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．求地与地之间的距离．

【答案】

【分析】作图后由几何关系及余弦定理求解.

【详解】

由题意得，，所以，

因为，，

所以 ，

所以，，

地在地的南偏东，地距地．

19．已知向量，．设函数．

(1)求函数的解析式并化简，写出其最小正周期；

(2)求函数的单调递减区间；

(3)求关于的方程在区间上的解集．

【答案】(1)，最小正周期为；

(2)

(3)

【分析】（1）根据数量积坐标运算及三角恒等变换化简得的解析式，再由周期公式求最小正周期.

（2）令解得的范围即为的单调递减区间；

（3）在内解三角方程，用反三角函数表示解集.

【详解】（1）函数，

故函数的周期为．

（2）令，，得，

故函数的单调递减区间为．

（3）由得，

因为，所以，

所以或，

故所求解集为．

20．已知向量，，.

（1）求的值；

（2）若，，且，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）结合平面向量减法以及模长的坐标公式可得，进而通过两边同时平方以及同角的平方关系以及两角差的余弦公式的逆用即可求出结果；

（2）结合角范围以及同角的平方关系求出和的值，进而利用两角和的正弦公式凑角即可求出结果.

【详解】（1）因为向量，，

所以，

又因为，所以，

，

即，所以；

（2）因为，，所以，

所以，

又因为，所以

所以

.

21．在中，角为锐角，且，其中．

(1)证明：；

(2)求实数的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由及正弦定理得证；

（2） 在中将代入后剩下关于的不等式，将其变形为关于的不等式，即得到的取值范围．

【详解】（1）由正弦定理 和，

得，所以；

（2）因为角为锐角，所以，

所以，所以，

则，即，所以，

所以或，

所以实数的取值范围．