2021-2022学年上海市奉贤中学高一下学期5月月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海市奉贤中学高一下学期5月月考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市奉贤中学高一下学期5月月考数学试题 一、填空题1．与终边相同的最小正角是______．【答案】【分析】用诱导公式（一）转化即可.【详解】因为，所以与终边相同的最小正角是.故答案为：.2．已知向量、，若，则_____________．【答案】##.【分析】由，得，列方程可求出的值.【详解】因为向量、， ，所以，解得，故答案为：.3．设平面与平面相交于直线，直线，直线，则__(用下列符号之一表示：、、、．【答案】【分析】确定，，得到答案.【详解】，故，，故；，故，，故；故故答案为：4．若，则_____．【答案】3【分析】直接利用两角差的正切公式代入即可求解．【详解】∵tanα＝﹣2，则．故答案为3【点睛】本题考查两角差的正切公式的应用，属于简单题.5．函数，的单调增区间为______.【答案】【分析】由，求得，令，即可求得函数的单调增区间.【详解】由，可得，令，解得，即函数，的单调增区间为.故答案为：.6．已知向量，，则向量在向量的方向上的数量投影为__．【答案】【分析】由数量投影的定义、数量积的定义和坐标运算、向量模的坐标运算进行求解即可.【详解】向量在向量的方向上的数量投影为：．故答案为：.7．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，若， ，则四边形EFGH形状为________.【答案】梯形【详解】如图在中，∵，∴且，在中，∵∴且，∴且，∴四边形为梯形，故答案为梯形.8．已知正方形的边长为2，点满足，则__．【答案】-1【分析】首先根据条件确定点位置，然后建立平面直角坐标系并写出各点坐标，然后根据数量积的坐标运算进行求解即可.【详解】建立坐标系如图，正方形的边长为2，则，，，点满足，所以，，，所以．故答案为：9．已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根，且，则满足条件的实数k的值为________．【答案】【分析】设，根据题意及根与系数的关系可得，且。由此可得的值【详解】解：设，由根与系数的关系可得，则，因为，所以，所以，解得，由，得或，所以，故答案为：10．定义：复数是的转置复数，记为．若，则的最大值为______．【答案】【分析】设，则，求出、，再由乘积的模等于模的乘积及基本不等式求解．【详解】解：设，则，，，，，．当且仅当时等号成立．故答案为：．11．已知将函数的图象向右平移个单位长度得到画的图象，若和的图象都关于对称，则________.【答案】【分析】和的图象都关于对称，所以①，②，由①②结合即可得到答案.【详解】由题意，，因为和的图象都关于对称，所以①，②，由①②，得，又，所以，将代入①，得，注意到，所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到函数图象的平移、函数的对称性，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.12．已知，向量，，，、、是坐标平面上的三点，使得，，则的最大值为__．【答案】12【分析】设，利用向量的线性运算及数量积运算可求得，由向量模的运算和三角函数的有界性可求得答案.【详解】因为，不妨设，由向量，得，所以 ，因为，所以，，则，所以当时，取最大值12．故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是设和利用向量的线性运算和数量积的运算，本题考查了向量的坐标运算、三角恒等变换以及三角函数的性质，考查了学生的运算求解能力. 二、单选题13．已知向量,则下列能使成立的一组向量是(  　　)A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平面向量基本定理，只要不共线即可．【详解】A中是零向量，与任何向量共线，B中，，D中，，只有C中不共线，根据平面向量基本定理，存在使得．故选：C.【点睛】本题考查平面向量基本定理，掌握平面向量基本定理是解题基础．14．设复数、在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出复数，利用复数的乘法可化简复数.【详解】由题意可得，因此，.故选：A.15．在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（   ）A． B．C． D．【答案】B【分析】对于B，证明即可；而对于BCD，首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，然后说明另外一点不在该平面中即可.【详解】对于选项，如下图，点、、、确定一个平面，该平面与底面交于，而点不在平面上，故、、、四点不共面；对于选项，连结底面对角线，由中位线定理得，又，则，故、、、四点共面对于选项C，显然、、所确定的平面为正方体的底面，而点不在该平面内，故、、、四点不共面；对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点、、确定的平面，该平面与正方体正面的交线为，而点不在直线上，故、、、四点不共面．故选：B16．已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.【详解】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设，则，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.    三、解答题17．已知复数使得，，其中是虚数单位.（1）求复数的共轭复数；（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)根据、，结合复数的加法、除法运算即可求出，进而由共轭复数的概念求得；(2) 复数在复平面上对应的点在第四象限，即对应复数的实部、虚部都小于0，解不等式即可求得的范围【详解】（1）设，则∵∴又，∴综上，有∴（2）∵为实数，且∴由题意得，解得故，实数的取值范围是【点睛】本题考查了复数，利用复数的四则运算及共轭复数的概念求复数，另外依据复数所处的象限求参数范围18．（1）如图，已知正方体的棱长为2，点、分别是正方形和正方形的中心，画出过点、、的截面并求出其面积；（2）在四面体中，，，、分别是、的中点，且，求与所成的角．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）设过点的截面与平面的交线为，证明，得，则得截面作法：过作直线与平行，分别与的延长线交于点，连接交于点，直线交于，连接交于，直线交于，可证明重合，得截面，然后根据作图中的平行线的性质求得截面面积；（2）取中点，连接，证明是异面直线所成的角或其补角，然后在中由勾股定理逆定理计算可得．【详解】（1）如图，连接，则分别是，的中点，∴，平面，平面，∴平面，设过点的截面与平面的交线为，则，从而，因此过作直线与平行，分别与的延长线交于点，连接交于点，直线交于，连接交于，直线交于，由得， 又由是中点，得，即，所以，同理，又由得，所以，所以重合，连接得截面，因为是正方形且，所以，，，，从而可得，，由直角三角形和直角梯形的性质得，是菱形，由且得是平行四边形，，则，菱形的面积为；（2）取中点，连接，因为分别是的中点，则，，所以是异面直线所成的角或其补角，由已知，，又，所以，所以，所以异面直线所成的角是．19．已知，．(1)记，若，求的值域．(2)求证：向量与向量不可能平行．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据三角恒等变换和三角函数的性质求解；（2）利用向量的平行的坐标表示与三角函数求解即可.【详解】（1）因为，，所以，若，则，所以，所以．（2）假设向量与向量平行，所以，所以，所以，所以，因为，所以不成立，所以假设不成立，所以向量与向量不可能平行．20．燕山公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划条人行道、、、以及两条排水沟、，其中、、分别为边、、的中点．(1)若，求的余弦值；(2)若，求排水沟的长；(3)当变化时，求条人行道总长度的最大值．（单位百米）【答案】(1)(2)百米；(3)百米． 【分析】（1）在直角三角形和直角三角形中，分别求出和的正、余弦值，再利用两角和的余弦公式，求的余弦即可；（2）在三角形中，使用余弦定理求解即可；（3）连接，以为参变量，在三角形和中，利用和，结合解三角形知识对，进行求解，并借助函数思想求出的最大值即可.【详解】（1）∵百米，百米，，∴在直角三角形中，百米，∴，，又∵，，百米，∴在等腰直角三角形中，百米，，，∴.∴的余弦值为.（2）由第（1）问，当时，，百米∴在三角形中，，∴百米.∴排水沟的长为百米.（3）设，，，∵、、分别为边、、的中点，∴，百米，，∴，百米，，在三角形中，由余弦定理得,由正弦定理，得，连接，∵，，为边的中点，∴，，在三角形中，，由余弦定理得，在三角形中，，由余弦定理得，令∵，∴，∴，∴，令，易知在上单调递增，∴当时，的最大值为，.∴最大值为，∴条走道总长度的最大值为百米．【点睛】本题前两问较为简单，难点在第（3）问.对于解三角形中的最值问题，有两种最常用的方法，一种是通过单一变量，构造函数，利用函数单调性和最值解决，另一种是借助不等式知识解决，本题采用了第一种方法.21．在中，.（1）如图1，若点为的重心，试用、表示；（2）如图2，若点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（包含、两个端点），且，设，求的取值范围；（3）如图3，若点为外接圆的圆心，设，求的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）2.【分析】（1）延长交于，利用向量中线公式求出，再由为的重心，即可表示；（2）以为原点，建立平面直角坐标系，表示出，，， 利用向量的坐标表示得到，利用三角函数求最值即可（3）由，利用平面向量基本定理得到m、n的关系：利用基本不等式求出最小值.【详解】（1）延长交于，则是中点，所以因为点为的重心，所以；（2）以为原点，建立如图坐标系，则，，设，因为，所以，所以所以因为，所以，所以，所以；（3）因为，所以由可得即平方可得，即根据平行四边形法则可知，令，则，根据基本不等式可得，所以，解得或所以，所以，所以的最小值是2.【点睛】在几何图形中进行向量运算:(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.