2021-2022学年上海市华东师范大学附属东昌中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市华东师范大学附属东昌中学高一上学期12月月考数学试题

一、填空题

1．已知，则=________．

【答案】9

【分析】根据对数的概念，把对数式化为指数式，由指数幂的运算法则即可求解.

【详解】由，得，

所以，

故答案为：9.

2．已知，设幂函数的图象关于原点成中心对称，且与轴及轴均无交点，则的值为______.

【答案】或##或

【分析】分析可得，求出的可能取值，结合幂函数为奇函数即可得解.

【详解】因为幂函数与轴及轴均无交点，故，解得.

又因为，故或或或或.

当或时，幂函数为偶函数，不合乎题意；

当或时，幂函数为奇函数，其图象关于原点成中心对称；

当时，幂函数为偶函数，不合乎题意.

故的值为或.

故答案为：或.

3．已知，，，若式子表示一个常数，则r=______.

【答案】2

【分析】根据分数指数幂的运算法则化简，再令的指数为，即可得到方程，求出参数的值；

【详解】解：因为表示一个常数，则，解得.

故答案为：2

4．已知函数，（且）的图像恒过点，则点的坐标是___________.

【答案】

【分析】由题设及指数函数的性质知：可得x、y值，即可确定定点坐标.

【详解】当，即时，，故过定点，

∴的坐标是.

故答案为：

5．已知，则___________.（用表示）

【答案】

【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解

【详解】解：由，，

则，即

所以

故答案为：.

6．若函数在区间上单调，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】利用此绝对值函数的对称轴不在所给区间可得结论．

【详解】因为函数在区间上是单调的，且其图象的对称轴为直线，

所以或，解得或．所以实数a的取值范围是．

故答案为：

7．函数的值域是________.

【答案】

【解析】先求出函数的定义域为，设，，根据二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出的单调性，从而可求出值域.

【详解】解：由题可知，函数，

则，解得：，

所以函数的定义域为，

设，，

则时，为增函数，时，为减函数，

可知当时，有最大值为，

而，所以，

而对数函数在定义域内为减函数，

由复合函数的单调性可知，

函数在区间上为减函数，在上为增函数，

，

∴函数的值域为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力.

8．已知函数（），若函数，当时最小值为，则实数a的取值范围为______

【答案】

【分析】，由函数的单调性求解即可

【详解】因为，

利用函数的单调性和图象可知：

（1），解得；

（2），此时无解；

所以实数的取值范围是，

故答案为：

9．若函数（且）在上最大值是最小值的2倍，则______.

【答案】2或

【分析】将分成两种情况，根据的单调性以及函数最大值是最小值的两倍列方程，解方程求得的值.

【详解】当时，函数为上的减函数，故，即，解得.

当时，函数为上的增函数，故，即，解得.

故的值为或.

故填：或.

【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性和最值，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.

10．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则的解析式是___________．

【答案】

【分析】根据奇函数的定义对 分段求解.

【详解】由函数是定义在R上的奇函数得；

当时， ，∴．

综上，；

故答案为：.

11．已知表中的对数值有且只有一个是错误的．

试将错误的对数值加以改正为________．

【答案】

【分析】先判断正确，然后判断正确，所以错误，利用计算出.

【详解】，所以正确.

，

而，，

所以正确.

所以错误的为，

正确的.

故答案为：

12．已知函数若，是互不相同的正数，且，则的取值范围是_____．

【答案】

【分析】画出函数的图象，运用对数函数的图象，结合对数运算性质，可得，由二次函数的性质可得，运用基本不等式和二次函数的性质，即可得到所求范围．

【详解】先画出函数的图象，如图所示：

因为互不相同，不妨设，且，

而，即有，可得，则，

由，且，可得，

且，

当时，，此时，但此时b，c相等，

故的范围为．

故答案为．

【点睛】本题考查了利用函数图象分析解决问题的能力，以及对数函数图象的特点，注意体会数形结合思想在本题中的运用．

二、单选题

13．函数，则函数图象（    ）

A．关于原点对称 B．关于直线对称

C．关于轴对称 D．关于轴对称

【答案】D

【解析】利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，由此可得出结论.

【详解】函数的定义域为，，

所以，函数为偶函数，该函数的图象关于轴对称.

故选：D.

【点睛】本题考查函数图象对称性的判断，本质上考查函数奇偶性的判断，属于基础题.

14．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先判断，代入的解析式求得，再代入解析式可求得答案.

【详解】

，则，

故选：B．

15．已知函数，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知可得的定义域即函数的定义域为，令，可得答案．

【详解】由，解得，

即的定义域是，则，

即函数的定义域为，

令，解得，

则函数的定义域为．

故选：B．

16．已知函数，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先探究得到：当或时，；当时，. 然后将不等式等价为或，进而可得结果.

【详解】显然，函数是定义域为的偶函数.

当时，，所以是减函数，且；

所以当时，是增函数，且.

因此，当或时，；当时，.

所以，或

或

或.

故的解集为.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是探究得到：当或时，；当时，.

三、解答题

17．我们可以把看作每天的"进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.利用计算工具计算并回答下列问题：

（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？

（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？

【答案】（1）1480.7倍（2）115天、230天、345天

【解析】（1）根据所给条件，利用指数幂的性质变形，最后利用计算器计算可得.

（2）根据指数和对数的关系，将指数式化为对数式，分别利用计算器计算可得.

【详解】解：（1）.

∴一年后“进步”的大约是“落后”的倍

（2）由得

∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍.

由得.

∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍.

由得解得

∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍.

【点睛】本题考查指数和对数的互化，计算器的应用，属于基础题.

18．已知函数，

(1)若，求的值域；

(2)问为何值，该函数具有奇偶性，并证明其奇偶性．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）根据指数函数的性质，结合不等式性质求出函数的值域；

（2）讨论，结合奇函数和偶函数的定义求的值.

【详解】（1）函数的定义域为，

因为指数函数在上的值域为，故，

所以，因为，所以，

故，所以函数的值域为；

（2）当时，此时函数，，，，

所以函数为偶函数，

当时，，

则．

令可得，解得，与矛盾，

即不可能是偶函数．

令，可得，解得．

故时，是奇函数，当且时，为非奇非偶函数．

所以当时，是奇函数，当时，函数为偶函数，

当且时，为非奇非偶函数．

19．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.

（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？

【答案】（1）500名；（2）.

【解析】（1）求出剩下名员工创造的利润列不等式求解；

（2）求出从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，列出不等关系，在（1）的条件下求出的范围．

【详解】解：（1）由题意，得，

即，又，所以.

即最多调整500名员工从事第三产业.

（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，

从事原来产业的员工的年总利润为万元，

则，

所以.

所以，即在时恒成立.

因为，

当且仅当，即时等号成立，所以，

又，所以.所以a的取值范围为.

【点睛】本题考查函数的应用，已知函数模型，直接根据函数模型列出不等式求解即可，考查了学生的数学应用意识，运算求解能力．

20．已知二次函数的图象过点，对任意满足，且有最小值是.

（1）求的解析式；

（2）在区间上，的图象恒在函数的图象上方，试确定实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据题意可知函数关于直线对称，设二次函数的顶点式，然后利用待定系数法求解；

（2）将函数的解析式代入，使在上横成立，只需使在上恒成立.

【详解】解：（1）由题知二次函数图象的对称轴为，又最小值是

则可设

又图象过点，

则，解得，

∴.

（2）由已知，对恒成立，

∴在恒成立，

∴.

∵在上的最小值为.

∴.

【点睛】本题考查函数解析式的求解问题，考查根据不等式的成立问题求参数的取值范围，难度一般.

21．已知函数.

（1）若，求实数a的取值范围；

（2）设，函数.

（i）若，证明：；

（ii）若，求的最大值.

【答案】（1）或（2）（i）证明见解析（ii）

【分析】（1）对底数分类讨论，根据对数函数的单调性可解得结果；

（2）（i）若，则，令，则，所以，，根据对称轴与区间的中点值之间的关系求出最大值，对最大值配方可证不等式成立；

（ii）若，则，令，则，所以，，分类讨论对称轴可得的最值,比较最值的绝对值与端点值的绝对值的大小可得结果.

【详解】（1）当时，为递减函数，等价于，解得，

当时，为递增函数，等价于，解得，

综上所述：或.

（2）因为，所以为增函数，

（i）若，则，令，则，

所以，，

当，即时，，

当，即时，当时，，

所以.

（ii）若，则，令，则，

所以，，

因为，所以，

当，即时，，，，，此时的最大值为，

当，即时，在上单调递增，，，，

所以此时的最大值为，

综上所述：.

【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性解不等式，考查了分类讨论求二次函数在闭区间上的最值，考查了换元法，正确分类并利用二次函数的图象是解题关键，属于难题.