宜宾市叙州区第二中学2023届高三数学（理）上学期期末考试试卷（Word版附答案）

四川省叙州区二中高2023届高三上期末考试

理科数学

本试卷共4页。考试结束后，只将答题卡一并交回

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则

A．       B．       C．       D．

2．若复数满足（其中为虚数单位），则

A．1 B． C．2 D．

3．若是钝角且，则

A． B． C． D．

4．若等差数列和等比数列满足，，则为

A． B． C． D．

5．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以再加1；如果它是偶数，则将它除以；如此循环，最终都能够得到.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入的值为，则输出i的值为

A． B． 

C． D．

6．已知随机变量服从正态分布，，

A． B． C． D．

7．函数的图象大致为

A．B．

C．D．

8．已知将函数的图象向左平移个单位长度后.得到函数的图象.若是偶函数.则=

A． B． C． D．

9．曲线与直线围成的平面图形的面积为

A． B． C． D．

10．已知椭圆()的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为

A． B． C． D．1

11．在中，，，，若向量满足，则的最大值与最小

值的和为

A．7 B．8 C．9 D．10

12．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，是边长为2的等边三角形，若球的体积为，则直线与平面所成角的正切值为

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知实数满足，则的最大值是______．

14． 的展开式中 的系数为__________．

15．在直三棱柱中，,,则异面直线与所成角的余弦值为__________．

16．若函数f（x）=是在R上的减函数，则a的取值范围是______．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分。

17．（12分）“双十一网购狂欢节”源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商为分析近8年“双十一”期间的宣传费用（单位：万元）和利润（单位：十万元）之间的关系，搜集了相关数据，得到下列表格：

（1）请用相关系数说明与之间是否存在线性相关关系（当时，说明与之间具有线性相关关系）；

（2）建立关于的线性回归方程（系数精确到），预测当宣传费用为万元时的利润，

附参考公式：回归方程中和最小二乘估计公式分别为

，，相关系数

参考数据：

，，，

18．（12分）已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.

（1）求A；

（2）从下列条件中：①；②中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19．（12分）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，为棱上一点，且平面.

（1）证明：为中点；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

20．（12分）椭圆经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为.问：是否存在常数λ，使得 ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.

21．（12分）已知函数，．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若在定义域内恒成立，求实数的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

(2)若直线与直线交于点，直线与曲线交于点，且，求实数的值．

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数（）

（1）当时，求不等式成立的的集合；

（2）设，证明.

四川省叙州区二中高2023届高三上期末考试

理科数学参考答案

1．A  2．D   3．C  4．A  5．B  6．B  7．B  8．A  9．D  10．A  11．D  12．A

13．  14．  15．  16．[-6，1）

17．（1）由题意得 ，

又 ， ， ，

所以

所以， 与 之间具有线性相关关系.

（2）因为，

，

（或 ， ）

所以 关于 的线性回归方程为 .

当 时，

故可预测当宣传费用为 万元时的利润为 万元.

18．（1）因为

由正弦定理得，即  

由余弦定理得  所以

（2）选择①.由正弦定理，

即周长

即周长的取值范围

选择②.，得，得.

由余弦定理得

即周长

，当且仅当时等号成立

即周长的取值范围

19．（1）证明：取的中点，连接，因为，所以为的中点，又为的中点，所以，因为平面，平面，平面平面，所以，即，又，所以四边形为平行四边形，则，所以为的中点.

（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨令正方体的棱长为2，则，可得，，设是平面的法向量，则.令，得.

易得平面的一个法向量为，

所以 .

故所求锐二面角的余弦值为.

20． ① ②

②代入①得

21．（1）

.

①若时，，则在上是增函数.

②若 时，令，则，

解得或（舍去），

当时，，当时，，

所以在上是增函数，在上是减函数.

综上，当时，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数.

（2）若在定义域内恒成立,考虑以下情形:

①当，同时恒成立时，

由，恒成立.

令，则，

当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

所以

所以.

因为由，恒成立得：.所以.

②当，同时恒成立时，即，且，

因为，所以这样的不存在；

③当时，因为为增函数，为减函数,

若它们有共同零点，则恒成立.

由，,

联立方程组解得：.综上：或.

22．(1)由（为参数）得，

∴直线的极坐标方程为．

由得，，

，∴曲线的直角坐标方程为．

(2)直线的极坐标方程为，将代入直线的极坐标方程得，

∴点的极坐标为

将代入曲线的极坐标方程得，

．

，且为线段的中点，

，即，．

23．解：（1）当时，原不等式化为：①，

当时，①式化为：恒成立.

即，

当时，①式化为恒成立，

解得，即；

当时，①式化为无解，

综上，原不等式的解集

（2）因为，所以又，

所以

，

所以