2022-2023学年安徽省滁州市定远县育才学校高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省滁州市定远县育才学校高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．设，，若，则实数的取值范围是（    ）

A．， B．， C．， D．

【答案】C

【解析】根据，分与讨论求解.

【详解】，，且；

当时，，解得；

当时，，

解得；

的取值范围是或；

故选：C.

【点睛】本题主要考查集合之间的基本关系的应用，属于基础题.

2．已知全集，，则（    ）

A． B．或

C．或 D．

【答案】D

【解析】解分式不等式得集合，再由补集的定义求解．

【详解】或，∴．

故选：D．

【点睛】本题考查补集的运算，属于简单题．

3．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B．

C． D．或

【答案】C

【分析】先解二次不等式求得的等价条件，再利用充分不必要条件的性质与数轴法即可求得的取值范围.

【详解】因为，所以，

因为“”是“”的充分不必要条件，

所以是的真子集，则，故，

所以实数的取值范围为．

故选：C．

4．已知命题；命题，则下列说法正确的是（    ）

A．为存在量词命题且为假命题，为全称量词命题且为假命题

B．为全称量词命题且为假命题，为存在量词命题且为假命题

C．为存在量词命题且为真命题，为全称量词命题且为假命题

D．为全称量词命题且为真命题，为存在量词命题且为真命题

【答案】C

【分析】含有存在量词的命题是存在量词命题，其真假性为“有真即真，全假为假”；含有全称量词的命题是全称量词命题，其真假性为“有假即假，全真为真”；据此解答即可.

【详解】对于命题，是存在量词命题，取，则，故为真命题；

对于命题，是全称量词命题，当时，，故为假命题；

所以为存在量词命题且为真命题，为全称量词命题且为假命题.

故选：C．

5．若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（　　 ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据命题为真命题,可知,解不等式即可.

【详解】解:命题是真命题，

则，即,解得 ．

故选:B

【点睛】本题考查已知全称命题的真假求参数,是基础题.

6．已知，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，且，则 D．若，，则

【答案】D

【分析】根据不等式的性质以及作差法逐项分析判断.

【详解】当，时，，故A错误；

当时，，故B错误；

∵，，显然不能得到，

例如当，时，，故C错误；

若，，则，故D正确.

故选：D.

7．下列函数的最小值为2的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据基本不等式及对勾函数的性质逐项分析即得.

【详解】对于A，当时，函数没有最小值，故A错误；

对于B，，因为，

根据对勾函数的性质可得，故B错误；

对于C，因为，，所以，当且仅当取等号，故C正确；

对于D，，当且仅当取等号，又，故等号不成立，故D错误.

故选：C.

8．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小､密度大､吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数､奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据“数字黑洞”的定义，任取一个数字串,确定“数字黑洞”，根据三角函数的诱导公式计算，可得答案.

【详解】根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过第一步之后为314，

经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即，

则,

故选:A.

二、多选题

9．定义在上的函数满足，当时，，则满足（    ）

A． B．是偶函数

C．在上有最大值 D．的解集为

【答案】CD

【分析】赋值法可以求出，，判断出B选项；利用赋值法和题干中的条件可以得出的单调性，从而判断AC；利用函数的单调性进行解不等式，判断D.

【详解】∵定义在R上的函数满足，

令得：，解得：，

令得：，因为，所以，

故是奇函数，B错误；

任取，，且，则令，，代入得：，

因为当时，，而，所以，

故，即，从而在R上单调递减，

所以，A错误；

所以函数在上有最大值为，C正确；

由， 在R上单调递减，故，解得，故的解集为，D正确.

故选：AD.

10．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的对称中心为

B．的值域为

C．在区间上单调递增

D．的值为

【答案】ACD

【分析】选项A，利用函数的对称性定义验证即可；选项B，计算值域即可；选项C，根据函数的单调性运算判断单调性即可；选项D：找到，计算即可.

【详解】由题可知

选项A：由题可知，所以得，故的对称中心为，选项A正确；

选项B：因为，显然，所以的值域为，选项B错误；

选项C：当时，单调递减，所以单调递增，所以单调递增，选项C正确；

选项D：，所以，所以有，选项D正确.

故选：ACD

11．下列关于函数零点的论述中，正确的是（    ）

A．函数的零点是

B．图像连续的函数在区间内有零点，则

C．二次函数在时没有零点

D．设函数，则零点的个数为

【答案】CD

【分析】根据零点的概念可判断A，利用特例可判断B，根据二次函数的性质可判断C，利用数形结合可判断D.

【详解】对于A，零点不是点，的零点是，故A错误；

对于B，如在上有两个零点，但，故B错误；

对于C，根据二次函数零点和判别式之间的关系可知C正确；

对于D，作出与的图象，

由图象可知与的图象有两个交点，所以零点的个数为，故D正确．

故选：CD．

12．将函数f(x)＝3sinx的图像先向右平移个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数g(x)的图像，则函数g(x)的（    ）

A．周期是π B．g(x)在（0，）上单调递增

C．函数关于点（﹣，0）对称 D．图像关于直线对称

【答案】AC

【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的图象和性质的应用求出结果．

【详解】解：函数f(x)＝3sinx的图象先向右平移个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数g(x)＝3sin（2x﹣）的图象．

所以函数的最小正周期为＝π，故A正确；

令：−＋2kπ≤2x−≤2kπ＋（k∈Z），

解得g(x)单调递增区间是[kπ-，kπ＋]（k∈Z），

,故B错误；

令：x＝﹣时，可得g（﹣）＝3sin（﹣π）＝0，故C正确；

令：，可得g（）＝3sin（2×）＝3sinπ＝0≠±3，故D错误．

故选：AC．

三、填空题

13．已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，则的值是___________________．

【答案】2022

【分析】根据已知条件利用换元法求出函数的解析式，然后代入即可求解.

【详解】因为函数在定义域上是单调函数，

若对任意，都有，

可设，故，且，

解可得，，所以，则．

故答案为：．

14．函数的单调递减区间为___________.

【答案】

【分析】利用对数型复合函数性质求解即可.

【详解】由题知：，解得或.

令，则为减函数.

所以，为减函数，为增函数，

，为增函数，为减函数.

所以函数的单调递减区间为.

故答案为：

15．已知函数的图象与y轴的交点为，且在上没有零点，则的取值范围为______．

【答案】

【分析】由已知可得，根据在闭区间上无零点及余弦函数的性质列关于的不等式组，进而可得其范围.

【详解】因为且，则，

所以，而，则．

因为在上没有零点，

所以，解得．

由，则，而，

当时，不等式组无解，

当k＝－1时，可得，

当k＝0时，可得.

所以的取值范围为.

故答案为：

16．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是，则河流的宽度等于______.

【答案】

【解析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．

【详解】

由图可知，

在中，

在中，

河流的宽度BC等于

故答案为： .

【点睛】本题给出实际应用问题，求河流在B,C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．

四、解答题

17．已知集合，集合．

(1)若，求实数的取值范围；

(2)是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)或；

(2)存在，.

【分析】（1）化简集合N，求出其补集，由列出不等式组求解即可；

（2）根据必要不充分条件转化为，列出不等式组求解即可.

【详解】（1）由题意，，所以或，

因为，所以或，

解得或，

所以实数m的取值范围是或.

（2）假设存在实数m，使得是的必要不充分条件，

则，即，

则，解得，

故存在实数使得是的必要不充分条件.

18．已知．

(1)若的解集为，求关于的不等式的解集；

(2)解关于的不等式．

【答案】(1)或

(2)见解析

【分析】(1)通过一元二次不等式的解集以及韦达定理求出参数，然后将分式不等式转化成一元二次不等式求解即可；

(2)对参数进行分类讨论，并结合一元二次不等式的求解方法即可得到答案.

【详解】（1）由的解集为可知，

和为的两个根，

由韦达定理可知，且，解得，

从而且，

解得或，

故关于的不等式的解集为或.

（2）当时，原不等式可化为，解得；

当时，原不等式可化为，解得或；

当时，原不等式可化为，

当，即时，解得；

当，即时，解得；

当，即时，解得．

综上所述，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为．

19．定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，都满足.

（1）求的值；

（2）求的解析式；

（3）设函数，求在区间上的最大值.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）分别令，和，，可得出关于和的方程组，即可解出的值；

（2）令，则，再用替换可得出，利用加减消元法可解出，即可得出函数的解析式；

（3）由题意得出，然后分和，分析二次函数在区间上的单调性，即可得出函数在区间上的最大值的表达式.

【详解】（1）令，，得；

令，，得.

由，解得；

（2）令，则，所以，

由以上两式，解得，

即，所以；

（3）.

当，即时，此时，函数在区间上单调递增，

；

当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则.

综上，.

【点睛】本题考查函数值的求解、利用方程组法求函数解析式，同时也考查了二次函数在区间上的最值的求解，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.

20．已知且满足不等式．

（1）求实数a的取值范围．  

（2）求不等式．

（3）若函数在区间有最小值为，求实数a值．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）根据指数函数的单调性即可求解；

（2）由题意利用指数函数的性质求出的范围，再利用指数､对数函数的性质，求得的解集.

（3）根据a的范围，利用对数函数的性质，求出a的值.

【详解】解：，

，即，

， 又， ．

由知，

．

等价于    即，    ，

即不等式的解集为

，

函数在区间上为减函数，

当时，y有最小值为，

即，

，

解得或舍去，

所以．

【点睛】本题考查指、对数不等式的解法及指对函数基本性质的应用，指、对数不等式的解法一般根据底数确定单调性，然后建立不等式求解即可，注意对数函数真数恒大于0，属于基础题.

21．已知函数，．

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．

【详解】试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数的最小正周期计算公式，即可求得函数的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数在闭区间上的最大值和最小值．

由已知，有

的最小正周期．

（2）∵在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数在闭区间上的最大值为，最小值为．

【解析】1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．

22．已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.

（1）若的图象关于点对称，求函数的解析式；

（2）在（1）的条件下，当时，求不等式的解集.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求出函数的解析式，根据函数的对称性可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值，进而可得出函数的解析式；

（2）先解出不等式在上的解集，与取交集即可得解.

【详解】（1）易知，

因为函数的图象关于点对称，则，得，

又，，所以，；

（2）由，得.

所以，，解得，

记，则，

所以，当时，不等式的解集为.