湖南省长沙市2023届高三上学期新高考适应性考试数学试题（原卷版）

这是一份湖南省长沙市2023届高三上学期新高考适应性考试数学试题（原卷版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
长沙市2023年新高考适应性考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数z满足，则（    ）A.  B. C. 2 D. 2. 设集合，，则的元素个数是（    ）A. 1 B. 2C. 3 D. 43 已知，，，则（    ）A.  B. C.  D. 4. 的展开式中，常数项为（    ）A.  B. C.  D. 5. 在平行六面体中，已知，，，，，则的值为（    ）A. 10.5 B. 12.5C. 22.5 D. 42.56. 若，则的值为（    ）A.  B. C.  D. 7. 裴波那契数列，因数学家莱昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列满足，且．卢卡斯数列是以数学家爱德华·卢卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即，且，则（    ）A.  B. C.  D. 8. 在平面直角坐标系中,已知,,若该平面中存在点,同时满足两个条件与,则的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知双曲线的方程为，则（    ）A. 渐近线方程为 B. 焦距为C. 离心率为 D. 焦点到渐近线的距离为810. 自然环境中，大气压受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著．下图是根据一组观测数据得到海拔6千米～15千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为；根据非线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为 ，则下列说法正确的是（    ）A. 由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关B 由方程可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低4.0kPaC. 由方程可知，样本点的残差为D. 对比两个回归模型，结合实际情况，方程的预报效果更好11. 已知函数与相交于A，B两点，与相交于C，D两点，若A，B，C，D四点的横坐标分别为，，，，且，，则（    ）A.  B. C.  D. 12. 如图，已知是边长为4的等边三角形，D，E分别是AB，AC的中点，将沿着DE翻折，使点A到点P处，得到四棱锥，则（    ）A. 翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为3B. 存在某个点位置，满足平面平面C. 当时，直线与平面所成角的正弦值为D. 当时，该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知，，，若，则________．14. 已知函数,若函数的图象关于点中心对称,且关于直线轴对称,则的最小值为______．15. 已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，过点F作倾斜角为60°的直线与抛物线交于A，B两点（其中点A在第一象限）．若直线AO与抛物线的准线l交于点D，设，的面积分别为，，则______．16. 已知函数，若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，且，则的取值范围是______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，，．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列前n项和．18. 在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知．（1）求角B的值；（2）若，求的周长的取值范围．19. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点六面体中（其中平面EDC），四边形ABCD是正方形，平面ABCD，，且平面平面 ．（1）设 为棱 中点，证明：四点共面；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值．20. 为了调动大家积极学习党的二十大精神，某市举办了党史知识的竞赛．初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个单位派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．某单位派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，乙小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.（1）若该单位获得决赛资格的小组个数为X，求X的数学期望；（2）已知甲、乙两个小组都获得了决赛资格，决赛以抢答题形式进行．假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率．若最后一道题被该单位的某小组抢到，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是45%，55%，该题如果被答对，计算恰好是甲小组答对的概率．21. 设A，B是椭圆上异于的两点，且直线AB经过坐标原点，直线PA，PB分别交直线于C，D两点．（1）求证：直线PA，AB，PB的斜率成等差数列；（2）求面积的最小值．22. 已知函数，其中．（1）求的最大值；（2）若不等式对于任意的恒成立，求实数a的取值范围．