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专题1.9 勾股定理知识点分类专题训练1
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这是一份专题1.9 勾股定理知识点分类专题训练1
专题1.9 勾股定理知识点分类专题训练1本专题求解过程中部分题型涉及到二次根式内容，建议学习二次根式后进行练习，或者选择性进行练习。知识点一：勾股定理求线段长1．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．2．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD=_____．3．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于_______．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，M、M′分别是AB、A′B′的中点，若AC＝4，BC＝2，则线段MM′的长为____．5．如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为__________．6．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是_____________．知识点二：勾股定理求最值7．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为_____cm（杯壁厚度不计）．8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________．9．如图，在△ABC中，AC=BC=2, ∠ACB=90°,D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是_______.10．在底面直径为3cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为____cm．（结果保留π）11．如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设步为米），却踩伤了花草．12．如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为_____．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90° ， AC=6 ， BC=8 ， AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD ， AC上的动点，则CE+EF的最小值为__________．14．如图所示，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点到点的距离为5cm，要从点到点经棱拉一条彩带，彩带的最短长度是________cm.知识点三：勾股定理解决格点问题15．如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）.16．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△，则△中边上的高是 ．17．如图所示，两个边长为1个单位长的正方形沿对角线剪开所得的四个三角形能拼成一个较大的正方形，设这个大的正方形的边长为，则 ___；正方形ABCO的点A表示数轴上的数1，以O为圆心OB为半径画弧交数轴于点D，则点D表示数轴上的数为_________．18．如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样条件的点C共__个．19．如图，边长为1的正方形网格中，AB__3．（填“＞”，“＝”或“＜”）20．如图，6×6正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，网格线的交点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，D是BC的中点．则AC=__________；AD=__________．21．如图所示的正方形网格中，A，B，C，D，P是网格线交点．若∠APB＝α，则∠BPC的度数为 ____（用含α的式子表示）．22．如图，在的方格图中，每个小正方形的边长都为图中阴影是个正方形，顶点均在格点上，则这个正方形的边长是______．知识点四：勾股定理解决折叠问题23．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝ _______．24．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为 ．25．如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC =6cm，BC =8cm，将纸片沿AD折叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重合,则△BDE的面积为______．26．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点处，则AE的长为___．27．如图，已知AD∥BC,AB⊥BC，AB=3.点E为射线 BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为__________ .28．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处, 折痕为AF，若CD=6，则AF等于__________.29．如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕将△ABD折叠得到△AB′D,AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是_______．知识点五：弦图中的勾股定理30．把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为_____．31．我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼制成一个大正方形（如下图），设勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD的面积是_______32．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形ABCD的面积是____.33．如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为______．34．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么的值是____．35．由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和证明了勾股定理，还可以用来证明结论：若、且为定值，则当_______时，取得最大值．36．用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会标．若AB＝10，AF＝8，则小正方形EFGH的面积为_____．知识点六：勾股定理中的勾股树37．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，则S=________.38．如图，在四边形中，，分别以四边向外做正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，则丁的面积为______．39．如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为____．40．如图，在中，，分别以、、为边向外作正方形，面积分别记为、、，若，，则______．41．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是5，4，4，6，则最大的正方形的面积是______．42．如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为__________．43．如图，将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形A的边长为4，C的边长为3，则B的边长为_____________ ． 参考答案1．5或【详解】试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：；②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：；∴第三边的长为：或5．考点：1．勾股定理；2．分类思想的应用．2． 【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．【详解】如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B=45°，∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD=BC=2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF==∴CD=BF+DF-BC=1+-2=-1，故答案为-1．【点拨】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．3．8．【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．【详解】∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，∴DE=AC=5，∴AC=10．在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得．故答案是：8．4． 【解析】试题分析：根据勾股定理可求得AB=A′B′=，根据旋转不变性，可知∠MCM′=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知CM=AB= ，CM′=，所以再次根据勾股定理可求得MN=.故答案为：点睛：此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，解题时先根据勾股定理求出斜边的长，然后根据旋转的性质和直角三角形的斜边上的中线求出CM、CM′，然后根据勾股定理可求解.5．【详解】分析：连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长.详解：连接DE，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，DE=AC∵ΔABC是等边三角形，且BC=4∴∠DEB=60°,DE=2 ∵EF⊥AC，∠C=60°,EC=2∴∠FEC=30°，EF=∴∠DEG=180°-60°-30°=90°∵G是EF的中点，∴EG=. 在RtΔDEG中，DG= 故答案为.点睛：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键. 6．或或5【详解】如图所示：①当AP=AE=5时，∵∠BAD=90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE=AE=；②当PE=AE=5时，∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3，∠B=90°，∴PB==4，∴底边AP===；③当PA=PE时，底边AE=5；综上所述：等腰三角形AEP的对边长为或或5；故答案为或或5．7．20【详解】分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．详解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=（cm）．故答案为20．点睛：本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．8． ．【分析】延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．运用勾股定理求解.【详解】解:如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．∵AC=6，CF=2，∴AF=AC-CF=4，∵∠A=60°，∠AMF=90°，∴∠AFM=30°，∴AM=AF=2，∴FM==2 ，∵FP=FC=2，∴PM=MF-PF=2-2，∴点P到边AB距离的最小值是2-2． 故答案为: 2-2．【点拨】本题考查了翻折变换，涉及到的知识点有直角三角形两锐角互余、勾股定理等，解题的关键是确定出点P的位置.9．．【详解】解：如图，过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小．连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=2，∵D是BC边的中点，∴BD=1，根据勾股定理可得则EC+ED的最小值是10．．【详解】试题分析：如图所示，∵无弹性的丝带从A至C，∴展开后AB=3πcm，BC=3cm，由勾股定理得：AC==cm．故答案为．考点：1．平面展开-最短路径问题；2．最值问题．11．【分析】少走的距离是AC+BC-AB，在直角△ABC中根据勾股定理求得AB的长即可．【详解】解：如图，∵在中，，∴ ，则少走的距离为：，∵步为米，∴少走了步．故答案为：．【点拨】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，掌握勾股定理是解题的关键．12．【分析】由于S△PAB=S△PCD，这两个三角形等底同高，可得点P在线段AD的垂直平分线上，根据最短路径问题，可得PC+PD=AC此时最小，有勾股定理可求结果．【详解】为矩形，又点到的距离与到的距离相等，即点线段垂直平分线上，连接，交与点，此时的值最小，且故答案为【点拨】此题考查垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，解题关键在于作辅助线13．245【分析】利用勾股定理先求出BA，再求到CH，由垂线段最短可得解.【详解】如图，在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA=10，CH=AC⋅BCAB=245．∵EF+CE=EF′+EC，∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为245．故答案为245．14．25【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如第1个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中,根据勾股定理得：∴AB= ；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB= ；∵25<5 <5 ,∴彩带的最短长度是25.【点拨】此题考查平面展开-最短路径问题，解题关键在于画出展开图.15．45.【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：延长AP交格点于D，连接BD， 则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10， ∴PD2+DB2=PB2， ∴∠PDB=90°， 即△PBD为等腰直角三角形，∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°， 故答案为45．【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．16．【分析】求出三角形ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得BC边上的高．【详解】解：由题意知，小四边形分别为小正方形，所以B、C为EF、FD的中点， S△ABC=S正方形AEFD-S△AEB-S△BFC-S△CDA= BC= ∴△ABC中BC边上的高是 故答案为：17． 【分析】易得两个小正方形的面积为1，故大正方形的面积为2，只要求2的算术平方根即得大正方形的边长；由于点A表示数轴上的数1，所以正方形ABCO的边长为1，根据勾股定理可得OB的长，即为OD 的长，进而可得答案．【详解】解：因为两个小正方形的边长为1，所以两个小正方形的面积都是1，所以大正方形的面积是2，即，所以大的正方形的边长；因为OA=AB=1，所以，即OD=，所以点D表示数轴上的数是．故答案为：，．【点拨】本题考查了算术平方根的应用、实数与数轴的关系以及勾股定理等知识，属于基础题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．18．4【分析】本题需根据直角三角形的定义和图形即可找出所有满足条件的点．【详解】解：根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且三边都为无理数，满足这样条件的点C共D,E,F,H4个点．故答案为8．19．＜．【分析】根据勾股定理求出AB，比较大小，即可得到答案．【详解】解：AB2，23，∴AB＜3，故答案为：＜．【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．20．2， 【分析】根据勾股定理计算即可．【详解】由题意得,BD=CD=，由勾股定理得,AC==2，AD==.故答案为2; .【点拨】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的运算法则.21．【分析】由图可知AC的长，根据勾股定理可以求得PA、PC的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAC的形状，从而可以得到∠CPA的度数，然后即可得到∠BPC=∠CPA−∠APB的度数．【详解】设网格的长度为1，则AP= ,PC= ，AC=6 △PAC为等腰直角三角形∠CPA=∠BPC=∠CPA−∠APB=故答案为：【点拨】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．【分析】根据勾股定理，可得答案．【详解】解：如图，方法一：S阴影正方形=S大正方形-4S△ABC=16-2=10所以阴影正方形的边长为方法二：由勾股定理，得AB=.故答案为.【点拨】本题考查了算术平方根，利用开方运算求算术平方根，注意一个正数只有一个算术平方根．23．1.5【详解】在Rt△ABC中，，∵将△ABC折叠得△AB′E，∴AB′＝AB，B′E＝BE，∴B′C＝5－3＝2．设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x．在Rt△B′CE中，CE2＝B′E2＋B′C2，∴（4－x）2＝x2＋22．解之得．24．7【详解】∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5， ∴BC=.∵△ADE是△CDE翻折而成， ∴AE=CE， ∴AE+BE=BC=4， ∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7． 故答案是：7．25．6【分析】先根据勾股定理求出AB的长,设CD＝xcm ,则cm,再由图形翻折变换的性质可知AE＝AC＝6cm,DE＝CD＝xcm,进而可得出BE的长,在中利用勾股定理即可求出x的值,进而得出CD的长.又DE=CD=3, 即△BDE的面积为可解.【详解】是直角三角形,AC＝6cm，BC＝8cm， cm， 是翻折而成，，设DE＝CD＝xcm, ，，在中，，即，解得x＝3.故DE的长为3cm.即.【点拨】本题考查的是翻折变换及勾股定理,解答此类题目时常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其它线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.26．【详解】试题分析：∵AB=12，BC=5，∴AD=5．∴．根据折叠可得：AD=A′D=5，∴A′B=13－5=8．设AE=x，则A′E=x，BE=12－x，在Rt△A′EB中：，解得：．27．或.【详解】试题分析：根据题意可得四边形ABNM是矩形，所以AB=MN=3，AM=BN，根据折叠的性质可得AB=AB’,BE=B’E，点B′为线段MN的三等分点时，分两种情况：①当MB’=1，B’N=2时，在Rt△AMB’中，由勾股定理求得AM=，设BE==B’E=x，在Rt△ENB’中，由勾股定理可得，解得x=；②当MB’=2，B’N=1时，在Rt△AMB’中，由勾股定理求得AM=，设BE==B’E=x，在Rt△ENB’中，由勾股定理可得，解得x=.考点：矩形的性质；勾股定理；折叠的性质.28．4 【解析】分析：由图形折叠的性质得到BF=EF，AE=AB，再由E是CD的中点可求出ED的长，再求出∠EAD的度数，设FE=x，则AF=2x，在△AFE中利用勾股定理即可求解．详解：由折叠的性质得BF=EF，AE=AB，∵CD=6，E为CD中点，∴ED=3，在Rt△ADE中，∵AE=AB=CD=6，∴DE=AE,∴∠EAD=30°，∴∠FAE= (90°−30°)=30°，在Rt△AFE中，设FE=x，则AF=2x，,根据勾股定理得，，即(2x)2=62+x2，解得，,x1=2，x2=−2 (舍去).∴AF=2x=4.故答案为4.点睛：本题考查了矩形、直角三角形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识. 借助图形中的数量转化并利用勾股定理建立方程是解题的关键.29．2或5．【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后由翻折的性质可知：AB′=10，DB=DB′，接下来分为∠B′DE=90°和∠B′ED=90°，两种情况画出图形，设DB=DB′=x，然后依据勾股定理列出关于x的方程求解即可．【详解】∵Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，∴BD=DB′，AB′=AB=10．如图1所示：当∠B′DE=90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．设BD=DB′=x，则AF=6+x，FB′=8-x．在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′2=AF2+FB′2，即（6+x）2+（8-x）2=102．解得：x1=2，x2=0（舍去）．∴BD=2．如图2所示：当∠B′ED=90°时，C与点E重合．∵AB′=10，AC=6，∴B′E=4．设BD=DB′=x，则CD=8-x．在Rt△′BDE中，DB′2=DE2+B′E2，即x2=（8-x）2+42．解得：x=5．∴BD=5．综上所述，BD的长为2或5．30．1．【分析】根据线段的和差关系可求图2中小正方形ABCD的边长，再根据正方形面积公式即可求解．【详解】解：图2小正方形ABCD的边长=3﹣2＝1，图2小正方形ABCD的面积=1×1＝1,故答案为：1．【点拨】本题考查了勾股定理的证明，全等图形，关键是求出图2中小正方形ABCD的边长．31．1．【分析】根据勾股定理可得股b=4，则小正方形ABCD的边长为b-a，最后根据正方形面积公式计算即可．【详解】解：∵勾a=3，弦c=5∴股b=∵小正方形ABCD的边长为b-a=4-3=1∴小正方形ABCD的面积是1．故答案为1．【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理解直角三角形是解答本题的关键．32．4【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．【详解】∵勾，弦，∴股b=，∴小正方形的边长＝，∴小正方形的面积故答案为4【点拨】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想．33．10．【详解】解：依题意知，BG=AF=DE=8，EF=FG=2，∴BF=BG﹣BF=6，∴直角△ABF中，利用勾股定理得：AB===10．故答案为10．点睛：此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角△ABF的两直角边的长度．34．1.【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a-b）2=a2-2ab+b2即可求解．【详解】解：根据勾股定理可得a2+b2=13， 四个直角三角形的面积是：ab×4=13-1=12，即：2ab=12， 则（a-b）2=a2-2ab+b2=13-12=1． 故答案为1．【点拨】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键．35．=【分析】设为定值，则，先根据“张爽弦图”得出，再利用平方数的非负性即可得．【详解】设为定值，则由“张爽弦图”可知，即要使的值最大，则需最小又当时，取得最小值，最小值为0则当时，取得最大值，最大值为故答案为：．【点拨】本题考查了勾股定理的应用、平方数的非负性，掌握勾股定理是解题关键．36．4【分析】利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形EFGH的面积=大正方形面积-4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积．【详解】直角三角形直角边的较短边为，正方形EFGH的面积=10×10-6×8÷2×4=100-96=4．故答案为：4．【点拨】此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的推导过程是解决问题的关键．37．31【分析】利用勾股定理,根据图形得到S+S+ S3+ S4=S,求出即可.【详解】解:所有三角形都是直角三角形,所有四边形都是正方形,S= S+S+ S3+ S4=9+4+8+10=31故答案为:31.【点拨】此题考查了勾股定理,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.38．29【分析】如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得，再利用勾股定理可得的值，由此即可得出答案．【详解】如图，连接AC，由题意得：，在中，，，在中，，，则正方形丁的面积为，故答案为：29．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．39．8【分析】如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得，再根据勾股定理可得，然后根据正方形的面积公式可得，最后又利用勾股定理可得的值，由此即可得出答案．【详解】如图，正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，，在中，，四边形MNGF是正方形，由正方形的面积公式得：，在中，，则正方形B的面积为，故答案为：8．【点拨】本题考查了正方形的面积公式、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．40．2【分析】先根据勾股定理得出的三边关系，再根据正方形的性质即可求出的值.【详解】∵在中，∠ABC=90°,∴,∴,∵, =4, =6,∴=6-4=2.故答案为2.【点拨】本题主要考查了勾股定理，观察图形明确直角三角形的边长的平方是正方形的面积是解题的关键.41．19【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形的面积和即为最大正方形G的面积．【详解】设正方形A，B，C，D，E，F，G的边长分别为，正方形A，B，C，D的面积分别为，根据正方形的面积公式得：，正方形A，B的边长正好是直角三角形的两条直角边，由勾股定理可得：，正方形E的面积为：，同理可得正方形F的面积为：，同理可得正方形G的面积为：，故答案为：19．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，能够发现正方形的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形的面积和即为最大正方形面积．42．16【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠ABC=∠DAE，然后证明△ΔBCA≌ΔAED，结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．【详解】解：∵AB=AD，∠BCA=∠AED=90°，∴∠ABC=∠DAE，∴ΔBCA≌ΔAED(ASA)，∴BC=AE，AC=ED，故AB²=AC²+BC²=ED²+BC²=11+5=16，即正方形b的面积为16.点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，解题的重点在于证明ΔBCA≌ΔAED，而利用全等三角形的性质和勾股定理得到b=a+c则是解题的关键.43．5【详解】试题分析：∵根据正方形的性质得：DF=FG，∠DEF=∠GHF=∠DFG=90°，∴∠EDF+∠DFE=90°，∠DFE+∠GFH=90°，∴∠EDF=∠GFH，在△DEF和△FHG中，∵∠DEF=∠FHG，∠EDF=∠HFG，DF=FG，∴△DEF≌△FHG（AAS），∴DE=FH=4，∵GH=3，∴在Rt△GHF中，由勾股定理得：FG=，故答案为5．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质．
专题1.9 勾股定理知识点分类专题训练1本专题求解过程中部分题型涉及到二次根式内容，建议学习二次根式后进行练习，或者选择性进行练习。知识点一：勾股定理求线段长1．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．2．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD=_____．3．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于_______．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，M、M′分别是AB、A′B′的中点，若AC＝4，BC＝2，则线段MM′的长为____．5．如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为__________．6．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是_____________．知识点二：勾股定理求最值7．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为_____cm（杯壁厚度不计）．8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________．9．如图，在△ABC中，AC=BC=2, ∠ACB=90°,D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是_______.10．在底面直径为3cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为____cm．（结果保留π）11．如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设步为米），却踩伤了花草．12．如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为_____．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90° ， AC=6 ， BC=8 ， AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD ， AC上的动点，则CE+EF的最小值为__________．14．如图所示，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点到点的距离为5cm，要从点到点经棱拉一条彩带，彩带的最短长度是________cm.知识点三：勾股定理解决格点问题15．如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）.16．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△，则△中边上的高是 ．17．如图所示，两个边长为1个单位长的正方形沿对角线剪开所得的四个三角形能拼成一个较大的正方形，设这个大的正方形的边长为，则 ___；正方形ABCO的点A表示数轴上的数1，以O为圆心OB为半径画弧交数轴于点D，则点D表示数轴上的数为_________．18．如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样条件的点C共__个．19．如图，边长为1的正方形网格中，AB__3．（填“＞”，“＝”或“＜”）20．如图，6×6正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，网格线的交点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，D是BC的中点．则AC=__________；AD=__________．21．如图所示的正方形网格中，A，B，C，D，P是网格线交点．若∠APB＝α，则∠BPC的度数为 ____（用含α的式子表示）．22．如图，在的方格图中，每个小正方形的边长都为图中阴影是个正方形，顶点均在格点上，则这个正方形的边长是______．知识点四：勾股定理解决折叠问题23．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝ _______．24．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为 ．25．如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC =6cm，BC =8cm，将纸片沿AD折叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重合,则△BDE的面积为______．26．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点处，则AE的长为___．27．如图，已知AD∥BC,AB⊥BC，AB=3.点E为射线 BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为__________ .28．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处, 折痕为AF，若CD=6，则AF等于__________.29．如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕将△ABD折叠得到△AB′D,AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是_______．知识点五：弦图中的勾股定理30．把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为_____．31．我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼制成一个大正方形（如下图），设勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD的面积是_______32．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形ABCD的面积是____.33．如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为______．34．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么的值是____．35．由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和证明了勾股定理，还可以用来证明结论：若、且为定值，则当_______时，取得最大值．36．用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会标．若AB＝10，AF＝8，则小正方形EFGH的面积为_____．知识点六：勾股定理中的勾股树37．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，则S=________.38．如图，在四边形中，，分别以四边向外做正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，则丁的面积为______．39．如图，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为____．40．如图，在中，，分别以、、为边向外作正方形，面积分别记为、、，若，，则______．41．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是5，4，4，6，则最大的正方形的面积是______．42．如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为__________．43．如图，将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形A的边长为4，C的边长为3，则B的边长为_____________ ． 参考答案1．5或【详解】试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：；②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：；∴第三边的长为：或5．考点：1．勾股定理；2．分类思想的应用．2． 【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．【详解】如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B=45°，∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD=BC=2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF==∴CD=BF+DF-BC=1+-2=-1，故答案为-1．【点拨】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．3．8．【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．【详解】∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，∴DE=AC=5，∴AC=10．在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得．故答案是：8．4． 【解析】试题分析：根据勾股定理可求得AB=A′B′=，根据旋转不变性，可知∠MCM′=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知CM=AB= ，CM′=，所以再次根据勾股定理可求得MN=.故答案为：点睛：此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，解题时先根据勾股定理求出斜边的长，然后根据旋转的性质和直角三角形的斜边上的中线求出CM、CM′，然后根据勾股定理可求解.5．【详解】分析：连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长.详解：连接DE，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，DE=AC∵ΔABC是等边三角形，且BC=4∴∠DEB=60°,DE=2 ∵EF⊥AC，∠C=60°,EC=2∴∠FEC=30°，EF=∴∠DEG=180°-60°-30°=90°∵G是EF的中点，∴EG=. 在RtΔDEG中，DG= 故答案为.点睛：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键. 6．或或5【详解】如图所示：①当AP=AE=5时，∵∠BAD=90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE=AE=；②当PE=AE=5时，∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3，∠B=90°，∴PB==4，∴底边AP===；③当PA=PE时，底边AE=5；综上所述：等腰三角形AEP的对边长为或或5；故答案为或或5．7．20【详解】分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．详解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=（cm）．故答案为20．点睛：本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．8． ．【分析】延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．运用勾股定理求解.【详解】解:如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．∵AC=6，CF=2，∴AF=AC-CF=4，∵∠A=60°，∠AMF=90°，∴∠AFM=30°，∴AM=AF=2，∴FM==2 ，∵FP=FC=2，∴PM=MF-PF=2-2，∴点P到边AB距离的最小值是2-2． 故答案为: 2-2．【点拨】本题考查了翻折变换，涉及到的知识点有直角三角形两锐角互余、勾股定理等，解题的关键是确定出点P的位置.9．．【详解】解：如图，过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小．连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=2，∵D是BC边的中点，∴BD=1，根据勾股定理可得则EC+ED的最小值是10．．【详解】试题分析：如图所示，∵无弹性的丝带从A至C，∴展开后AB=3πcm，BC=3cm，由勾股定理得：AC==cm．故答案为．考点：1．平面展开-最短路径问题；2．最值问题．11．【分析】少走的距离是AC+BC-AB，在直角△ABC中根据勾股定理求得AB的长即可．【详解】解：如图，∵在中，，∴ ，则少走的距离为：，∵步为米，∴少走了步．故答案为：．【点拨】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，掌握勾股定理是解题的关键．12．【分析】由于S△PAB=S△PCD，这两个三角形等底同高，可得点P在线段AD的垂直平分线上，根据最短路径问题，可得PC+PD=AC此时最小，有勾股定理可求结果．【详解】为矩形，又点到的距离与到的距离相等，即点线段垂直平分线上，连接，交与点，此时的值最小，且故答案为【点拨】此题考查垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，解题关键在于作辅助线13．245【分析】利用勾股定理先求出BA，再求到CH，由垂线段最短可得解.【详解】如图，在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA=10，CH=AC⋅BCAB=245．∵EF+CE=EF′+EC，∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为245．故答案为245．14．25【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如第1个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中,根据勾股定理得：∴AB= ；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB= ；∵25<5 <5 ,∴彩带的最短长度是25.【点拨】此题考查平面展开-最短路径问题，解题关键在于画出展开图.15．45.【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：延长AP交格点于D，连接BD， 则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10， ∴PD2+DB2=PB2， ∴∠PDB=90°， 即△PBD为等腰直角三角形，∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°， 故答案为45．【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．16．【分析】求出三角形ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得BC边上的高．【详解】解：由题意知，小四边形分别为小正方形，所以B、C为EF、FD的中点， S△ABC=S正方形AEFD-S△AEB-S△BFC-S△CDA= BC= ∴△ABC中BC边上的高是 故答案为：17． 【分析】易得两个小正方形的面积为1，故大正方形的面积为2，只要求2的算术平方根即得大正方形的边长；由于点A表示数轴上的数1，所以正方形ABCO的边长为1，根据勾股定理可得OB的长，即为OD 的长，进而可得答案．【详解】解：因为两个小正方形的边长为1，所以两个小正方形的面积都是1，所以大正方形的面积是2，即，所以大的正方形的边长；因为OA=AB=1，所以，即OD=，所以点D表示数轴上的数是．故答案为：，．【点拨】本题考查了算术平方根的应用、实数与数轴的关系以及勾股定理等知识，属于基础题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．18．4【分析】本题需根据直角三角形的定义和图形即可找出所有满足条件的点．【详解】解：根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且三边都为无理数，满足这样条件的点C共D,E,F,H4个点．故答案为8．19．＜．【分析】根据勾股定理求出AB，比较大小，即可得到答案．【详解】解：AB2，23，∴AB＜3，故答案为：＜．【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．20．2， 【分析】根据勾股定理计算即可．【详解】由题意得,BD=CD=，由勾股定理得,AC==2，AD==.故答案为2; .【点拨】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的运算法则.21．【分析】由图可知AC的长，根据勾股定理可以求得PA、PC的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAC的形状，从而可以得到∠CPA的度数，然后即可得到∠BPC=∠CPA−∠APB的度数．【详解】设网格的长度为1，则AP= ,PC= ，AC=6 △PAC为等腰直角三角形∠CPA=∠BPC=∠CPA−∠APB=故答案为：【点拨】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．【分析】根据勾股定理，可得答案．【详解】解：如图，方法一：S阴影正方形=S大正方形-4S△ABC=16-2=10所以阴影正方形的边长为方法二：由勾股定理，得AB=.故答案为.【点拨】本题考查了算术平方根，利用开方运算求算术平方根，注意一个正数只有一个算术平方根．23．1.5【详解】在Rt△ABC中，，∵将△ABC折叠得△AB′E，∴AB′＝AB，B′E＝BE，∴B′C＝5－3＝2．设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x．在Rt△B′CE中，CE2＝B′E2＋B′C2，∴（4－x）2＝x2＋22．解之得．24．7【详解】∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5， ∴BC=.∵△ADE是△CDE翻折而成， ∴AE=CE， ∴AE+BE=BC=4， ∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7． 故答案是：7．25．6【分析】先根据勾股定理求出AB的长,设CD＝xcm ,则cm,再由图形翻折变换的性质可知AE＝AC＝6cm,DE＝CD＝xcm,进而可得出BE的长,在中利用勾股定理即可求出x的值,进而得出CD的长.又DE=CD=3, 即△BDE的面积为可解.【详解】是直角三角形,AC＝6cm，BC＝8cm， cm， 是翻折而成，，设DE＝CD＝xcm, ，，在中，，即，解得x＝3.故DE的长为3cm.即.【点拨】本题考查的是翻折变换及勾股定理,解答此类题目时常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其它线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.26．【详解】试题分析：∵AB=12，BC=5，∴AD=5．∴．根据折叠可得：AD=A′D=5，∴A′B=13－5=8．设AE=x，则A′E=x，BE=12－x，在Rt△A′EB中：，解得：．27．或.【详解】试题分析：根据题意可得四边形ABNM是矩形，所以AB=MN=3，AM=BN，根据折叠的性质可得AB=AB’,BE=B’E，点B′为线段MN的三等分点时，分两种情况：①当MB’=1，B’N=2时，在Rt△AMB’中，由勾股定理求得AM=，设BE==B’E=x，在Rt△ENB’中，由勾股定理可得，解得x=；②当MB’=2，B’N=1时，在Rt△AMB’中，由勾股定理求得AM=，设BE==B’E=x，在Rt△ENB’中，由勾股定理可得，解得x=.考点：矩形的性质；勾股定理；折叠的性质.28．4 【解析】分析：由图形折叠的性质得到BF=EF，AE=AB，再由E是CD的中点可求出ED的长，再求出∠EAD的度数，设FE=x，则AF=2x，在△AFE中利用勾股定理即可求解．详解：由折叠的性质得BF=EF，AE=AB，∵CD=6，E为CD中点，∴ED=3，在Rt△ADE中，∵AE=AB=CD=6，∴DE=AE,∴∠EAD=30°，∴∠FAE= (90°−30°)=30°，在Rt△AFE中，设FE=x，则AF=2x，,根据勾股定理得，，即(2x)2=62+x2，解得，,x1=2，x2=−2 (舍去).∴AF=2x=4.故答案为4.点睛：本题考查了矩形、直角三角形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识. 借助图形中的数量转化并利用勾股定理建立方程是解题的关键.29．2或5．【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后由翻折的性质可知：AB′=10，DB=DB′，接下来分为∠B′DE=90°和∠B′ED=90°，两种情况画出图形，设DB=DB′=x，然后依据勾股定理列出关于x的方程求解即可．【详解】∵Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，∴BD=DB′，AB′=AB=10．如图1所示：当∠B′DE=90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．设BD=DB′=x，则AF=6+x，FB′=8-x．在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′2=AF2+FB′2，即（6+x）2+（8-x）2=102．解得：x1=2，x2=0（舍去）．∴BD=2．如图2所示：当∠B′ED=90°时，C与点E重合．∵AB′=10，AC=6，∴B′E=4．设BD=DB′=x，则CD=8-x．在Rt△′BDE中，DB′2=DE2+B′E2，即x2=（8-x）2+42．解得：x=5．∴BD=5．综上所述，BD的长为2或5．30．1．【分析】根据线段的和差关系可求图2中小正方形ABCD的边长，再根据正方形面积公式即可求解．【详解】解：图2小正方形ABCD的边长=3﹣2＝1，图2小正方形ABCD的面积=1×1＝1,故答案为：1．【点拨】本题考查了勾股定理的证明，全等图形，关键是求出图2中小正方形ABCD的边长．31．1．【分析】根据勾股定理可得股b=4，则小正方形ABCD的边长为b-a，最后根据正方形面积公式计算即可．【详解】解：∵勾a=3，弦c=5∴股b=∵小正方形ABCD的边长为b-a=4-3=1∴小正方形ABCD的面积是1．故答案为1．【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理解直角三角形是解答本题的关键．32．4【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．【详解】∵勾，弦，∴股b=，∴小正方形的边长＝，∴小正方形的面积故答案为4【点拨】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想．33．10．【详解】解：依题意知，BG=AF=DE=8，EF=FG=2，∴BF=BG﹣BF=6，∴直角△ABF中，利用勾股定理得：AB===10．故答案为10．点睛：此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角△ABF的两直角边的长度．34．1.【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a-b）2=a2-2ab+b2即可求解．【详解】解：根据勾股定理可得a2+b2=13， 四个直角三角形的面积是：ab×4=13-1=12，即：2ab=12， 则（a-b）2=a2-2ab+b2=13-12=1． 故答案为1．【点拨】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键．35．=【分析】设为定值，则，先根据“张爽弦图”得出，再利用平方数的非负性即可得．【详解】设为定值，则由“张爽弦图”可知，即要使的值最大，则需最小又当时，取得最小值，最小值为0则当时，取得最大值，最大值为故答案为：．【点拨】本题考查了勾股定理的应用、平方数的非负性，掌握勾股定理是解题关键．36．4【分析】利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形EFGH的面积=大正方形面积-4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积．【详解】直角三角形直角边的较短边为，正方形EFGH的面积=10×10-6×8÷2×4=100-96=4．故答案为：4．【点拨】此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的推导过程是解决问题的关键．37．31【分析】利用勾股定理,根据图形得到S+S+ S3+ S4=S,求出即可.【详解】解:所有三角形都是直角三角形,所有四边形都是正方形,S= S+S+ S3+ S4=9+4+8+10=31故答案为:31.【点拨】此题考查了勾股定理,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.38．29【分析】如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得，再利用勾股定理可得的值，由此即可得出答案．【详解】如图，连接AC，由题意得：，在中，，，在中，，，则正方形丁的面积为，故答案为：29．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．39．8【分析】如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得，再根据勾股定理可得，然后根据正方形的面积公式可得，最后又利用勾股定理可得的值，由此即可得出答案．【详解】如图，正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，，在中，，四边形MNGF是正方形，由正方形的面积公式得：，在中，，则正方形B的面积为，故答案为：8．【点拨】本题考查了正方形的面积公式、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．40．2【分析】先根据勾股定理得出的三边关系，再根据正方形的性质即可求出的值.【详解】∵在中，∠ABC=90°,∴,∴,∵, =4, =6,∴=6-4=2.故答案为2.【点拨】本题主要考查了勾股定理，观察图形明确直角三角形的边长的平方是正方形的面积是解题的关键.41．19【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形的面积和即为最大正方形G的面积．【详解】设正方形A，B，C，D，E，F，G的边长分别为，正方形A，B，C，D的面积分别为，根据正方形的面积公式得：，正方形A，B的边长正好是直角三角形的两条直角边，由勾股定理可得：，正方形E的面积为：，同理可得正方形F的面积为：，同理可得正方形G的面积为：，故答案为：19．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，能够发现正方形的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形的面积和即为最大正方形面积．42．16【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠ABC=∠DAE，然后证明△ΔBCA≌ΔAED，结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．【详解】解：∵AB=AD，∠BCA=∠AED=90°，∴∠ABC=∠DAE，∴ΔBCA≌ΔAED(ASA)，∴BC=AE，AC=ED，故AB²=AC²+BC²=ED²+BC²=11+5=16，即正方形b的面积为16.点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，解题的重点在于证明ΔBCA≌ΔAED，而利用全等三角形的性质和勾股定理得到b=a+c则是解题的关键.43．5【详解】试题分析：∵根据正方形的性质得：DF=FG，∠DEF=∠GHF=∠DFG=90°，∴∠EDF+∠DFE=90°，∠DFE+∠GFH=90°，∴∠EDF=∠GFH，在△DEF和△FHG中，∵∠DEF=∠FHG，∠EDF=∠HFG，DF=FG，∴△DEF≌△FHG（AAS），∴DE=FH=4，∵GH=3，∴在Rt△GHF中，由勾股定理得：FG=，故答案为5．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质．
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