专题1.11 《勾股定理》中考真题专练（基础篇）（专项练习）

专题1.11 《勾股定理》中考真题专练（基础篇）（专项练习）

（建议学习二次根式后再进行练习）

一、单选题

1．（2021·山东滨州·）在中，若，，，则点C到直线AB的距离为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．2.4

2．（2021·山西中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（    ）

A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想

3．（2020·四川巴中·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　）

A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺

4．（2021·湖北襄阳·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiǎ）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．间水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（    ）

A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺

5．（2021·江西中考真题）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

6．（2021·四川凉山·中考真题）如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（    ）

A． B．2 C． D．

7．（2020·辽宁盘锦·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为尺，根据题意，可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

8．（2012·山东济宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（   ）

A．－4和－3之间 B．3和4之间

C．－5和－4之间 D．4和5之间

9．（2020·山东淄博·中考真题）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（     ）

A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2

10．（2020·四川乐山·）观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为），如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是（    ）

A． B． C． D．

11．（2019·山东东营·中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，交于点，连结．若，则的长为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

12．（2021·四川成都·中考真题）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为_________．

13．（2021·江苏南通·）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为___________海里（结果保留根号）．

14．（2021·湖南岳阳·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图， 设门高为尺，根据题意，可列方程为________．

15．（2021·湖南常德·中考真题）如图．在中，，平分，于E，若，则的长为________．

16．（2018·湖南湘潭市·中考真题）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在勾股章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折着高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在ΔABC中，∠ACB=90º， AC+AB=10， BC=3，求AC的长，若设AC=x， 则可列方程为________________．

17．（2020·黑龙江绥化·中考真题）在中，，若，则的长是________．

18．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若直角三角形其中两条边的长分别为3，4，则该直角三角形斜边上的高的长为________．

19．（2019·西藏中考真题）若实数满足，且恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为_____．

20．（2019·江苏南京·中考真题）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm．

三、解答题

21．（2020·浙江温州·中考真题）如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．

（1）在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH；

（2）在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ＝MN．

22．（2019·黑龙江中考真题）如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．

（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）；

（2）确定C港在A港的什么方向．

参考答案

1．D

【分析】根据题意画出图形，然后作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长．

解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，

∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，

∴AB==5，

∵，

∴，

解得CD=2.4，

故选：D．

【点拨】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答．

2．C

【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可．

解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，

如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的，

由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想，

故选：C．

【点拨】本题是对数学思想的考查，理解各种数学思想的本质特点是解决本题的关键．

3．B

【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可．

解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，

根据勾股定理得：，

解得：．

所以，原处还有4.55尺高的竹子．

故选：B．

【点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．

4．C

【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可.

解：设水池里的水深为x尺，由题意得：

解得：x=12

故选：C.

【点拨】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理并能根据勾股定理正确的列出对应的方程式解题的关键.

5．B

【分析】该题可以自己动手进行拼接，根据勾股定理得知①的直角边为1和1，斜边为，拼接时要依据重合的边要相等，然后根据轴对称图形的概念进行判断即可．

解：在左侧构成轴对称图形如图：

在下方构成轴对称图形如图：

在右侧构成轴对称图形如图:

【点拨】本题考查勾股定理，图形的拼接以及轴对称图形的判断，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．

6．D

【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．

解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

∴AB==10，

∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，

∴AE=BE，AD=BD=AB=5，

设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，

在Rt△BCE中

∵BE2=BC2+CE2，

∴x2=62+（8-x）2，解得x=，

∴CE==，

故选：D．

【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．

7．A

【分析】首先设水深为尺，则芦苇长x+1尺，根据勾股定理可得方程．

解：设水深为尺，则芦苇长x+1尺，由题意得：,

，

故选：A．

【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．

8．A

【分析】由勾股定理求出OP，从而得到OA的长度，问题可解．

解：由点P坐标为(－2，3)，

可知OP=,

又因为OA=OP,

所以A的横坐标为-，介于－4和－3之间

故选A

9．A

解：设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．

【解答】解：设EF＝x，DF＝y，

∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，

∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，

∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，

∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，

在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①

在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②

在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③

②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④

①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．

故选：A．

【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．

10．A

【分析】先根据拼接前后图形的面积不变，求出拼成正方形的边长，再以此进行裁剪即可得．

解：由方格的特点可知，选项A阴影部分的面积为6，选项B、C、D阴影部分的面积均为5

如果能拼成正方形，那么选项A拼接成的正方形的边长为，选项B、C、D拼接成的正方形的边长为

观察图形可知，选项B、C、D阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得到如图1所示的5个图形，由此可拼接成如图2所示的边长为的正方形

而根据正方形的性质、勾股定理可知，选项A阴影部分沿着方格边线或对角线剪开不能得到边长为的正方形

故选：A．

【点拨】本题考查了学生的动手操作能力、正方形的面积和正方形的有关画图、勾股定理，以拼接前后图形的面积不变为着手点是解题关键．

11．A

【分析】根据平行线的性质和勾股定理进行计算，即可得到答案.

解：由作法得垂直平分，

，，

，

，

，

为斜边上的中线，

，

．

故选．

【点拨】本题考查平行线的性质和勾股定理,解题的关键是掌握平行线的性质和勾股定理.

12．100．

【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A=36+64=100．

解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边的平方=36+64．

故答案为：100．

【点拨】本题考查了正方形的面积公式以及勾股定理．

13．．

【分析】先作PC⊥AB于点C，然后利用勾股定理进行求解即可．

解：如图，作PC⊥AB于点C，

在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，

∴海里，海里，

在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，

∴PC=BC=海里，

∴海里，

故答案为：．

【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定理解决问题，解决的方法就是作高线．

14．

【分析】先表示出BC的长，再利用勾股定理建立方程即可．

解：由题可知，6尺8寸即为6.8尺，1丈即为10尺；

∵高比宽多6尺8寸，门高 AB 为 x 尺，

∴BC=尺，

∴可列方程为：，
 

故答案为：．

【点拨】本题属于数学文化题，考查了勾股定理及其应用，解决本题的关键是读懂题意，能将文字语言转化为几何语言，能用含同一个未知数的式子表示出直角三角形的两条直角边，再利用勾股定理建立方程即可．

15．

【分析】证明三角形全等，再利用勾股定理即可求出．

解：由题意：平分，于,

，，

又为公共边，

，

，

在中，，由勾股定理得：

，

故答案是：．

【点拨】本题考查了三角形全等及勾股定理，解题的关键是：通过全等找到边之间的关系，再利用勾股定理进行计算可得．

16．

【分析】设AC=x，则AB=10-x，再由即可列出方程．

解：∵，且，

∴，

在Rt△ABC中，由勾股定理有：，

即：，

故可列出的方程为：，

故答案为：．

【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．

17．17

【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解．

解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB-AC=2，BC=8，
∴AC2+BC2=AB2，
即（AB-2）2+82=AB2，
解得AB=17．
故答案为：17．

【点拨】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式．

18．2.4或

【分析】分两种情况：直角三角形的两直角边为3、4或直角三角形一条直角边为3，斜边为4，首先根据勾股定理即可求第三边的长度，再根据三角形的面积即可解题．

解：若直角三角形的两直角边为3、4，则斜边长为，

设直角三角形斜边上的高为h，

，

∴．

若直角三角形一条直角边为3，斜边为4，则另一条直角边为

设直角三角形斜边上的高为h，

，

∴．

故答案为：2.4或．

【点拨】本题考查了勾股定理和直角三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

19．或．

【分析】利用非负数的性质求出，再分情况求解即可．

解：，

∴，

，

①当是直角边时，

则该直角三角形的斜边，

②当是斜边时，则斜边为，

故答案为或．

【点拨】本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

20．5

【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．

解：由题意可得：

杯子内的筷子长度为：＝15，

则木筷露在杯子外面的部分至少有：20−15＝5（cm）．

故答案为5．

【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．

21．（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）根据方格纸的特点,只要在AB与CD边上的点不对称就可以得到不平行,再根据勾股定理确定长度,画法不唯一.

（2）根据勾股定理分别算出PQ和MN,使得PQ＝MN的点即为所求的点.

解：（1）由EF=GH=,可得图形如下图:

（2）如图所示,,.

所以,

得到: PQ＝MN.

【点拨】本题主要考查了利用格点作图的知识点,利用勾股定理的知识点结合求解即可.

22．（1）A、C两地之间的距离为14.1km;（2）C港在A港北偏东15°的方向上．

【分析】（1）根据方位角的定义可得出∠ABC=90°，再根据勾股定理可求得AC的长为14.1.

（2）由（1）可知△ABC为等腰直角三角形，从而得出∠BAC=45°，求出∠CAM=15°，

所而确定C港在A港的什么方向.

解：（1）由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．

∵AB=BC=10，∴AC==≈14.1．

答：A、C两地之间的距离为14.1km．

（2）由（1）知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，

∴C港在A港北偏东15°的方向上．

【点拨】本题考查了方位角的概念及勾股定理及其逆定理，正确理解方位角是解题的关键.