初中数学北师大版八年级上册1 认识无理数学案

专题2.5  认识无理数（知识讲解）

【学习目标】

1. 掌握无理数的概念，能正确区别有理数和无理数,
2. 掌握无理数的表现形式，并能确找出无理数.

【要点梳理】

1、定义：有理数：我们把能够写成分数形式 (m、n是整数，n≠0)的数叫做有理数。

       无理数：无限不循环小数叫做无理数。如圆周率、。

2、有理数的分类

整数和分数都可以写成分数的形式，它们统称为有理数。零既不是正数，也不是负数。有限小数和无限循环小数都可以看作分数，也是有理数。

3、无理数的两个前提条件：（1）无限（2）不循环

4 、区别：（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。

        （2）任何一个有理数后可以化为分数的形式，而无理数则不能。　

实数的分类

实数            

注意： 通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。如果用字母表示数，则a＞0表明a是正数；a＜0表明a是负数；a0表明a是非负数；a0表明a是非正数。

几个易混淆概念

【典型例题】

类型一、实数的分类

1．把下列各数填入相应的括号内：

－2，100，－，0.9，－∣－5.2∣，0，0.1010010001…，

正有理数集合：｛          　　　　　　　　　　　　　　…｝

整数集合：   ｛          　　　　　　　　　　　　　　…｝

负分数集合： ｛          　　　　　　　　　　　　　　…｝

无理数集合： ｛          　　　　　　　　　　　　　…｝

【分析】根据有理数和无理数的定义，以及有理数的分类分别进行判断，即可得到答案．

解：根据题意，则

正有理数集合：｛0.9，，…｝；

整数集合：｛－2，0，…｝；

负分数集合：｛－，－∣－5.2∣，…｝；

无理数集合：｛100，0.1010010001…，…｝；

【点拨】本题考查了有理数和无理数的定义，以及有理数的分类，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．

【变式1】把下列各数写入相应的集合中：-，，0.1，，，，0，0.1212212221．．． （相邻两个1之间2的个数逐次加1） 

（1）正数集合{                                     }；

（2）有理数集合{                                     }；

（3）无理数集合{                                  }．

【答案】（1）0.1、、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）；（2）、 0.1、 、 、0 ；（3）、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）．

【分析】根据实数的分类标准进行填写即可．

解：（1）正数集合{0.1、、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）}；

（2）有理数集合{ -、 0.1、 、 、0 }；

（3）无理数集合{、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1） }．

【点拨】本题主要考查了实数的分类，掌握有理数和无理数的概念是解答本题的关键．

【变式2】将这些数按要求填入下列集合中：

，4，，3.2，0，-1，-（-5），-|-5|，

负数集合｛                                         …｝

分数集合｛                                         …｝

非负整数集合｛                                      …｝

无理数集合｛                                        …｝

【答案】见解析

【解析】

试题分析：根据负数、分数、非负整数以及无理数的定义进行判断即可.题中-（-5）=5，-|-5|=-5.

解：负数集合｛   ，-1，-|-5|，     …｝

分数集合｛  ，3.2              …｝

非负整数集合｛ 4，0，-（-5）       …｝

无理数集合｛ ，    …｝

类型二、网格上认识无理数

1．如图，在甲乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1．

（1）请求出图中阴影正方形的边长；

（2）大家知道是无理数，，∴它的整数部分为1，小数部分可以表示为．请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求边长为无理数，并求所画正方形边长的整数部分．

（3）的整数部分是           ；小数部分是              ．

【答案】（1）；（2）图见解析，整数部分为2；（2）6，

【分析】（1）直接根据勾股定理即可求解；

（2）画出正方形，然后利用勾股定理求解即可；

（3）估算出的范围，即可找到答案．

解：（1）边长为；

（2）如图，

边长为，

，

，

整数部分是2；

（3），

，

∴整数部分为6，小数部分为．

【点拨】本题主要考查无理数，掌握无理数的估算和勾股定理是解题的关键 ．

举一反三：

【变式1】 在下列网格中分别画出一个符合条件的直角三角形，要求三角形的顶点均在格点上，且满足：

（1）三边均为有理数；（2）其中只有一边为无理数．

【答案】答案见解析

【分析】（1）由勾股定理得出5，画出图形即可；

（2）由勾股定理得出直角边长为2、斜边长为的等腰直角三角形，画出图形即可．

解：（1）5，

△ABC即为所求，

如图1所示；

（2）由勾股定理得：

，

△DEF即为所求，

如图2所示．

【点拨】本题考查了勾股定理、实数的定义；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算与作图是解决问题的关键．

【变式2】如图，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD中AC，BD相交于点O，试说明边AB，BC，CD，AD的长度和对角线AC，BD的长度中，哪些是有理数？哪些不是有理数？

【答案】AB，AC，BD的长度是有理数，BC，CD，AD的长度不是有理数.

【解析】

【分析】运用勾股定理求出各条线段的长度即可求得结果.

解：由题图知，，，，，，

由勾股定理，得，

，

，

，

因此AB，AC，BD的长度是有理数，BC，CD，AD的长度不是有理数.

【点拨】此题主要考查了有理数及无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数.

类型三、与无理数有关的探究题

3．数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道： ≈1.414…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用﹣1来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：

（1）的小数部分是a， 的整数部分是b，求a+b﹣的值．

（2）已知8+=x+y，其中x是一个整数，0＜y＜1，求3x+（y﹣）2018的值．

【答案】（1）1；（2）28.

【解析】（1）估算出和的大致范围，然后可求得a、b的值，然后再求代数式的值即可．（2）先求得x的值，然后再表示出y-的值，最后进行计算即可．

试题解析：（1）∵4＜5＜9，9＜13＜16，

∴2＜＜3，3＜＜4．

∴a=﹣2，b=3．

∴a+b﹣=﹣2+3﹣=1．

（2）∵1＜＜2，

∴9＜8+＜10，

∴x=9．

∵y=8+﹣x．

∴y﹣=8﹣x=﹣1．

∴原式=3×9+1=28．

举一反三：

【变式1】 （阅读材料）

∵＜＜，即2＜＜3，

∴1＜＜2．

∴﹣1的整数部分为1．

∴﹣1的小数部分为﹣2

（解决问题）的小数部分是多少；

我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．

阅读理解：求的近似值．

解：设=10+x，其中0＜x＜1，则107=（10+x）2，即107=100+20x+x2．

因为0＜x＜1，所以0＜x2＜1，所以107≈100+20x，解之得x≈0.35，即的近似值为10.35．

理解应用：利用上面的方法求的近似值（结果精确到0.01）．

【答案】解决问题：的小数部分为-9；理解应用：的近似值为9.89.

【分析】解决问题：先求出介于哪两个连续的整数之间，即可得出结论；

理解应用：设=9+x，其中0＜x＜1，求出97≈81+18x，求出x，即可得出答案．

解：解决问题：∵，即，

∴的整数部分为9，

∴的小数部分为-9.

理解应用：设=9+x，其中0＜x＜1，则97=（9+x）2，即97=81+18x+x2，

∵0＜x＜1，

∴0＜x2＜1，

∴97≈81+18x，

解之得x≈0.89，即的近似值为9.89.

【点拨】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．

【变式2】观察下图,每个小正方形的边长均为1.

(1)图中阴影部分(正方形)的面积是多少?它的边长是多少?

(2)估计阴影部分(正方形)的边长在哪两个整数之间?

【答案】(1).(2) 边长在3与4之间..

【解析】试题分析：（1）由图形可以得到阴影正方形的面积等于原来大正方形的面积减去周围四个直角三角形的面积，由正方形的面积等于边长乘以边长，可以得到阴影正方形的边长；
（2）根据＜＜，可以估算出边长的值在哪两个整数之间．

试题解析：(1)由图可知，图中阴影正方形的面积是：，则阴影正方形的面积为10，即图中阴影正方形的面积是10，边长是.

(2)∵＜＜,∴ ，即边长的值在3与4之间.

类型四、无理数的估算

4 已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的值..

【答案】16

【分析】直接利用平方根以及立方根和估算无理数的大小得出a，b，c的值进而得出答案．

解：∵2a-1的平方根是±3，
∴2a-1=9，
解得：a=5，
∵3a+b-9的立方根是2，
∴15+b-9=8，
解得：b=2，
∵c是的整数部分，
∴c=7，
则a+2b+c=5+4+7=16．

【点拨】此题主要考查了实数的运算，涉及了平方根以及立方根和估算无理数的大小，正确得出a，b，c的值是解题关键．

举一反三：

【变式1】 阅读理解：

∵＜＜，即2＜＜3

∴的整数部分为2，小数部分为-2

解决问题：

已知a-1的平方根是±1，3a+b-2的立方根是2，x是的整数部分，y是的小数部分，求a+b+2x+y-的算术平方根．

【答案】3.

【分析】根据平方根和立方根的定义解答即可．

解：∵a-1的平方根是±1，

∴a-1=1，

∴a=2，

∵3a+b-2的立方根是2，

∴3a+b-2=8，

∴b=4，

∵x是的整数部分，y是的小数部分，

∴x=3，y=-3，

∴a+b+2x+y-=9，

∴a+b+2x+y-的算术平方根=3．

故答案为：3.

【点拨】本题考查了估算无理数的大小：估算无理数大小要用逼近法．也考查了平方根．

【变式2】设2＋的整数部分为x，小数部分为y.

（1）求2x＋1的平方根；

（2）化简：|y－2|.

【答案】（1）±3；（2）4－.

【分析】（1）先求出x和y的值，再根据平方根的定义求解；

（2）根据绝对值的定义求解即可。

解：解，

∴x＝4，y＝2＋－4＝－2

（1）

（2）|y－2|＝|－2－2|＝|－4|＝4－

【点拨】本题考查了无理数的估算，也考查了平方根和绝对值的定义，能估算出的大小是关键。

类型五、无理数的应用

5.阅读下列材料：

设：，①则.②

由，得，即.

所以.

根据上述提供的方法.把和化成分数，并想一想.是不是任何无限循环小数都可以化成分数？

【答案】，.任何无限循环小数都可以化成分数.

【解析】

【分析】设①则，②；由，得；由已知，得，所以任何无限循环小数都可以这样化成分数.

解：设①则，②

由，得，即.

所以.

由已知，得，

所以.

任何无限循环小数都能化成分数.

【点拨】考核知识点：无限循环小数和有理数.模仿，理解材料是关键.

举一反三：

【变式1】如图所示，是直角三角形，四边形是正方形.， .

(1)求正方形的面积；

(2)求正方形对角线的长.（精确到1)

【答案】(1)161； (2)18

【分析】（1）在中，根据勾股定理，；（2）连接，在中.根据勾股定理，得.再估计AE大小.

解：（1）在中，根据勾股定理，得.

所以.

所以正方形的面积为161.

(2)如图，连接AE，在中.根据勾股定理，得.

所以.

因为，，.

所以.

所以.

所以正方形的对角线长约为18.

【点拨】此题考查了勾股定理的应用．要注意三角形的三边的求解方法：借助于直角三角形，用勾股定理求解．

【变式2】化简求值：

已知是的整数部分，，求的平方根．

已知：实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．

【答案】（1）±3；（2）2a+b﹣1.

分析：（1）由于3＜＜4，由此可得的整数部分a的值；由于=3，根据算术平方根的定义可求b，再代入计算，进一步求得平方根．

（2）利用数轴得出各项符号，进而利用二次根式和绝对值的性质化简求出即可．

详解：（1）∵3＜＜4，∴a=3．

∵=3，∴b=9，∴==9，∴的平方根是±3；

（2）由数轴可得：﹣1＜a＜0＜1＜b，则a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，则+2﹣|a﹣b|

=a+1+2（b﹣1）+（a﹣b）

=a+1+2b﹣2+a﹣b

=2a+b﹣1．

点睛：本题考查了算术平方根与平方根的定义和估算无理数的大小，熟记概念，先判断所给的无理数的近似值是解题的关键．