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初中数学北师大版八年级上册2 平面直角坐标系习题
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这是一份初中数学北师大版八年级上册2 平面直角坐标系习题，共54页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题3.15 平面直角坐标系背景下的存在性问题（专项练习）
一、单选题
1．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M(2，0)，在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（ ）
A．(3，1)或(3，3) B．(3，)或(3，3)
C．(3，)或(3，1) D．(3，)或(3，1)或(3，3)
2．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，且，在y轴上确定一点P，使为等腰三角形，则所有符合题意的点P的坐标有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．如图，在平面直角坐标系中有一矩形OABC．O为坐标原点，、，D为OA的中点，P为BC边上一点，若为等腰三角形，则所有满足条件的点P有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
4．在平面直角坐标系xOy中，若点A的坐标为（﹣3，3），点B的坐标为（2，1），存在x轴一点P，使AP+BP最小，则P点坐标是______．
5．如图，在中，，，以C为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M，使为等腰三角形，符合条件的点M有__________个．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A（3，4）．连接OA，
线段OA长______； (2)若在直线a上存在点P，使△AOP是以OA为腰的等腰三角形．那么所有满足条件的点P的坐标是________________．
三、解答题
7．如图，在平面直角坐标系中，已知 A（-2,0），B（0，m）两点，且线段AB= 2 ，以 AB 为边在第二象限内作正方形 ABCD．
（1）求点 B 的坐标
（2）在 x 轴上是否存在点 Q，使△QAB 是以 AB 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如果在坐标平面内有一点 P（a，3），使得△ABP 的面积与正方形 ABCD 的面 积相等，求 a 的值．
8．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点△ABC（顶点在网格线的交点上）的顶点A、C的坐标分别为A（﹣3，5）、C（0，3）．
（1）请在网格所在的平面内画出平面直角坐标系，并写出点B的坐标．
（2）将△ABC绕着原点顺时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1．
（3）在直线y＝1上存在一点P，使PA+PC的值最小，请直接写出点P的坐标．
9． 如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对称点，不写画法，写出、、的坐标）
（2）在轴上是否存在一点，使的值最小，若有，请作出点，并直接写出点的坐标，若没有，请说明理由．
10． 在平面直角坐标系中，已知点，在轴上找一点，使得是等腰三角形，求点的坐标.
11．如图是规格为的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：
（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点的坐标为；
（2）在第二象限内的格点上找一点，使点与线段组成一个以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，画出，则点的坐标是 ，的周长是 （结果保留根号）；
（3）作出关于轴对称的.
12．直线AB交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，2），
（1）若P是x轴上一动点，问是否存在点P，使得S△PAB=3S△OAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）若P是平面直角坐标系内一点，使得P，B，O为顶点的三角形与△AOB全等，请直接写出P点的坐标：
13．已知在平面直角坐标系中有三点、、请回答如下问题：
如图，在坐标系内描出点A、B、C的位置，求出以A、B、C三点为顶点的三角形的面积；
在y轴上否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14．已知在平面直角坐标系中有三点．请完成下列问题：
（1）在坐标系内描出点的位置，并画出．
（2）求出以三点为顶点的三角形的面积．
（3）在轴上是否存在点使以三点为顶点的三角形的面积为．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15． 如图，在正方形网格中，每个小方格的边长为个单位长度，的顶点，的坐标分别为，．
（1）请在图中建立平面直角坐标系，并写出点的坐标．
（2）平移，使点移动到点，画出平移后的，其中点与点对应，点与点对应．
（3）求的面积．
（4）在坐标轴上是否存在点，使的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称．
（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（2）在x轴上确定一点P，使BP＋A1P的值最小，直接写出P的坐标为 ；
（3）点Q在y轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则这样的Q点有 个．
17．已知在平面直角坐标系内的位置如图，，，、的长满足关系式．
（1）求、的长；
（2）求点的坐标；
（3）在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
18．如图1，以平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，以OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，OA＝6，OC＝14，∠AOC＝45°，D是对角线AC的中点，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB方向运动到点B，同时点Q从点0出发，以每秒3个单位的速度沿x轴正方向运动，当点P到达点B时，两个点同时停止运动．
（1）求点A的坐标；
（2）连结PQ，AQ，CP，当PQ经过点D时，求四边形APCQ的面积．
（3）当以C、D、Q为顶点的三角形是等腰三角形时，点Q的坐标为________（直接写出答案即可）
19． 如图，在等腰三角形中，底边，腰长为，以所在直线为x轴，以边上的高所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）直接写出点A、B、C的坐标．
（2）一动点P以的速度沿底边从点B向点C运动（P点不运动到C点），设点P运动的时间为t（单位：s）
①当t为何值时，是等腰三角形？并求出此时点P的坐标．
②当t为何值时，与一腰垂直？
20．作图
如图是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：
（1）在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（﹣2，4），B点坐标为（﹣4，2）；
（2）在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数；
（3）△ABC的周长＝ （结果保留根号）；
（4）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′．
21．平面直角坐标系的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．例如：、都是格点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，
要求：保留连线痕迹，不必说明理由．
（1）在图1中画出一个以为边且与全等的三角形；
（2）在图2中画出的高线；
（3）在图2中，在轴正半轴上找一点，使；
（4）在图2中，找格点使为等腰三角形，并指出：图中这样的点共有_______个．
22． 如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）在y轴上是否存在点M，使得三角形MFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
（3）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；若顶点为F的抛物线交y轴负半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形， 请直接写出点P的坐标．
23．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的三个顶点的坐标分别是：A（2，2），B（1，0），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并求出点A′、B′、C′的坐标．
（2）在坐标平面内是否存在点D，使得△COD为等腰三角形？若存在，直接写出点D的坐标（找出满足条件的两个点即可）；若不存在，请说明理由．
24．如图1，矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，以矩形的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．在直线OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，点A的对应点为点A'，直线DA'与直线BC的交点为F．
(1)如图2，当点A′恰好落在线段CB上时，取AB的中点E，
①直接写出点E、F的坐标；
②设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
③在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
(2)在平面内找一点G，连结BG、FG，使四边形A'BGF为正方形，求点D的坐标．
25．如图：在4×4的网格中存在线段AB，每格表示一个单位长度，并构建了平面直角坐标系．
（1）直接写出点A、B的坐标：A（ ， ），B（ ， ）；
（2）请在图中确定点C（1，﹣2）的位置并连接AC、BC，则△ABC是 三角形（判断其形状）；
（3）在现在的网格中（包括网格的边界）存在一点P，点P的横纵坐标为整数（在格点上），连接PA、PB后得到△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P有 个．
26．如图，在平面直角坐标系内，点是轴上的点，点是轴上的点，将沿直线翻折使点落在点处，过点作轴交轴于点，已知．
（1）直接写出、两点的坐标．
（2）若在轴上存在某点，使得以、、、四点为顶点的四边形面积为40，求点的坐标．
（3）若点是轴上一动点，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
27． 在平面直角坐标系中，点与点关于过点且垂直于轴的直线对称．
（1）以为底边作等腰三角形，
①当时，点的坐标为________；
②当且直线经过原点时，点与轴的距离为________；
③若上所有点到轴的距离都不小于1，则的取值范围是________．
（2）以为斜边作等腰直角三角形，直线过点且与轴平行，若直线上存在点，上存在点，满足，直接写出的取值范围．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点，轴正半轴上存在点，使，且（如图1），则称点与点为－关联点．
（1）在点，中，与为45°－关联点的是________；
（2）如图2，，， ．若线段上存在点，使点与点为45°－关联点，结合图象，求的取值范围；
（3）已知点，．若线段上至少存在一对30°－关联点，直接写出的取值范围．
参考答案
1．D
【分析】由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，设P（3，a），则AP＝a，BP＝4−a；分两种情况：①若∠CPM＝90°，②若∠CMP＝90°，根据勾股定理分别求出CP2、MP2、CM2，并根据图形列出关于a的方程，解得a的值，则可得答案．
解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，
∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4−a；
①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2＋BC2＝（4−a）2＋9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2，
在Rt△MPC中，由勾股定理得：
CM2＝MP2＋CP2＝1＋a2＋（4−a）2＋9＝2a2−8a＋26，
又∵CM2＝OM2＋OC2＝4＋16＝20，
∴2a2−8a＋26＝20，
∴（a−3）（a−1）＝0，
解得：a＝3或a＝1，
∴P（3，3）或（3，1）；
②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2＋BC2＝（4−a）2＋9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2，
∵CM2＝OM2＋OC2＝20，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：
CM2＋MP2＝CP2，
∴20＋1＋a2＝（4−a）2＋9，
解得：a＝．
∴P（3，）．
综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）．
故选：D．
【点拨】本题考查了矩形的性质及勾股定理在几何图形坐标计算中的应用，数形结合、分类讨论并根据题意正确地列式是解题的关键．
2．B
【分析】本题应分别讨论OA=OP、AP=OA、AP=OP的各种情况，即可得出答案．
解：
如图所示：点A的坐标为 (4,−3) ，则AB=5
（1）若OA=AP，则AP=5，此时点P（0，-6）；
（2）若OA=OP，则OP=5，此时点P（0，5），P（0，-5）；
（3）若AP=OP，设OP=AP=x，过A做OP的垂线交y轴与D点，由勾股定理得（x-3）+4 = x，解得x= ，则点P（0，-）．
故选：B．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质及坐标与图形性质，难度适中，关键是掌握△AOP为等腰三角形时，那么任意一对邻边可为等腰三角形，注意分情况讨论．
3．D
【分析】由矩形的性质得出∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，求出OD=AD=5，分情况讨论：①当PO=PD时；②当OP=OD时；③当DP=DO时；根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求出点P的坐标．
解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，
∵D为OA的中点，
∴OD=AD=5，
①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，
∴点P的坐标为：（2.5，4）；
②当OP=OD时，如图1所示：
则OP=OD=5，
∴点P的坐标为：（3，4）；
③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，
则∠PED=90°，；
分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：
OE=5-3=2，
∴点P的坐标为：（2，4）；
当E在D的右侧时，如图3所示：
OE=5+3=8，
∴点P的坐标为：（8，4）；
综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；
故选：D
【点拨】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．
4．(0.75,0)
【分析】首先求得点B关于x轴的对称点B'点的坐标,然后再求得直线AB'与x轴的交点坐标即可.
解：点B的坐标为(2,1),
点B关于x轴的对称点B'的坐标为(2,-1).
设直线AB'的解析式为y=kx+b,将点A、B'的坐标代入得:,
解得:k=,b=.
直线AB'的解析式为y=.
令y=0得=0,解得x=.
所以点P的坐标为(,0).
【点拨】本题主要考查点的对称以及待定系数法求函数解析式，正确确定P的位置是关键.
5．6
【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形”，分三种情况解答即可：①AB = AM；②BM = BA；③MA = MB．
解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，
交x轴有一点，交y轴有两点，
此时AB = AM，
为等腰三角形；
②以B为圆心，BA为半径画圆，
交直线x轴有两点，交y轴有一点，
此时BM = BA，
为等腰三角形；
③作AB的垂直平分线交y轴于点，交x轴于点，
此时MA = MB，
为等腰三角形，
是等边三角形，故重合
符合条件的点有6个，
故答案为：6．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．
6．5 （8，4）或（﹣3，4）或（﹣2，4）
【解析】
∵A(3,4)，
∴OB=3，AB=4，
∴OA=，
①若AP=OA,则点P的坐标为：(8,4)或(−2,4)，
②若AP=OP,设点P的坐标为：(x,4)，
则(x−3)2=x2+42，
解得：x=，
∴点P的坐标为(,4)；
③若OA=OP,设P的坐标为(x,4)，
则x2+42=52，
解得：x=±3，
∴点P的坐标为：(−3,4)；
∴所有满足条件的点P的坐标是：(8,4)或(−2,4)或(,4)或(−3,4).
故选：D.
点睛：本题考查了坐标与图形的性质、等腰三角形的性质及两点间的距离公式.在找符合题意 的点的坐标时，分两种情况讨论：OA为等腰三角形的一条腰，OA为底边，是正确解答本题的关键.同时要注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.
7．(1)（0，4）(2)存在，Q点坐标为（，0）或（，0）或（2，0）
(3) 或
【分析】（1）因为三角形ABO为直角三角形，所以可依据勾股定理求出OB的长度，即可求出点B的坐标.
（2）当AB=AQ时，三角形QAB为等腰三角形，当BQ=AB时，三角形QAB为等腰三角形，再根据AB的长度分别求出点Q的坐标即可.
（3）由P（a，3）可知，p点在y=3直线上运动，画出简图，当a＞0和当a＜0时，分两种情况进行分析.
解：(1)由题意知AB=，AO=2，根据勾股定理得
,所以点B的坐标为（0，4）
（2）设Q点坐标为（m，0）
当AB=AQ时，即AQ==，解得：m=或
则此时Q点坐标为（，0）（，0）
当BQ=AB时，BQ=，解得：m=2或-2
而m=-2时与A点重合，则m=2.
则Q的坐标为（2，0）
（3）①
由题意可知p点坐标为（a，3），则p点再y=3这条直线上，连接BP，AP，y=3与y轴的交点为H，与直线AB的交点为G，当a大于0时，如图所示：
此时三角形APB的面积可以由三角形PBG与三角形PGA的面积和求得.
设AB直线的函数解析式为y=kx+b，代入点A(-2，0)，B(0,4)得：
则G点的纵坐标与P点的纵坐标相等，则把y=3代入，得x=
则此时G点坐标为（，3），则PG=a-=
则三角形PBG与三角形PGA的面积和为：GP×BH×+ GP×OH×= GP(BH+OH)= GP×BO=
即
解得：.
②
当a小于0时，如图所示：
同理①得：PG=-a
则此时有：GP(BH+OH)= GP×BO=
解得：
则综上所述：或
【点拨】本题考查知识点较为综合，解题关键在于需要借助图像，分情况进行讨论，在第（2）问中，三角形以AB为腰长的等腰三角形的情况有三种，在第(3)问中，务必考虑P点横坐标的正负情况.
8．（1）画图见解析，；（2）答案见解析；（3）答案见解析.
【分析】（1）依据点A、C的坐标分别为A（-3，5）、C（0，3），即可得到平面直角坐标系；
（2）依据旋转方向、旋转中心以及旋转角度，即可得到△A1B1C1；
（3）作点C关于直线y=1的对称点'，连接AC'，与直线的交点P即为所求．
解：（1）平面直角坐标系如图所示，点B的坐标为(﹣2，1)；
（2）如图所示，△111即为所求；
（3）作点C关于直线的对称点'，连接AC'，与直线的交点P即为所求．
如图所示，点P的坐标为(﹣1，1)．
【点拨】本题主要考查了利用旋转变换作图以及轴对称性质的运用，涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
9．（1）图见解析，A′（0，2），B′（2，4），C′（4，1）（2）P(0,-3)，图见解析．
【分析】（1）根据关于x轴对称点的性质得出对应点位置，顺次连接即可，再利用所画图形写出各点坐标；
（2）利用轴对称求出最短路径即可．
解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求,
A′（0，2），B′（2，4），C′（4，1）；
（2）如图所示：P点即为所求，P(0,-3)
找到B点关于y轴对称点B″，连接B″C，交y轴于点P，
此时PA＋PB的值最小．
【点拨】此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路径，根据题意得出对应点坐标是解题关键．
10．或或或或
【分析】分三种情况：当时，当时，当时分别进行讨论即可．
解：设点，根据勾股定理有
，，
当时,有
=
解得
∴
当时,有
解得或
∴或
当时,有
解得或
∴或
综上所述，P的坐标为或或或或
【点拨】本题主要考查等腰三角形的定义及勾股定理，分情况讨论是解题的关键．
11．（1）见解析；（2）（-1，1），；（3）见解析
【分析】（1）把点A向右平移2个单位，向下平移4个单位就是原点的位置，建立相应的平面直角坐标系；
（2）作线段AB的垂直平分线，寻找满足腰长是无理数的点C即可，利用格点三角形分别求出三边的长度，即可求出△ABC的周长；
（3）分别找出A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接即可．
解：（1）把点A向右平移2个单位，向下平移4个单位就是原点的位置，建立相应的平面直角坐标系，如图；
（2）作线段AB的垂直平分线，寻找满足腰长是无理数的点C，点C的坐标为（-1，1），
，
AC=BC=，
则△ABC的周长为：；
（3）分别找出A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接，如图所示.
【点拨】本题是对坐标系和轴对称的综合考查，熟练掌握轴对称，垂直平分线性质和勾股定理是解决本题的关键.
12．（1）或 ；（2）（-2，2）或（2，2）或（-2，0）
【分析】(1)设P（m，0），由S△PAB=3S△OAB，列方程|2−m|×2＝3××2×2，求得结果；
(2)根据直角坐标系作图即可求解．
解：（1）存在，
设P（m，0），
∵S△PAB=3S△OAB，
∴PA•OB＝3×OA•OB，
即：|2−m|×2＝3××2×2，
解得：m＝−4，m＝8，
∴P（−4，0）或P（8，0）；
（2）如图，△AOB≌△OBP1, △AOB≌△P2OB, △AOB≌△P3OB,
由直角坐标系可得P1（-2，2），P1（2，2），P1（-2，0）
故答案为：（-2，2）或（2，2）或（-2，0）．
【点拨】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角坐标系的特点及三角形的面积公式．
13．（1）图见详解，5；（2）存在；P点的坐标为（0，5）或（0，-3）．
【分析】（1）由题意根据点的坐标，直接描点以及根据点的坐标可知，AB∥x轴，且AB=3-（-2）=5，点C到线段AB的距离3-1=2，根据三角形面积公式求解；
（2）根据题意可知因为AB=5，要求△ABP的面积为10，只要P点到AB的距离为4即可，又P点在y轴上，满足题意的P点有两个．
解：（1）描点如图；
依题意，得AB∥x轴，且AB=3-（-2）=5，
∴；
（2）存在；
∵AB=5，S△ABP=10，
∴P点到AB的距离为4，
又点P在y轴上，
∴P点的坐标为（0，5）或（0，-3）．
【点拨】本题考查点的坐标的表示方法，熟练掌握并能根据点的坐标表示三角形的底和高以及求三角形的面积．
14．（1）见解析；（2）；（3）存在，点的坐标为或
【分析】（1）根据点的坐标，直接描点；
（2）根据点的坐标可知，AB∥y轴，且AB=3-（-2）=5，点C到线段AB的距离5，根据三角形面积公式求解；
（3）要求△ABP的面积为10，只要P点到AB的距离为4即可，又P点在x轴上，满足题意的P点有两个．
解：（1）描点如图：
（2）由题意得，轴，且，
（3）存在；
，
点到的距离为 ，
又∵点在x轴上，
∴点的坐标为或．
【点拨】本题考查了点的坐标的表示方法，能根据点的坐标表示三角形的底和高并求三角形的面积是解答的关键．
15．（1）建立平面直角坐标系见解析，点的坐标；（2）见解析；（3）的面积为5；（4）存在，点的坐标为；；；．
【分析】（1）直接利用已知点确定原点的位置，建立平面直角坐标系进而得出答案；
（2）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，即可得出答案；
（4）分情况讨论P点位置，利用已知的面积得出P点位置即可．
解：（1）如图所示：
点的坐标；
（2）∵点的对应为点
∴向右平移了8个单位，向下平移了7个单位，
分别将点向右平移了8个单位，向下平移了7个单位得到点和点，如下图：
（3）的面积
（4）存在，
当在轴上时，由题意得
解得
∴点的坐标为；
当在轴上时，由题意得
解得
点的坐标为；
综上所述：点的坐标为；；；
【点拨】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出平移后对应点是解题关键．
16．（1）见解析；（2）（0，0）；（3）4
【分析】（1）根据平移的性质和轴对称的性质作出图形即可；
（2）连接BA2交x轴于点P，点P即为所求作；
（3）分三种情形讨论求解即可．
解：（1）如图，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求作．
（2）如图，点P即为所求作，P（0，0），
故答案为：（0，0）．
（3）如图，A为顶点的等腰三角形有2个，C为顶点的等腰三角形有一个，Q为顶点的等腰三角形有一个，共有4个．
故答案为4.
【点拨】本题考查作图﹣平移变换，轴对称变换，以及等腰三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．（1）OA=4，OC=3；（2）；（3）存在，，，
【分析】（1）由平方的非负性、绝对值的非负性解题；
（2）作轴与点D，，再由全等三角形的对应边相等性质解题；
（3）分三种情况讨论，当当点P在x轴的负半轴时，使AP=AC，或当点P在x轴的负半轴时，使CP=AC=5，或当点P在x轴的正半轴时，使AC=CP时，根据等腰三角形的性质解题．
解：⑴由.可知，
，
∴.
⑵作轴与点D，
⑶存在.
当点P在x轴的负半轴时，使AP=AC，则为等腰三角形，P的坐标为；
当点P在x轴的负半轴时，使CP=AC，由勾股定理得，CP=AC=5，则为等腰三角形，P的坐标为；
当点P在x轴的正半轴时，使AC=CP，则为等腰三角形，
， ；
所以存在，点P或或．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、绝对值的非负性、平方的非负性、勾股定理、分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18．（1）A点的坐标为（6，6）；（2）21；（3）（9，0）或（19，0）或（，0）或（6，0）
【分析】（1）过点A作AH⊥x轴于H，求出AH和OH即可；
（2）证明，表示出AP，CQ，根据OC=14求出t的值，得到AP，CQ，再根据面积公式计算即可；
（3）由以C、D、Q为顶点的三角形是等腰三角形时，分CD=CQ，DQ=DC，QD=QC三种情况讨论求解即可．
解：（1）过点A作AH⊥x轴于H，
∵
∴△AOH是等腰直角三角形
∴
∴A点的坐标为（6，6）
（2）∵
∵C点坐标为（14，0）
∵点D是对角线AC的中点
∴点D的坐标为（，），即（10，3）
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴∠
当PQ经过点D时，
在和中
∴△
∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形APCQ的面积为
即当PQ经过点D时，四边形APCQ的面积为21；
（3）∵
∴
当时，点Q的坐标为（9，0）或（19，0）
当时，设Q点的坐标为
∴
解得，
∴Q点坐标为（，0）
当DC=DQ时，点D在QC垂直平分线上，则点 Q横坐标为
∴Q点坐标为(6,0)
综上，点Q的坐标为（9，0）或（19，0）或（，0）或（6，0）
故答案为：（9，0）或（19，0）或（，0）或（6，0）
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是根据等腰三角形的判定进行分类讨论．
19．（1），，；（2）①，，；，；②7或25
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，利用勾股定理求出OA，从而可写出坐标．
（2）①分，，三种情况分别求解；
②当PA⊥AC时和PA⊥AB时，分两种情况求出解．
解：（1）∵△ABC为等腰三角形，
∴OB=OC=BC=4，又腰长AB=AC=5，
∴OA==3，
∴，，；
（2）①当时，与或重合，不可能；
当时，，
解得．
此时，
，．
当时，，此时，解得：，
，即；
②当时，，即，
．
当时，，
即，
．
【点拨】本题考查的坐标与图形，考查了点的坐标，等腰三角形的判定和勾股定理的知识点，解题的关键是掌握分类讨论思想．
20．（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4）见解析
【分析】（1）根据A点坐标为，B点坐标为建立平面直角坐标系即可；
（2）在线段AB的垂直平分线上找一个格点，使得格点到A、B的距离为无理数即可；
（3）分别算出△ABC的三边长再求周长即可；
（4）根据轴对称图形的作图方法作图即可．
解：（1）平面直角坐标系如下图所示：
（2）如下图，△ABC即为所求．
（3）∵，，
∴△ABC的周长，
故答案为：．
（4）如下图，△A′B′C′即为所求．
【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系建立、等腰三角形及周长、轴对称作图等，熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键．
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）10
【分析】（1）在取点即可；
（2）取点，连交直线于即可；
（3）取点，连交轴于即可；
（4）分别以为腰或底寻找符合情况的格点即可．
解：（1）如图，；
（2）取点，连交直线于；
（3）取点，连交轴于；
（4）如图：符合题意的点P有10个．
【点拨】本题考查了复杂作图，涉及到的知识点，全等三角形的性质，三角形的高，作相等的角，等腰三角形的性质，熟知以上图形的性质特点是解本题的关键．
22．（1）E （3，1），F（1，2）；（2）+；（3）正半轴P（0，4），，负半轴P（0，-2．5）．
【解析】
试题分析：（1）根据已知条件直接写出点的坐标即可；（2）作点F关于y轴的对称点F’，连接EF’， 与y轴交于点M，则点M就是所求点．根据勾股定理可求得EF’和BE的长，即可得三角形MFE的周长最小值．（3）分三种情况讨论解答即可．
试题解析：（1）（3，1）；F（1，2）．
（2）存在点M，使得三角形MFE的周长最小．
如图①，作点F关于y轴的对称点F’，连接EF’，与y轴交于点M，则点M就是所求点．
∵F'(-1,2)．
∴BF'=4．
在Rt△BEF’中，BF'=4，BE=2，根据勾股定理可得，EF’=EB2+BF'2=12+42=17．
在Rt△BEF中，由勾股定理可得EF=．
∴三角形MFE的周长最小为+．
（3）设点P的坐标为（0，n），其中n＞0，
∵顶点F（1，2），
∴设抛物线解析式为．
①如图②，当EF=PF时，，
．
解得（舍去）；．
．
．
解得．
抛物线的解析式为
②如图③，当时，，
．
解得．
③当时，，这种情况不存在．
综上所述，符合条件的抛物线解析式是．
考点：二次函数综合题．
23．（1）画图见解析，(2,-2),(1,0),(3,-1)
（2）存在点D使得△COD为等腰三角形，
满足条件的点D在坐标轴上的坐标.D1(6,0);D2(,0);D3(,0);D4(-,0);D5(0,5);D6(0, );D7(0,2);D8(0,- );（答案不唯一，正确即可得分）
解：试题分析：（1）按照条件画出即可，并根据关于X轴对称的点的特点写出点的坐标
（2）只要是线段OC垂直平分线上的点均满足条件，这样的点有很多
试题解析：(1)如图△即为所做的三角形.
其中(2,-2),(1,0),(3,-1).
(2)存在点D使得△COD为等腰三角形，（答案不唯一，正确即可得分）
提示：如图所示，满足条件的点D在坐标轴上的坐标.D1(6,0);D2(,0);D3(,0);D4(-,0);D5(0,5);D6(0, );D7(0,2);D8(0,- );或垂直平分线上任一点即可.
考点：1、关于X轴对称的点的坐标特征；2、线段的垂直平分线；3、等腰三角形的判定
24．(1)①E(3，1)，F(1，2)；②y＝2(x﹣1)2+2；③存在，四边形MNFE的周长最小值是5+；(2)点D坐标为(5﹣2，0).
【分析】（1）①△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，可以知道四边形ADFB是正方形，因而BF＝AB＝OC＝2，则CF＝3﹣2＝1，因而E、F的坐标就可以求出．
②顶点为F的坐标根据第一问可以求得是（1，2），因而抛物线的解析式可以设为y＝a（x﹣1）2+2，以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，应分EF是腰和底边两种情况进行讨论．当EF是腰，EF＝PF时，已知E、F点的坐标可以求出EF的长，设P点的坐标是（0，n），根据勾股定理就可以求出n的值．得到P的坐标．当EF是腰，EF＝EP时，可以判断E到y轴的最短距离与EF的大小关系，只有当EF大于E到y轴的距离，P才存在．当EF是底边时，EP＝FP，根据勾股定理就可以得到关于n的方程，就可以解得n的值．
③作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．求出线段E′F′的长度，就是四边形MNFE的周长的最小值．
（2）过A'作x轴的垂线MN得到等腰Rt△A'ND，由四边形A'BGF为正方形可得A'F＝A'B＝AB＝2，且△A'BF是等腰直角三角形，即能求BF的长，进而求A'M、CM，易得OD＝ON+DN＝CM+A'N，即求出D的坐标．
解：(1)①∵矩形OABC中，OA＝3，OC＝2
∴∠BAO＝∠ABC＝90°，AB＝OC＝2，BC＝OA＝3
∴B(3，2)
∵E为AB中点
∴E(3，1)
∵△BDA沿BD翻折得△BDA'，点A'落在BC边上的F处，
∴∠BA'D＝∠BAD＝90°，AD＝A'D
∴四边形ABA'D是正方形
∴A'D＝AD＝A'B＝AB＝2
∴A'C＝BC﹣A'B＝1
∴F(1，2)
②∵抛物线顶点F(1，2)，
∴设抛物线解析式为y＝a(x﹣1)2+2(a≠0)
在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，BE＝1，BF＝2
∴EF＝
设点P的坐标为(0，n)，其中n＞0
i)如图1，当EF＝PF时，PF2＝EF2＝5
∴12+(n﹣2)2＝5
解得：n1＝0(舍去)；n2＝4
∴P(0，4)
∴4＝a(0﹣1)2+2
解得：a＝2
∴抛物线的解析式为y＝2(x﹣1)2+2
ii)如图2，当EP＝FP时，EP2＝FP2，
∴(2﹣n)2+1＝(1﹣n)2+32
解得：n＝- (舍去)
iii)当EF＝EP时，EP＝，这种情况不存在．
综上所述，符合条件的抛物线解析式是y＝2(x﹣1)2+2．
③存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小．
如图3，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，
连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点
∴E′(3，﹣1)，F′(﹣1，2)，NF＝NF′，ME＝ME′
∴BF′＝4，BE′＝3
∴FN+NM+ME＝F′N+NM+ME′＝E′F′＝
∵EF＝
∴FN+MN+ME+EF＝5+
∴四边形MNFE的周长最小值是5+．
(2)如图4，过点A'作MN⊥x轴于点N，交BC于点M
∴MN⊥BC，∠A'ND＝90°，四边形OCMN是矩形
∴ON＝CM，MN＝OC＝2
∵四边形A'BGF是正方形
∴A'F＝A'B＝AB＝2
∴BF＝
∴A'M＝BM＝FM＝BF＝
∴ON＝CM＝BC﹣BM＝3﹣，A'N＝MN﹣A'M＝2﹣
∵∠A'DN＝∠A'FM＝45°
∴DN＝A'N＝2﹣
∴OD＝ON+DN＝
∴点D坐标为(5﹣2，0)
【点拨】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的分类讨论，最短路径，等腰直角三角形性质．解题关键是求线段和最小值问题，其基本解决思路是根据对称转化为两点之间的距离的问题．
25．（1）0，1，-1，-1；（2）等腰直角；（3）8．
【分析】（1）根据平面直角坐标系可直接写出A、B的坐标；
（2）画出图形，利用勾股定理计算出AB2、CB2、AC2，再利用逆定理证明△ACB是等腰直角三角形；
（3）分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆可得P的位置及个数．
解：（1）根据平面直角坐标系可得A（0，1），B（-1，-1），
故答案为：0；1；-1；-1；
（2）∵AB2=12+22=5，CB2=12+22=5，AC2=12+32=10，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ACB是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角；
（3）如图所示：
，
满足条件的点P有8个，
故答案为：8．
【点拨】此题考查等腰三角形的判定，平面直角坐标系中点的坐标，勾股定理和逆定理，解题关键是掌握两边相等的三角形是等腰三角形．
26．（1）点A（0,5），点B（10，0）；（2）点的坐标为（4，0）或（，0）；（3）点的坐标点（0，5+）或（0，5-）或（0，-5）或（0，）．
【分析】（1）过C作CE⊥OB于E，设OA=x，在Rt△DAC中利用勾股定理列方程，解方程求出点A坐标，再设OB=m，利用勾股定理列方程，可求点B坐标；
（2）先求S△ABC，点N分两种情况，当点N在OB上，以NB为底，OA为高，当点N在OB延长线上，以NB为底，CE为高，利用面积之差求出BN即可；
（3）先根据勾股定理求出AB=，由为等腰三角形，分两种情况，以AB为腰，或以AB为底，画出相应图形求解即可．
解：（1）过C作CE⊥OB于E，
设OA=x，
∵点C（4，8）
∴DC=4，OD=8，AD=OD-OA=8-x，
∵将沿直线翻折使点落在点处，
∴AC=AO=x,
在Rt△DAC中
即
解得x=5
∴点A（0,5），
设OB=m，
∵OE=4,CE=8,
∴EB=OM-OE=m-4,BC=m，
在Rt△CEB中，
即，
解得m=10，
∴点B（10，0）；
（2）∵S△ABC=，
点N分两种情况，
当点N在OB上，以NB为底，OA为高，
∴S△ANB=，
则，
解得，
∴ON=OB-BN=10-6=4
∴点N（4，0），
当点N在OB延长线上，以NB为底，CE为高，
∴S△CNB=，
则，
∴解得，
∴ON=OB+BN=10+，
∴点N（，0）
综合点的坐标为（4，0）或（，0）；
（3）∵点A（0，5），点B（10，0）
∴AB=，
∵点是轴上一动点，当为等腰三角形，
分两种情况
以AB为腰，则AB=AP，
∴PA=AB=，
点P在OA延长线上，OP=OA+AP=5+，点P（0，5+）
点P在AO延长线上，OP=AP-OA=-5，点P（0，5-），
当AB=BP时，P为点A关于x轴的对称点，坐标为（0，-5）
以AB为底，则PA=PB
设点P（0，t）
5-t=
∴
解方程得，
∴点P（0，）
综合点的坐标点（0，5+）或（0，5-）或（0，-5）或（0，）．
【点拨】本题考查图形与坐标，三角形折叠性质，勾股定理，三角形面积，等腰三角形的判定与性质，掌握三角形折叠性质，勾股定理，三角形面积，等腰三角形的判定与性质．
27．（1）①（3，1）；②1；③t≥2或t≤-2
（2）0≤b≤3或-1≤b≤2
【分析】（1）①根据A，B关于直线x=2对称解决问题即可．
②求出直线OA与直线x=0.5的交点C的坐标即可判断．
③由题意A（t-1，0），B（t+1，0），根据△ABC上所有点到y轴的距离都不小于1，构建不等式即可解决问题．
（2）由题意AB=t-（t-1）=2，由△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，推出点D到AB的距离为1，分两种情形分别求解即可解决问题．
解：（1）①如图1所示
图1
由题意A（1，1），A，B关于直线x=2对称，
∴B（3，1）．
故答案为（3，1）．
②如图2所示
图2
由题意A（-0.5，1），直线l：x=0.5，
∵直线AC的解析式为y=-2x，
∴C（0.5，-1），
∴点C到x轴的距离为1，
故答案为1．
③由题意A（t-1，0），B（t+1，0），
∵△ABC上所有点到y轴的距离都不小于1，
∴t-1≥1或t+1≤-1，
解得t≥2或t≤-2．
故答案为t≥2或t≤-2．
（2）如图3所示
图3
∵A（t-1，0），B（t+1，0），
∴AB=t+1-（t-1）=2，
∵△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴点D到AB的距离为1，
∴当点D在AB上方时，若直线m上存在点P，△ABD上存在点K，满足PK=1，则0≤b≤3．
当点D在AB下方时，若直线m上存在点P，△ABD上存在点K，满足PK=1，则-1≤b≤2．
综上所述，0≤b≤3或-1≤b≤2．
故答案为0≤b≤3或-1≤b≤2
【点拨】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，轴对称，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数根据不等式解决问题，属于中考压轴题．
28．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据题意作PA⊥y轴于点A，QB⊥x轴于点B，根据点P的坐标得出和是等腰直角三角形，然后根据得出是等腰直角三角形，即可求解；
（2）根据题意表示出为（0，），为（，0），然后表示出关联点所在的表达式，将y=4代入表达式表示出横坐标，根据在线段上可表示出横坐标的取值范围，即可求出m的取值范围；
（3）根据题意求出当点P，Q，B三点重合时n的值，然后根据30°角的三角函数值求解即可．
解：（1）如图所示，作PA⊥y轴于点A，QB⊥x轴于点B，
∵P，，
∴，
∴，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴当时，点Q的坐标为，
∴与为45°－关联点的是；
（2）解：如图所示，
对点P（m，8）（）而言，依定义，要使，则有：
为（0，），为（，0），
于是函数（）上的点Q即为点P的45°-关联点，
若当点Q在线段MN上时，，则有，
由，得，
解得．
（3）∵点Q和点P在线段AB上，
当点P离B点越近时，点Q的横坐标越小，
∴当点P，Q，B三点重合，点和点和O点重合，
如图所示，
作PE⊥y轴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当线段上至少存在一对30°－关联点时，．
【点拨】此题考查了平面直角坐标系中的动点问题，等腰直角三角形的性质，三角函数等知识，解题的关键是根据题意表示出点的坐标．
专题3.15 平面直角坐标系背景下的存在性问题（专项练习）
一、单选题
1．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M(2，0)，在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（ ）
A．(3，1)或(3，3) B．(3，)或(3，3)
C．(3，)或(3，1) D．(3，)或(3，1)或(3，3)
2．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，且，在y轴上确定一点P，使为等腰三角形，则所有符合题意的点P的坐标有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．如图，在平面直角坐标系中有一矩形OABC．O为坐标原点，、，D为OA的中点，P为BC边上一点，若为等腰三角形，则所有满足条件的点P有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
4．在平面直角坐标系xOy中，若点A的坐标为（﹣3，3），点B的坐标为（2，1），存在x轴一点P，使AP+BP最小，则P点坐标是______．
5．如图，在中，，，以C为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M，使为等腰三角形，符合条件的点M有__________个．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A（3，4）．连接OA，
线段OA长______； (2)若在直线a上存在点P，使△AOP是以OA为腰的等腰三角形．那么所有满足条件的点P的坐标是________________．
三、解答题
7．如图，在平面直角坐标系中，已知 A（-2,0），B（0，m）两点，且线段AB= 2 ，以 AB 为边在第二象限内作正方形 ABCD．
（1）求点 B 的坐标
（2）在 x 轴上是否存在点 Q，使△QAB 是以 AB 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如果在坐标平面内有一点 P（a，3），使得△ABP 的面积与正方形 ABCD 的面 积相等，求 a 的值．
8．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点△ABC（顶点在网格线的交点上）的顶点A、C的坐标分别为A（﹣3，5）、C（0，3）．
（1）请在网格所在的平面内画出平面直角坐标系，并写出点B的坐标．
（2）将△ABC绕着原点顺时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1．
（3）在直线y＝1上存在一点P，使PA+PC的值最小，请直接写出点P的坐标．
9． 如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对称点，不写画法，写出、、的坐标）
（2）在轴上是否存在一点，使的值最小，若有，请作出点，并直接写出点的坐标，若没有，请说明理由．
10． 在平面直角坐标系中，已知点，在轴上找一点，使得是等腰三角形，求点的坐标.
11．如图是规格为的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：
（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点的坐标为；
（2）在第二象限内的格点上找一点，使点与线段组成一个以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，画出，则点的坐标是 ，的周长是 （结果保留根号）；
（3）作出关于轴对称的.
12．直线AB交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，2），
（1）若P是x轴上一动点，问是否存在点P，使得S△PAB=3S△OAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）若P是平面直角坐标系内一点，使得P，B，O为顶点的三角形与△AOB全等，请直接写出P点的坐标：
13．已知在平面直角坐标系中有三点、、请回答如下问题：
如图，在坐标系内描出点A、B、C的位置，求出以A、B、C三点为顶点的三角形的面积；
在y轴上否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14．已知在平面直角坐标系中有三点．请完成下列问题：
（1）在坐标系内描出点的位置，并画出．
（2）求出以三点为顶点的三角形的面积．
（3）在轴上是否存在点使以三点为顶点的三角形的面积为．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15． 如图，在正方形网格中，每个小方格的边长为个单位长度，的顶点，的坐标分别为，．
（1）请在图中建立平面直角坐标系，并写出点的坐标．
（2）平移，使点移动到点，画出平移后的，其中点与点对应，点与点对应．
（3）求的面积．
（4）在坐标轴上是否存在点，使的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称．
（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（2）在x轴上确定一点P，使BP＋A1P的值最小，直接写出P的坐标为 ；
（3）点Q在y轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则这样的Q点有 个．
17．已知在平面直角坐标系内的位置如图，，，、的长满足关系式．
（1）求、的长；
（2）求点的坐标；
（3）在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
18．如图1，以平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，以OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，OA＝6，OC＝14，∠AOC＝45°，D是对角线AC的中点，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB方向运动到点B，同时点Q从点0出发，以每秒3个单位的速度沿x轴正方向运动，当点P到达点B时，两个点同时停止运动．
（1）求点A的坐标；
（2）连结PQ，AQ，CP，当PQ经过点D时，求四边形APCQ的面积．
（3）当以C、D、Q为顶点的三角形是等腰三角形时，点Q的坐标为________（直接写出答案即可）
19． 如图，在等腰三角形中，底边，腰长为，以所在直线为x轴，以边上的高所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）直接写出点A、B、C的坐标．
（2）一动点P以的速度沿底边从点B向点C运动（P点不运动到C点），设点P运动的时间为t（单位：s）
①当t为何值时，是等腰三角形？并求出此时点P的坐标．
②当t为何值时，与一腰垂直？
20．作图
如图是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：
（1）在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（﹣2，4），B点坐标为（﹣4，2）；
（2）在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数；
（3）△ABC的周长＝ （结果保留根号）；
（4）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′．
21．平面直角坐标系的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．例如：、都是格点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，
要求：保留连线痕迹，不必说明理由．
（1）在图1中画出一个以为边且与全等的三角形；
（2）在图2中画出的高线；
（3）在图2中，在轴正半轴上找一点，使；
（4）在图2中，找格点使为等腰三角形，并指出：图中这样的点共有_______个．
22． 如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）在y轴上是否存在点M，使得三角形MFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
（3）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；若顶点为F的抛物线交y轴负半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形， 请直接写出点P的坐标．
23．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的三个顶点的坐标分别是：A（2，2），B（1，0），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并求出点A′、B′、C′的坐标．
（2）在坐标平面内是否存在点D，使得△COD为等腰三角形？若存在，直接写出点D的坐标（找出满足条件的两个点即可）；若不存在，请说明理由．
24．如图1，矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，以矩形的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．在直线OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，点A的对应点为点A'，直线DA'与直线BC的交点为F．
(1)如图2，当点A′恰好落在线段CB上时，取AB的中点E，
①直接写出点E、F的坐标；
②设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
③在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
(2)在平面内找一点G，连结BG、FG，使四边形A'BGF为正方形，求点D的坐标．
25．如图：在4×4的网格中存在线段AB，每格表示一个单位长度，并构建了平面直角坐标系．
（1）直接写出点A、B的坐标：A（ ， ），B（ ， ）；
（2）请在图中确定点C（1，﹣2）的位置并连接AC、BC，则△ABC是 三角形（判断其形状）；
（3）在现在的网格中（包括网格的边界）存在一点P，点P的横纵坐标为整数（在格点上），连接PA、PB后得到△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P有 个．
26．如图，在平面直角坐标系内，点是轴上的点，点是轴上的点，将沿直线翻折使点落在点处，过点作轴交轴于点，已知．
（1）直接写出、两点的坐标．
（2）若在轴上存在某点，使得以、、、四点为顶点的四边形面积为40，求点的坐标．
（3）若点是轴上一动点，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
27． 在平面直角坐标系中，点与点关于过点且垂直于轴的直线对称．
（1）以为底边作等腰三角形，
①当时，点的坐标为________；
②当且直线经过原点时，点与轴的距离为________；
③若上所有点到轴的距离都不小于1，则的取值范围是________．
（2）以为斜边作等腰直角三角形，直线过点且与轴平行，若直线上存在点，上存在点，满足，直接写出的取值范围．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点，轴正半轴上存在点，使，且（如图1），则称点与点为－关联点．
（1）在点，中，与为45°－关联点的是________；
（2）如图2，，， ．若线段上存在点，使点与点为45°－关联点，结合图象，求的取值范围；
（3）已知点，．若线段上至少存在一对30°－关联点，直接写出的取值范围．
参考答案
1．D
【分析】由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，设P（3，a），则AP＝a，BP＝4−a；分两种情况：①若∠CPM＝90°，②若∠CMP＝90°，根据勾股定理分别求出CP2、MP2、CM2，并根据图形列出关于a的方程，解得a的值，则可得答案．
解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，
∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4−a；
①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2＋BC2＝（4−a）2＋9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2，
在Rt△MPC中，由勾股定理得：
CM2＝MP2＋CP2＝1＋a2＋（4−a）2＋9＝2a2−8a＋26，
又∵CM2＝OM2＋OC2＝4＋16＝20，
∴2a2−8a＋26＝20，
∴（a−3）（a−1）＝0，
解得：a＝3或a＝1，
∴P（3，3）或（3，1）；
②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2＋BC2＝（4−a）2＋9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2，
∵CM2＝OM2＋OC2＝20，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：
CM2＋MP2＝CP2，
∴20＋1＋a2＝（4−a）2＋9，
解得：a＝．
∴P（3，）．
综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）．
故选：D．
【点拨】本题考查了矩形的性质及勾股定理在几何图形坐标计算中的应用，数形结合、分类讨论并根据题意正确地列式是解题的关键．
2．B
【分析】本题应分别讨论OA=OP、AP=OA、AP=OP的各种情况，即可得出答案．
解：
如图所示：点A的坐标为 (4,−3) ，则AB=5
（1）若OA=AP，则AP=5，此时点P（0，-6）；
（2）若OA=OP，则OP=5，此时点P（0，5），P（0，-5）；
（3）若AP=OP，设OP=AP=x，过A做OP的垂线交y轴与D点，由勾股定理得（x-3）+4 = x，解得x= ，则点P（0，-）．
故选：B．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质及坐标与图形性质，难度适中，关键是掌握△AOP为等腰三角形时，那么任意一对邻边可为等腰三角形，注意分情况讨论．
3．D
【分析】由矩形的性质得出∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，求出OD=AD=5，分情况讨论：①当PO=PD时；②当OP=OD时；③当DP=DO时；根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求出点P的坐标．
解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，
∵D为OA的中点，
∴OD=AD=5，
①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，
∴点P的坐标为：（2.5，4）；
②当OP=OD时，如图1所示：
则OP=OD=5，
∴点P的坐标为：（3，4）；
③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，
则∠PED=90°，；
分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：
OE=5-3=2，
∴点P的坐标为：（2，4）；
当E在D的右侧时，如图3所示：
OE=5+3=8，
∴点P的坐标为：（8，4）；
综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；
故选：D
【点拨】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．
4．(0.75,0)
【分析】首先求得点B关于x轴的对称点B'点的坐标,然后再求得直线AB'与x轴的交点坐标即可.
解：点B的坐标为(2,1),
点B关于x轴的对称点B'的坐标为(2,-1).
设直线AB'的解析式为y=kx+b,将点A、B'的坐标代入得:,
解得:k=,b=.
直线AB'的解析式为y=.
令y=0得=0,解得x=.
所以点P的坐标为(,0).
【点拨】本题主要考查点的对称以及待定系数法求函数解析式，正确确定P的位置是关键.
5．6
【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形”，分三种情况解答即可：①AB = AM；②BM = BA；③MA = MB．
解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，
交x轴有一点，交y轴有两点，
此时AB = AM，
为等腰三角形；
②以B为圆心，BA为半径画圆，
交直线x轴有两点，交y轴有一点，
此时BM = BA，
为等腰三角形；
③作AB的垂直平分线交y轴于点，交x轴于点，
此时MA = MB，
为等腰三角形，
是等边三角形，故重合
符合条件的点有6个，
故答案为：6．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．
6．5 （8，4）或（﹣3，4）或（﹣2，4）
【解析】
∵A(3,4)，
∴OB=3，AB=4，
∴OA=，
①若AP=OA,则点P的坐标为：(8,4)或(−2,4)，
②若AP=OP,设点P的坐标为：(x,4)，
则(x−3)2=x2+42，
解得：x=，
∴点P的坐标为(,4)；
③若OA=OP,设P的坐标为(x,4)，
则x2+42=52，
解得：x=±3，
∴点P的坐标为：(−3,4)；
∴所有满足条件的点P的坐标是：(8,4)或(−2,4)或(,4)或(−3,4).
故选：D.
点睛：本题考查了坐标与图形的性质、等腰三角形的性质及两点间的距离公式.在找符合题意 的点的坐标时，分两种情况讨论：OA为等腰三角形的一条腰，OA为底边，是正确解答本题的关键.同时要注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.
7．(1)（0，4）(2)存在，Q点坐标为（，0）或（，0）或（2，0）
(3) 或
【分析】（1）因为三角形ABO为直角三角形，所以可依据勾股定理求出OB的长度，即可求出点B的坐标.
（2）当AB=AQ时，三角形QAB为等腰三角形，当BQ=AB时，三角形QAB为等腰三角形，再根据AB的长度分别求出点Q的坐标即可.
（3）由P（a，3）可知，p点在y=3直线上运动，画出简图，当a＞0和当a＜0时，分两种情况进行分析.
解：(1)由题意知AB=，AO=2，根据勾股定理得
,所以点B的坐标为（0，4）
（2）设Q点坐标为（m，0）
当AB=AQ时，即AQ==，解得：m=或
则此时Q点坐标为（，0）（，0）
当BQ=AB时，BQ=，解得：m=2或-2
而m=-2时与A点重合，则m=2.
则Q的坐标为（2，0）
（3）①
由题意可知p点坐标为（a，3），则p点再y=3这条直线上，连接BP，AP，y=3与y轴的交点为H，与直线AB的交点为G，当a大于0时，如图所示：
此时三角形APB的面积可以由三角形PBG与三角形PGA的面积和求得.
设AB直线的函数解析式为y=kx+b，代入点A(-2，0)，B(0,4)得：
则G点的纵坐标与P点的纵坐标相等，则把y=3代入，得x=
则此时G点坐标为（，3），则PG=a-=
则三角形PBG与三角形PGA的面积和为：GP×BH×+ GP×OH×= GP(BH+OH)= GP×BO=
即
解得：.
②
当a小于0时，如图所示：
同理①得：PG=-a
则此时有：GP(BH+OH)= GP×BO=
解得：
则综上所述：或
【点拨】本题考查知识点较为综合，解题关键在于需要借助图像，分情况进行讨论，在第（2）问中，三角形以AB为腰长的等腰三角形的情况有三种，在第(3)问中，务必考虑P点横坐标的正负情况.
8．（1）画图见解析，；（2）答案见解析；（3）答案见解析.
【分析】（1）依据点A、C的坐标分别为A（-3，5）、C（0，3），即可得到平面直角坐标系；
（2）依据旋转方向、旋转中心以及旋转角度，即可得到△A1B1C1；
（3）作点C关于直线y=1的对称点'，连接AC'，与直线的交点P即为所求．
解：（1）平面直角坐标系如图所示，点B的坐标为(﹣2，1)；
（2）如图所示，△111即为所求；
（3）作点C关于直线的对称点'，连接AC'，与直线的交点P即为所求．
如图所示，点P的坐标为(﹣1，1)．
【点拨】本题主要考查了利用旋转变换作图以及轴对称性质的运用，涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
9．（1）图见解析，A′（0，2），B′（2，4），C′（4，1）（2）P(0,-3)，图见解析．
【分析】（1）根据关于x轴对称点的性质得出对应点位置，顺次连接即可，再利用所画图形写出各点坐标；
（2）利用轴对称求出最短路径即可．
解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求,
A′（0，2），B′（2，4），C′（4，1）；
（2）如图所示：P点即为所求，P(0,-3)
找到B点关于y轴对称点B″，连接B″C，交y轴于点P，
此时PA＋PB的值最小．
【点拨】此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路径，根据题意得出对应点坐标是解题关键．
10．或或或或
【分析】分三种情况：当时，当时，当时分别进行讨论即可．
解：设点，根据勾股定理有
，，
当时,有
=
解得
∴
当时,有
解得或
∴或
当时,有
解得或
∴或
综上所述，P的坐标为或或或或
【点拨】本题主要考查等腰三角形的定义及勾股定理，分情况讨论是解题的关键．
11．（1）见解析；（2）（-1，1），；（3）见解析
【分析】（1）把点A向右平移2个单位，向下平移4个单位就是原点的位置，建立相应的平面直角坐标系；
（2）作线段AB的垂直平分线，寻找满足腰长是无理数的点C即可，利用格点三角形分别求出三边的长度，即可求出△ABC的周长；
（3）分别找出A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接即可．
解：（1）把点A向右平移2个单位，向下平移4个单位就是原点的位置，建立相应的平面直角坐标系，如图；
（2）作线段AB的垂直平分线，寻找满足腰长是无理数的点C，点C的坐标为（-1，1），
，
AC=BC=，
则△ABC的周长为：；
（3）分别找出A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接，如图所示.
【点拨】本题是对坐标系和轴对称的综合考查，熟练掌握轴对称，垂直平分线性质和勾股定理是解决本题的关键.
12．（1）或 ；（2）（-2，2）或（2，2）或（-2，0）
【分析】(1)设P（m，0），由S△PAB=3S△OAB，列方程|2−m|×2＝3××2×2，求得结果；
(2)根据直角坐标系作图即可求解．
解：（1）存在，
设P（m，0），
∵S△PAB=3S△OAB，
∴PA•OB＝3×OA•OB，
即：|2−m|×2＝3××2×2，
解得：m＝−4，m＝8，
∴P（−4，0）或P（8，0）；
（2）如图，△AOB≌△OBP1, △AOB≌△P2OB, △AOB≌△P3OB,
由直角坐标系可得P1（-2，2），P1（2，2），P1（-2，0）
故答案为：（-2，2）或（2，2）或（-2，0）．
【点拨】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角坐标系的特点及三角形的面积公式．
13．（1）图见详解，5；（2）存在；P点的坐标为（0，5）或（0，-3）．
【分析】（1）由题意根据点的坐标，直接描点以及根据点的坐标可知，AB∥x轴，且AB=3-（-2）=5，点C到线段AB的距离3-1=2，根据三角形面积公式求解；
（2）根据题意可知因为AB=5，要求△ABP的面积为10，只要P点到AB的距离为4即可，又P点在y轴上，满足题意的P点有两个．
解：（1）描点如图；
依题意，得AB∥x轴，且AB=3-（-2）=5，
∴；
（2）存在；
∵AB=5，S△ABP=10，
∴P点到AB的距离为4，
又点P在y轴上，
∴P点的坐标为（0，5）或（0，-3）．
【点拨】本题考查点的坐标的表示方法，熟练掌握并能根据点的坐标表示三角形的底和高以及求三角形的面积．
14．（1）见解析；（2）；（3）存在，点的坐标为或
【分析】（1）根据点的坐标，直接描点；
（2）根据点的坐标可知，AB∥y轴，且AB=3-（-2）=5，点C到线段AB的距离5，根据三角形面积公式求解；
（3）要求△ABP的面积为10，只要P点到AB的距离为4即可，又P点在x轴上，满足题意的P点有两个．
解：（1）描点如图：
（2）由题意得，轴，且，
（3）存在；
，
点到的距离为 ，
又∵点在x轴上，
∴点的坐标为或．
【点拨】本题考查了点的坐标的表示方法，能根据点的坐标表示三角形的底和高并求三角形的面积是解答的关键．
15．（1）建立平面直角坐标系见解析，点的坐标；（2）见解析；（3）的面积为5；（4）存在，点的坐标为；；；．
【分析】（1）直接利用已知点确定原点的位置，建立平面直角坐标系进而得出答案；
（2）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，即可得出答案；
（4）分情况讨论P点位置，利用已知的面积得出P点位置即可．
解：（1）如图所示：
点的坐标；
（2）∵点的对应为点
∴向右平移了8个单位，向下平移了7个单位，
分别将点向右平移了8个单位，向下平移了7个单位得到点和点，如下图：
（3）的面积
（4）存在，
当在轴上时，由题意得
解得
∴点的坐标为；
当在轴上时，由题意得
解得
点的坐标为；
综上所述：点的坐标为；；；
【点拨】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出平移后对应点是解题关键．
16．（1）见解析；（2）（0，0）；（3）4
【分析】（1）根据平移的性质和轴对称的性质作出图形即可；
（2）连接BA2交x轴于点P，点P即为所求作；
（3）分三种情形讨论求解即可．
解：（1）如图，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求作．
（2）如图，点P即为所求作，P（0，0），
故答案为：（0，0）．
（3）如图，A为顶点的等腰三角形有2个，C为顶点的等腰三角形有一个，Q为顶点的等腰三角形有一个，共有4个．
故答案为4.
【点拨】本题考查作图﹣平移变换，轴对称变换，以及等腰三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．（1）OA=4，OC=3；（2）；（3）存在，，，
【分析】（1）由平方的非负性、绝对值的非负性解题；
（2）作轴与点D，，再由全等三角形的对应边相等性质解题；
（3）分三种情况讨论，当当点P在x轴的负半轴时，使AP=AC，或当点P在x轴的负半轴时，使CP=AC=5，或当点P在x轴的正半轴时，使AC=CP时，根据等腰三角形的性质解题．
解：⑴由.可知，
，
∴.
⑵作轴与点D，
⑶存在.
当点P在x轴的负半轴时，使AP=AC，则为等腰三角形，P的坐标为；
当点P在x轴的负半轴时，使CP=AC，由勾股定理得，CP=AC=5，则为等腰三角形，P的坐标为；
当点P在x轴的正半轴时，使AC=CP，则为等腰三角形，
， ；
所以存在，点P或或．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、绝对值的非负性、平方的非负性、勾股定理、分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18．（1）A点的坐标为（6，6）；（2）21；（3）（9，0）或（19，0）或（，0）或（6，0）
【分析】（1）过点A作AH⊥x轴于H，求出AH和OH即可；
（2）证明，表示出AP，CQ，根据OC=14求出t的值，得到AP，CQ，再根据面积公式计算即可；
（3）由以C、D、Q为顶点的三角形是等腰三角形时，分CD=CQ，DQ=DC，QD=QC三种情况讨论求解即可．
解：（1）过点A作AH⊥x轴于H，
∵
∴△AOH是等腰直角三角形
∴
∴A点的坐标为（6，6）
（2）∵
∵C点坐标为（14，0）
∵点D是对角线AC的中点
∴点D的坐标为（，），即（10，3）
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴∠
当PQ经过点D时，
在和中
∴△
∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形APCQ的面积为
即当PQ经过点D时，四边形APCQ的面积为21；
（3）∵
∴
当时，点Q的坐标为（9，0）或（19，0）
当时，设Q点的坐标为
∴
解得，
∴Q点坐标为（，0）
当DC=DQ时，点D在QC垂直平分线上，则点 Q横坐标为
∴Q点坐标为(6,0)
综上，点Q的坐标为（9，0）或（19，0）或（，0）或（6，0）
故答案为：（9，0）或（19，0）或（，0）或（6，0）
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是根据等腰三角形的判定进行分类讨论．
19．（1），，；（2）①，，；，；②7或25
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，利用勾股定理求出OA，从而可写出坐标．
（2）①分，，三种情况分别求解；
②当PA⊥AC时和PA⊥AB时，分两种情况求出解．
解：（1）∵△ABC为等腰三角形，
∴OB=OC=BC=4，又腰长AB=AC=5，
∴OA==3，
∴，，；
（2）①当时，与或重合，不可能；
当时，，
解得．
此时，
，．
当时，，此时，解得：，
，即；
②当时，，即，
．
当时，，
即，
．
【点拨】本题考查的坐标与图形，考查了点的坐标，等腰三角形的判定和勾股定理的知识点，解题的关键是掌握分类讨论思想．
20．（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4）见解析
【分析】（1）根据A点坐标为，B点坐标为建立平面直角坐标系即可；
（2）在线段AB的垂直平分线上找一个格点，使得格点到A、B的距离为无理数即可；
（3）分别算出△ABC的三边长再求周长即可；
（4）根据轴对称图形的作图方法作图即可．
解：（1）平面直角坐标系如下图所示：
（2）如下图，△ABC即为所求．
（3）∵，，
∴△ABC的周长，
故答案为：．
（4）如下图，△A′B′C′即为所求．
【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系建立、等腰三角形及周长、轴对称作图等，熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键．
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）10
【分析】（1）在取点即可；
（2）取点，连交直线于即可；
（3）取点，连交轴于即可；
（4）分别以为腰或底寻找符合情况的格点即可．
解：（1）如图，；
（2）取点，连交直线于；
（3）取点，连交轴于；
（4）如图：符合题意的点P有10个．
【点拨】本题考查了复杂作图，涉及到的知识点，全等三角形的性质，三角形的高，作相等的角，等腰三角形的性质，熟知以上图形的性质特点是解本题的关键．
22．（1）E （3，1），F（1，2）；（2）+；（3）正半轴P（0，4），，负半轴P（0，-2．5）．
【解析】
试题分析：（1）根据已知条件直接写出点的坐标即可；（2）作点F关于y轴的对称点F’，连接EF’， 与y轴交于点M，则点M就是所求点．根据勾股定理可求得EF’和BE的长，即可得三角形MFE的周长最小值．（3）分三种情况讨论解答即可．
试题解析：（1）（3，1）；F（1，2）．
（2）存在点M，使得三角形MFE的周长最小．
如图①，作点F关于y轴的对称点F’，连接EF’，与y轴交于点M，则点M就是所求点．
∵F'(-1,2)．
∴BF'=4．
在Rt△BEF’中，BF'=4，BE=2，根据勾股定理可得，EF’=EB2+BF'2=12+42=17．
在Rt△BEF中，由勾股定理可得EF=．
∴三角形MFE的周长最小为+．
（3）设点P的坐标为（0，n），其中n＞0，
∵顶点F（1，2），
∴设抛物线解析式为．
①如图②，当EF=PF时，，
．
解得（舍去）；．
．
．
解得．
抛物线的解析式为
②如图③，当时，，
．
解得．
③当时，，这种情况不存在．
综上所述，符合条件的抛物线解析式是．
考点：二次函数综合题．
23．（1）画图见解析，(2,-2),(1,0),(3,-1)
（2）存在点D使得△COD为等腰三角形，
满足条件的点D在坐标轴上的坐标.D1(6,0);D2(,0);D3(,0);D4(-,0);D5(0,5);D6(0, );D7(0,2);D8(0,- );（答案不唯一，正确即可得分）
解：试题分析：（1）按照条件画出即可，并根据关于X轴对称的点的特点写出点的坐标
（2）只要是线段OC垂直平分线上的点均满足条件，这样的点有很多
试题解析：(1)如图△即为所做的三角形.
其中(2,-2),(1,0),(3,-1).
(2)存在点D使得△COD为等腰三角形，（答案不唯一，正确即可得分）
提示：如图所示，满足条件的点D在坐标轴上的坐标.D1(6,0);D2(,0);D3(,0);D4(-,0);D5(0,5);D6(0, );D7(0,2);D8(0,- );或垂直平分线上任一点即可.
考点：1、关于X轴对称的点的坐标特征；2、线段的垂直平分线；3、等腰三角形的判定
24．(1)①E(3，1)，F(1，2)；②y＝2(x﹣1)2+2；③存在，四边形MNFE的周长最小值是5+；(2)点D坐标为(5﹣2，0).
【分析】（1）①△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，可以知道四边形ADFB是正方形，因而BF＝AB＝OC＝2，则CF＝3﹣2＝1，因而E、F的坐标就可以求出．
②顶点为F的坐标根据第一问可以求得是（1，2），因而抛物线的解析式可以设为y＝a（x﹣1）2+2，以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，应分EF是腰和底边两种情况进行讨论．当EF是腰，EF＝PF时，已知E、F点的坐标可以求出EF的长，设P点的坐标是（0，n），根据勾股定理就可以求出n的值．得到P的坐标．当EF是腰，EF＝EP时，可以判断E到y轴的最短距离与EF的大小关系，只有当EF大于E到y轴的距离，P才存在．当EF是底边时，EP＝FP，根据勾股定理就可以得到关于n的方程，就可以解得n的值．
③作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．求出线段E′F′的长度，就是四边形MNFE的周长的最小值．
（2）过A'作x轴的垂线MN得到等腰Rt△A'ND，由四边形A'BGF为正方形可得A'F＝A'B＝AB＝2，且△A'BF是等腰直角三角形，即能求BF的长，进而求A'M、CM，易得OD＝ON+DN＝CM+A'N，即求出D的坐标．
解：(1)①∵矩形OABC中，OA＝3，OC＝2
∴∠BAO＝∠ABC＝90°，AB＝OC＝2，BC＝OA＝3
∴B(3，2)
∵E为AB中点
∴E(3，1)
∵△BDA沿BD翻折得△BDA'，点A'落在BC边上的F处，
∴∠BA'D＝∠BAD＝90°，AD＝A'D
∴四边形ABA'D是正方形
∴A'D＝AD＝A'B＝AB＝2
∴A'C＝BC﹣A'B＝1
∴F(1，2)
②∵抛物线顶点F(1，2)，
∴设抛物线解析式为y＝a(x﹣1)2+2(a≠0)
在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，BE＝1，BF＝2
∴EF＝
设点P的坐标为(0，n)，其中n＞0
i)如图1，当EF＝PF时，PF2＝EF2＝5
∴12+(n﹣2)2＝5
解得：n1＝0(舍去)；n2＝4
∴P(0，4)
∴4＝a(0﹣1)2+2
解得：a＝2
∴抛物线的解析式为y＝2(x﹣1)2+2
ii)如图2，当EP＝FP时，EP2＝FP2，
∴(2﹣n)2+1＝(1﹣n)2+32
解得：n＝- (舍去)
iii)当EF＝EP时，EP＝，这种情况不存在．
综上所述，符合条件的抛物线解析式是y＝2(x﹣1)2+2．
③存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小．
如图3，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，
连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点
∴E′(3，﹣1)，F′(﹣1，2)，NF＝NF′，ME＝ME′
∴BF′＝4，BE′＝3
∴FN+NM+ME＝F′N+NM+ME′＝E′F′＝
∵EF＝
∴FN+MN+ME+EF＝5+
∴四边形MNFE的周长最小值是5+．
(2)如图4，过点A'作MN⊥x轴于点N，交BC于点M
∴MN⊥BC，∠A'ND＝90°，四边形OCMN是矩形
∴ON＝CM，MN＝OC＝2
∵四边形A'BGF是正方形
∴A'F＝A'B＝AB＝2
∴BF＝
∴A'M＝BM＝FM＝BF＝
∴ON＝CM＝BC﹣BM＝3﹣，A'N＝MN﹣A'M＝2﹣
∵∠A'DN＝∠A'FM＝45°
∴DN＝A'N＝2﹣
∴OD＝ON+DN＝
∴点D坐标为(5﹣2，0)
【点拨】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的分类讨论，最短路径，等腰直角三角形性质．解题关键是求线段和最小值问题，其基本解决思路是根据对称转化为两点之间的距离的问题．
25．（1）0，1，-1，-1；（2）等腰直角；（3）8．
【分析】（1）根据平面直角坐标系可直接写出A、B的坐标；
（2）画出图形，利用勾股定理计算出AB2、CB2、AC2，再利用逆定理证明△ACB是等腰直角三角形；
（3）分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆可得P的位置及个数．
解：（1）根据平面直角坐标系可得A（0，1），B（-1，-1），
故答案为：0；1；-1；-1；
（2）∵AB2=12+22=5，CB2=12+22=5，AC2=12+32=10，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ACB是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角；
（3）如图所示：
，
满足条件的点P有8个，
故答案为：8．
【点拨】此题考查等腰三角形的判定，平面直角坐标系中点的坐标，勾股定理和逆定理，解题关键是掌握两边相等的三角形是等腰三角形．
26．（1）点A（0,5），点B（10，0）；（2）点的坐标为（4，0）或（，0）；（3）点的坐标点（0，5+）或（0，5-）或（0，-5）或（0，）．
【分析】（1）过C作CE⊥OB于E，设OA=x，在Rt△DAC中利用勾股定理列方程，解方程求出点A坐标，再设OB=m，利用勾股定理列方程，可求点B坐标；
（2）先求S△ABC，点N分两种情况，当点N在OB上，以NB为底，OA为高，当点N在OB延长线上，以NB为底，CE为高，利用面积之差求出BN即可；
（3）先根据勾股定理求出AB=，由为等腰三角形，分两种情况，以AB为腰，或以AB为底，画出相应图形求解即可．
解：（1）过C作CE⊥OB于E，
设OA=x，
∵点C（4，8）
∴DC=4，OD=8，AD=OD-OA=8-x，
∵将沿直线翻折使点落在点处，
∴AC=AO=x,
在Rt△DAC中
即
解得x=5
∴点A（0,5），
设OB=m，
∵OE=4,CE=8,
∴EB=OM-OE=m-4,BC=m，
在Rt△CEB中，
即，
解得m=10，
∴点B（10，0）；
（2）∵S△ABC=，
点N分两种情况，
当点N在OB上，以NB为底，OA为高，
∴S△ANB=，
则，
解得，
∴ON=OB-BN=10-6=4
∴点N（4，0），
当点N在OB延长线上，以NB为底，CE为高，
∴S△CNB=，
则，
∴解得，
∴ON=OB+BN=10+，
∴点N（，0）
综合点的坐标为（4，0）或（，0）；
（3）∵点A（0，5），点B（10，0）
∴AB=，
∵点是轴上一动点，当为等腰三角形，
分两种情况
以AB为腰，则AB=AP，
∴PA=AB=，
点P在OA延长线上，OP=OA+AP=5+，点P（0，5+）
点P在AO延长线上，OP=AP-OA=-5，点P（0，5-），
当AB=BP时，P为点A关于x轴的对称点，坐标为（0，-5）
以AB为底，则PA=PB
设点P（0，t）
5-t=
∴
解方程得，
∴点P（0，）
综合点的坐标点（0，5+）或（0，5-）或（0，-5）或（0，）．
【点拨】本题考查图形与坐标，三角形折叠性质，勾股定理，三角形面积，等腰三角形的判定与性质，掌握三角形折叠性质，勾股定理，三角形面积，等腰三角形的判定与性质．
27．（1）①（3，1）；②1；③t≥2或t≤-2
（2）0≤b≤3或-1≤b≤2
【分析】（1）①根据A，B关于直线x=2对称解决问题即可．
②求出直线OA与直线x=0.5的交点C的坐标即可判断．
③由题意A（t-1，0），B（t+1，0），根据△ABC上所有点到y轴的距离都不小于1，构建不等式即可解决问题．
（2）由题意AB=t-（t-1）=2，由△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，推出点D到AB的距离为1，分两种情形分别求解即可解决问题．
解：（1）①如图1所示
图1
由题意A（1，1），A，B关于直线x=2对称，
∴B（3，1）．
故答案为（3，1）．
②如图2所示
图2
由题意A（-0.5，1），直线l：x=0.5，
∵直线AC的解析式为y=-2x，
∴C（0.5，-1），
∴点C到x轴的距离为1，
故答案为1．
③由题意A（t-1，0），B（t+1，0），
∵△ABC上所有点到y轴的距离都不小于1，
∴t-1≥1或t+1≤-1，
解得t≥2或t≤-2．
故答案为t≥2或t≤-2．
（2）如图3所示
图3
∵A（t-1，0），B（t+1，0），
∴AB=t+1-（t-1）=2，
∵△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴点D到AB的距离为1，
∴当点D在AB上方时，若直线m上存在点P，△ABD上存在点K，满足PK=1，则0≤b≤3．
当点D在AB下方时，若直线m上存在点P，△ABD上存在点K，满足PK=1，则-1≤b≤2．
综上所述，0≤b≤3或-1≤b≤2．
故答案为0≤b≤3或-1≤b≤2
【点拨】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，轴对称，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数根据不等式解决问题，属于中考压轴题．
28．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据题意作PA⊥y轴于点A，QB⊥x轴于点B，根据点P的坐标得出和是等腰直角三角形，然后根据得出是等腰直角三角形，即可求解；
（2）根据题意表示出为（0，），为（，0），然后表示出关联点所在的表达式，将y=4代入表达式表示出横坐标，根据在线段上可表示出横坐标的取值范围，即可求出m的取值范围；
（3）根据题意求出当点P，Q，B三点重合时n的值，然后根据30°角的三角函数值求解即可．
解：（1）如图所示，作PA⊥y轴于点A，QB⊥x轴于点B，
∵P，，
∴，
∴，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴当时，点Q的坐标为，
∴与为45°－关联点的是；
（2）解：如图所示，
对点P（m，8）（）而言，依定义，要使，则有：
为（0，），为（，0），
于是函数（）上的点Q即为点P的45°-关联点，
若当点Q在线段MN上时，，则有，
由，得，
解得．
（3）∵点Q和点P在线段AB上，
当点P离B点越近时，点Q的横坐标越小，
∴当点P，Q，B三点重合，点和点和O点重合，
如图所示，
作PE⊥y轴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当线段上至少存在一对30°－关联点时，．
【点拨】此题考查了平面直角坐标系中的动点问题，等腰直角三角形的性质，三角函数等知识，解题的关键是根据题意表示出点的坐标．
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