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初中数学北师大版八年级上册1 函数复习练习题
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这是一份初中数学北师大版八年级上册1 函数复习练习题
专题4.17 一次函数平移、旋转、折叠问题（拓展篇）（专项练习）类型一：折叠一、单选题1．在平面直角坐标系中，已知一次函数y=﹣x+6与x，y轴分别交于A，B两点，点C（0，n）是y轴上一点，把坐标平面沿直线AC折叠，点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（ ）A．（0，3） B．（0，） C．（0，） D．（0，）2．在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣x+6与x，y轴分别交于A，B两点，点C（0，n）是线段BO上一点，将△AOB沿直线AC折叠，点B刚好落在x轴负半轴上，则点C的坐标是（ ）A．（0，3） B．（0，） C．（0，） D．（0，）二、解答题3．如图， 一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB．若点C，求该一次函数的表达式．4．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接BC，将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为__．5．如图，一次函数y=-x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，线段AB的中点为D（3，2）．将△AOB沿直线CD折叠，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C．（1）求此一次函数的解析式；（2）求点C的坐标；（3）在坐标平面内存在点P（除点C外），使得以A、D、P为顶点的三角形与△ACD全等，请直接写出点P的坐标．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B．将△AOB沿过点B的直线折叠，使点O落在AB边上的点D处，折痕交x轴于点E．（1）求直线BE的解析式；（2）求点D的坐标；类型二：旋转7．已知：一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，以B为旋转中心，将△BOA逆时针旋转，得△BCD（其中O与C、A与D是对应的顶点）.（1）求AB的长；（2）当∠BAD=45°时，求D点的坐标；（3）当点C在线段AB上时，求直线BD的关系式.8．如图，一次函数y=(m+1)x+4的图像与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB的面积为4.（1）则= 及点的坐标为（ ）;（2）过点B作直线BP与轴的正半轴相交于点P,且OP=4OA，求直线BP的解析式；（3）将一次函数的图像绕点B顺时针旋转， 求旋转后的对应的函数表达式. 9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2，-1)、B(-1，1)、C(0，-2)． (1)点B关于坐标原点O对称的点的坐标为 ( )； (2)将△ABC绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C； (3)求过点B、B1的一次函数的解析式．10．在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交、轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C．（1）求直线BC的函数表达式；（2）若将直线AB绕点B逆时针方向旋转45°，请直接写出此时直线BC的函数表达式．11．如图，一个正比例函数y1=k1x的图象与一个一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A（3，4），且一次函数y2的图像与y轴相交于点B（0，—5），与x轴交于点C．（1）判断△AOB的形状并说明理由；（2）若将直线AB绕点A旋转，使△AOC的面积为8，求旋转后直线AB的函数解析式；（3）在x轴上求一点P使△POA为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．12．如图，一次函数的图像经过点，且与轴，轴分别交于两点．（1）填空： ；（2）将该直线绕点顺时针旋转至直线，过点作交直线于点，求点的坐标及直线的函数表达式．13．已知一次函数y＝x＋b的图象与x轴，y轴交于点A、B．（1）若将此函数图象沿x轴向右平移2个单位后经过原点，则b= ；（2）若函数y1＝x＋b图象与一次函数y2＝kx＋4的图象关于y轴对称，求k、b的值；（3）当b>0时，函数y1＝x＋b图象绕点B逆时针旋转n°（0°＜n°＜180°）后，对应的函数关系式为y＝－3x＋b，求n的值．14．如图，一次函数y＝－x＋m(m＞0)的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在线段OA上，点C的横坐标为n，点D在线段AB上，且AD＝2BD，将△ACD绕点D旋转180°后得到△A1C1D． （1）若点C1恰好落在y轴上，试求的值；（2）当n＝4时，若△A1C1D被y轴分得两部分图形的面积比为3：5，求该一次函数的解析式．15．如图1，点P(m，n)在一次函数y＝﹣x的图象上，将点P绕点A(﹣，﹣)逆时针旋转45°，旋转后的对应点为P′．（1）当m＝0时，求点P′的坐标；（2）试说明：不论m为何值，点P′的纵坐标始终不变；（3）如图2，过点P作x轴的垂线交直线AP′于点B，若直线PB与二次函数y＝﹣x2﹣x+2的图象交于点Q，当m＞0时，试判断点B是否一定在点Q的上方，请说明理由．16．如图，一个正比例函数y1=k1x的图象与一个一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A（3，4），且一次函数y2的图像与y轴相交于点B（0，—5），与x轴交于点C．（1）判断△AOB的形状并说明理由；（2）请写出当y1>y2时x的取值范围；（3）若将直线AB绕点A旋转，使△AOC的面积为8，求旋转后直线AB的函数解析式；（4）在x轴上求一点P使△POA为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．类型三：平移已知一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，以线段为直角边在第二象限内作等腰直角三角形，，如图①所示：（1）填空：________，________；（2）将绕点逆时针旋转，①当与轴平行时，则点的坐标是________；②当旋转角为时，得到，如图②所示，求过、两点直线的函数关系式；③在②的条件，旋转过程中扫过的图形的面积是多少？（3）将向右平移到的位置，点为直线上的一点，请直接写出扫过的图形的面积． 18．如图，直线是一次函数的图象．（1）求出这个一次函数的解析式； （2）将该函数的图象向下平移3个单位，求出平移后一次函数的解析式，并写出平移后的图像与轴的交点坐标19．已知一次函数y＝kx+b的图象过A(1，1)和B(2，﹣1)（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；（2）求直线y＝kx+b与坐标轴围成的三角形的面积；（3）将一次函数y＝kx+b的图象沿y轴向下平移3个单位，则平移后的函数表达式为 ，再向右平移1个单位，则平移后的函数表达式为 ．20．已知一次函数．（1）m为何值时，图象经过原点？（2）将该一次函数向下平移3个单位长度后得到的函数图象经过点，求平移后的函数解析式．21．已知是的一次函数，且当，；当时，．（1）求这个一次函数的表达式：（2）将该函数图象向下平移3个单位，求平移后图象的函数表达式．22．已知一次函数，随增大而增大，它的图象经过点且与轴的夹角为，确定这个一次函数的解析式；假设已知中的一次函数的图象沿轴平移两个单位，求平移以后的直线及直线与轴的交点坐标．23．已知一次函数y=kx﹣4，当x=2时，y=﹣2．（1）求此一次函数的解析式；（2）将该函数的图象向上平移3个单位，求平移后的图象与x轴的交点的坐标．24．已知一次函数（是常数，且）的图象过与两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若点在该一次函数图象上，求的值；（3）把的图象向下平移3个单位后得到新的一次函数图象，在图中画出新函数图象，并直接写出新函数图象对应的解析式．25．人教版八年级下册第19章《一次函数》中“思考”：这两个函数的图象形状都是直线，并且倾斜程度相同，函数y=-6x的图象经过原点，函数y=-6x+5的图象经与y轴交于点（0，5），即它可以看作直线y=-6x向上平移5个单位长度而得到。比较一次函数解析式y=kx+bk≠0与正比例函数解析式y=kxk≠0，容易得出：一次函数y=kx+bk≠0的图象可由直线y=kx通过向上（或向下）平移b个单位得到（当b>0时，向上平移，当b<0时，向下平移）。（结论应用）一次函数y=x-3的图象可以看作正比例函数 的图象向 平移 个单位长度得到；（类比思考）如果将直线y=-6x的图象向右平移5个单位长度，那么得到的直线的函数解析式是怎样的呢？我们可以这样思考：在直线y=-6x上任意取两点A（0，0）和B（1，-6），将点A（0，0）和B（1，-6）向右平移5个单位得到点C（5，0）和D（6，-6），连接CD，则直线CD就是直线AB向右平移5个单位长度后得到的直线，设直线CD的解析式为:y=kx+bk≠0，将C（5，0）和D（6，-6）代入得到：5k+b=06k+b=-6解得k=-6b=30，所以直线CD的解析式为：y=-6x+30；①将直线y=-6x向左平移5个单位长度，则平移后得到的直线解析式为 .②若先将直线y=-6x向左平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，得到直线l，则直线l的解析式为: .（拓展应用）已知直线l：y=2x+3与直线关于x轴对称，求直线的解析式.26．课本P152有段文字：把函数y=2x的图象分别沿y轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数y=2x+3或y=2x﹣3的图象．（阅读理解）小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？老师给了以下提示：如图1，在函数y=﹣2x的图象上任意取两个点A、B，分别向右平移3个单位长度，得到A′、B′，直线A′B′就是函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度后得到的图象.请你帮助小尧解决他的困难．（1）将函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为 ． A．y=﹣2x+3；B．y=﹣2x﹣3；C．y=﹣2x+6；D．y=﹣2x﹣6（解决问题）（2）已知一次函数的图象与直线y=﹣2x关于x轴对称，求此一次函数的表达式．（拓展探究）（3）一次函数y=﹣2x的图象绕点（2，3）逆时针方向旋转90°后得到的图象对应的函数表达式为 ．（直接写结果）27．某学校数学兴趣小组在探究一次函数性质时得到下面正确结论：对于两个一次函数y＝k1x+b1和y＝k2x+b2，若两个一次函数的图象平行，则k1＝k2且b1≠b2；若两个一次函数的图象垂直，则k1•k2＝﹣1．请你直接利用以上知识解答下面问题：如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，8），B（6，0），P（6，4）．（1）把直线AB向右平移使它经过点P，如果平移后的直线交y轴于点A′，交x轴于点B′，求直线A′B′的解析式；（2）过点P作直线PD⊥AB，垂足为点D，按要求画出直线PD并求出点D的坐标； 参考答案1．C【详解】分析：过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为A（8，0），B（0，6），得到AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD=CO=n，DA=OA=8，则DB=10-8=2，BC=6-n，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到n的方程，解方程求出n即可．详解：过C作CD⊥AB于D，如图，对于直线y=−x+6，当x=0，得y=6；当y=0，x=8，∴A(8,0),B(0,6)，即OA=8，OB=6，∴AB=10，又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，∴AC平分∠OAB，∴CD=CO=n，则BC=6−n，∴DA=OA=8，∴DB=10−8=2，在Rt△BCD中,DC2+BD2=BC2，∴n2+22=(6−n)2,解得n=，∴点C的坐标为(0,).故选C. 点睛：本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令x=0或y=0，求出对应的y或x的值；也考查了折叠的性质和勾股定理.2．D【解析】【分析】过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为A（8，0），B（0，6），得到AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD=CO=n，DA=OA=8，则DB=10-8=2，BC=6-n，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到n的方程，解方程求出n即可．【详解】过C作CD⊥AB于D，如图，对于直线y=-x+6，当x=0，得y=6；当y=0，x=8，∴A（8，0），B（0，6），即OA=8，OB=6，∴AB=10，又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，∴AC平分∠OAB，∴CD=CO=n，则BC=6-n，∴DA=OA=8，∴DB=10-8=2，在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2，∴n2+22=（6-n）2，解得n=，∴点C的坐标为（0，）．故选D．【点拨】本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令x=0或y=0，求对应的y或x的值；也考查了折叠的性质和勾股定理．3．y＝－x＋【详解】试题分析：求一次函数表达式，需要列两个方程.由C点坐标，利用勾股定理可以得到AC的长，AC=OA,也就得到了，A点坐标，得到第一个方程，同时，可以得到∠ACM=30°，所以，∠ABO=30°易得B点坐标，得到第二个方程，也就可以求出一次函数的表达式.如图，过点C作CM⊥x轴于点M，CN⊥y轴于点N.∵点C，∴OM＝NC＝，ON＝MC＝.∵将△AOB沿直线AB翻折得到△ACB，∴OA＝CA，OB＝CB.在Rt△CAM中，由勾股定理，得AC2＝AM2＋MC2，即OA2＝(OM－OA)2＋MC2，∴OA2＝＋，解得OA＝1.∴点A(1，0)．∴∠ACM=30°,∴∠ABO=30°,AB=2，∴OB=，点B(0，)．设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b.把点A，B的坐标代入，得，解得∴直线AB的函数表达式为y＝－x＋.点睛：求一次函数解析式需要列两个方程，联立求解，可以得到k,值.4．（﹣6，0）或（，0）．【分析】根据一次函数求出点A、B的坐标，根据勾股定理即可求出AB，然后根据点A落在y轴的位置分类讨论：当点A落在y轴的正半轴上时，设点C的坐标为（m，0），根据折叠的性质求出A′O和A′C，根据勾股定理列方程即可求出m；当点A落在y轴的负半轴上时，原理同上．【详解】解：∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，根据勾股定理可得AB＝=5，如图1，当点A落在y轴的正半轴上时，设点C的坐标为（m，0），∵将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，∴A′O＝3+5＝8，A′C＝AC＝4﹣m，∵A′C2＝OC2+A′O2，∴（4﹣m）2＝m2+82，∴m＝﹣6；如图2，当点A落在y轴的负半轴上时，设点C的坐标为（m，0），∵将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，∴A′O＝5﹣3＝2，A′C＝AC＝4﹣m，∵A′C2＝OC2+A′O2，∴（4﹣m）2＝m2+22，∴m＝；综上所述，当点A落在y轴上时，点C的坐标为（﹣6，0）或（，0），故答案为：（﹣6，0）或（，0）．【点拨】此题考查的是一次函数与图形综合题，掌握求一次函数与坐标轴的交点坐标、折叠的性质、勾股定理解直角三角形和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．5．（1）一次函数解析式为y=-x+4.（2）C（，0）；（3）P1（，4）；P2（，-2）；P3（，2）．【解析】试题分析：（1）根据线段中点的性质，可得B点，A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）OC=x，根据翻折变换的性质用x表示出BC的长，再根据勾股定理求解即可；（3）当△ACD≌△AP1D时，根据C、P点关于D点对称，可得P点坐标，当△ACD≌△DP2A时，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；当△ACD≌△DP3A时，根据线段中点的性质，可得答案．试题解析：（1）设A点坐标为（a，0），B点坐标为（0，b），由线段AB的中点为D（3，2），得=3，=2，解得a=6，b=4．即A（6，0），B（0，4）故一次函数解析式为y=-x+4.（2）如图1：连接BC，设OC=x，则AC=CB=6-x，∵∠BOA=90°，∴OB2+OC2=CB2，42+x2=（6-x）2，解得x=，即C（，0）；（3）①当△ACD≌△APD时，设P1（c，d），由D是PC的中点，得，=2，解得c=，d=4，即P1（，4）；如图2：，②当△ACD≌△DP2A时，做DE⊥AC与E，P2F⊥AC与F点，DE=2，CE=，由△CDE≌△AP2F，AF=CE=，P2F=DE=2，OF=6-=，∴P2（，-2）；③当△ACD≌△DP3A时，设P3（e，f）A是线段P2P3的中点，得，，解得e=，f=2，即P3（，2），综上所述：P1（，4）；P2（，-2）；P3（，2）．考点：一次函数综合题．6．(1)直线BE的解析式为y=x+2；(2)D(-3，).【解析】【分析】(1)先求出点A、B的坐标，继而根据勾股定理求出AB的长，根据折叠可得BD=BO，DE=OE，从而可得AD的长，设DE=OE=m，则AE=OA-m，在直角三角形AED中利用勾股定理求出m，从而得点E坐标，继而利用待定系数法进行求解即可；(2)过点D作DM⊥AO，垂足为M，根据三角形的面积可求得DM的长，继而可求得点D的坐标.【详解】(1)，令x=0，则y=2，令y=0，则，解得：x=-6，∴A(-6，0)，B(0，2)，∴OA=6，OB=2，∴AB==4，∵折叠，∴∠BDE=∠BOA=90°，DE=EO，BD=BO=2，∴∠ADE=90°，AD=AB-BD=2，设DE=EO=m，则AE=AO-OE=6-m，在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，即(6-m)2=m2+(2)2，解得：m=2，∴OE=2，∴E(-2，0)，设直线BE的解析式为：y=kx+b，把B、E坐标分别代入得：，解得：，∴直线BE的解析式为y=x+2；(2)过点D作DM⊥AO，垂足为M，由(1)DE=2，AE=AO-OE=4，∵S△ADE=，即，∴DM=，∴点D的纵坐标为，把y=代入，得，解得：x=-3，∴D(-3，).【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理的应用，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，点的坐标等，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.7．（1）5；（2）D（4，7）或（-4，1）；（3）y=-724x+4【解析】试题分析：（1）先分别求得一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标，再根据勾股定理求解即可；（2）根据旋转的性质结合△BOA的特征求解即可；（3）先根据点C在线段AB上判断出点D的坐标，再根据待定系数法列方程组求解即可.（1）在时，当时，，当时，∴；（2）由题意得D（4，7）或（-4，1）；（2）由题意得D点坐标为（4，）设直线BD的关系式为∵图象过点B（0，4），D（4，）∴，解得∴直线BD的关系式为y=-724x+4.考点：动点的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．8．（1）1，（-2,0）；（2）；（3）【分析】（1）先求得OB=4，然后根据三角形面积求得OA的长，即可求得A的坐标，把A的坐标代入y=（m+1）x+4，即可求得m的值；（2）利用OP=4OA=8可得到点P的坐标为（8，0），然后利用待定系数法求直线BP的函数解析式．（3）直线绕点顺时针旋转 的直线交轴于点，过点 于点,作轴.根据容易证明，确定F点的坐标【详解】解：（1）∵直线y=（m+1）x+4与y轴的交点B（0，4），∴OB=4，∵S△OAB=4，∴×OA×OB=4，∴OA=2，∴A（-2，0），把点A（-2，0）代入y=（m+1）x+4，得-2（m+1）+4=0，解得m=1；故答案为1，（-2,0）； (2)，设直线的解析式为，将代入得，直线的解析式为；（ 3）直线绕点顺时针旋转 的直线交轴于点，过点 于点,作轴，∵直线绕点顺时针旋转 ∴∠ABE=,∵, ∴∠BAF=∴AF=AB, ∠BAO+∠FAE=∵轴, ∠AOB=∴∠FHA=∠AOB=, ∠ABO+∠BAO=∴∠FAE=∠ABO在中∴FH=OA=2, HA=OB=4，设直线的解析式为，，直线的解析式为.【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．9．（1）（1，－1）；（2）所画图形如下：（3）【详解】试题分析：（1）根据两个点关于原点对称时的坐标的特征即可得到结果；（2）分别找到各点的对应点，然后顺次连接即可得到结果；（3）设过点B1的反比例函数解析式为，根据点B1的坐标利用待定系数法即可求得结果．（1）点B关于坐标原点O对称的点的坐标为（1，－1）；（2）所画图形如下：（3）由（2）得B1点坐标为（3，－1），设过点B1的反比例函数解析式为把点B1 （3，-1）代入中，得则过点B1的反比例函数的解析式为考点：本题考查的是旋转作图、待定系数法求函数解析式，关于原点对称的点的坐标点评：解答本题的关键是熟记关于原点对称的点的坐标的特征：横、纵坐标均互为相反数.10．（1）；（2）【分析】（1）根据已知条件结合一次函数图像特征求得、，然后添加辅助线“过点作交于点，垂足为点，过点作轴，垂足为点”，再利用全等三角形的判定和性质求得，最后根据待定系数法即可求得答案；（2）根据已知条件结合一次函数图像特征求得、，然后添加辅助线“过点作交于点，垂足为点，过点作轴，垂足为点”，再利用全等三角形的判定和性质求得，最后根据待定系数法即可求得答案．【详解】解：（1）∵一次函数的图像分别交、轴于点、∴点，点 ∴， 将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，过点作交于点，垂足为点，过点作轴，垂足为点，如图，∵，∴为等腰直角三角形 ∴∵，∴∴在和中∴ ∴，∴点坐标为 ∵直线过，设直线表达式为，代入得， 解得 ∴直线的解析式为：．（2）∵一次函数的图像分别交、轴于点、∴点，点 ∴， 将直线绕点按逆时针方向旋转，交轴于点，过点作交于点，垂足为点，过点作轴，垂足为点，如图，∵，∴为等腰直角三角形 ∴∵，∴∴在和中∴ ∴，∴∴点坐标为 ∵直线过，设直线表达式为，代入得解得 ∴直线的解析式为：．当直线AB绕点B按逆时针方向旋转45°时，直线BC的解析式为：【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．11．（1）△AOB是等腰三角形；理由见解析；（2）或y=-4x+16；（3）（，0）或（5，0）或（-5，0）或（6，0）．【解析】试题分析：（1）根据A的坐标求得OA和OB的长度即可判断；（2）首先根据三角形的面积公式求得OC的长，即可得到C的坐标，利用待定系数法即可求解；（3）已知等腰三角形POA中的一边OA，分：1）OA是底边；2）OA是腰，且A是顶角的顶点；3）OA是腰，且O是顶角的顶点．三种情况进行讨论．试题解析：（1）OA=，则OA=OB，∴△AOB是等腰三角形；（2）设OC=x，则x×4=8，解得：x=4，则C的坐标是：（-4，0）或（4，0）．设直线AB的解析式是：y=kx+b，当C的坐标是：（-4，0）时，根据题意得：，解得：，则直线的解析式是：；当C的坐标是（4，0）时，根据题意得：，解得：，则直线的解析式是：y=-4x+16；（3）把（3，4）代入y1=k1x得到：3k1=4，解得：k1=，当OA是底边时，OA的中点是（，2），设过OA的中点且与OA垂直的直线的解析式是：y=-x+b，根据题意得：b=，直线的解析式是：y=-x+，当y=0时，x=，则P的坐标是（，0）；当OA是腰，O是顶角的顶点时，OP=OA=5，则P的坐标是（5，0）或（-5，0）；当OA是腰，A是顶角的顶点时，AP=AO，则P与O关于x=3对称，则P的坐标是（6，0）．则P的坐标是：（，0）或（5，0）或（-5，0）或（6，0）．考点：一次函数综合题．12．（1）1；（2），【分析】（1）直接把点代入，即可求出b的值；（2）先求出直线AB的解析式，以及点A、B的坐标，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，由旋转的性质，则AB=BC，然后证明△ABO≌△BCD，得到BD=AO，CD=BO，即可求出点C的坐标，然后求出直线AC的解析式即可．【详解】解：（1）根据题意，∵一次函数的图像经过点，∴，∴，故答案为：1；（2）由（1）可知，直线AB的解析式为：，令x=0，则y=1，令y=0，则，∴点A为（，0），点B为（0，1），∴OA=，OB=1；由旋转的性质，得，∵∴∠ABC=90°，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，如图：∵∠BDC=90°，∴∠CBD+∠BCD=∠CBD+∠ABD=90°，∴∠BCD=∠ABD，同理，∠CBD=∠BAO，∵AB=BC，∴△ABO≌△BCD，∴BD=AO=，CD=BO=1，∴OD=，∴点C的坐标为（1，）；设直线l的表达式为，∵直线经过点A、C，则，解得：，∴直线l的表达式为．【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，以及余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，构造全等三角形进行解题．13．(1)2；（2）-1，4；（3）75.【解析】试题分析：（1）先根据平移的规律求出y=x+b的图象沿x轴向右平移2个单位后的解析式，再将原点的坐标代入即可求解；（2）先求出y2=kx+4图象与y轴交点，则此交点在函数y=x+b图象上，求出b=4．再求出y1=x+4与x轴的交点坐标为（-4，0），则y2=kx-4的图象经过点（4，0），即可求出k=-1；（3）先求出y1=x+b图象与y轴的交点B，与x轴的交点A的坐标，得出AO=BO=b（b＞0），则∠ABC=45°，然后在直角△AOC中利用正切函数的定义求出∠ACB=60°，再根据三角形内角和定理即可求出n的值．（1）将y=x+b的图象沿x轴向右平移2个单位后得到y=x-2+b，由题意，得0=0-2+b，解得b=2．（2）∵当x=0时，y=4，∴y2=kx+4图象与y轴交于点（0，4）．（0，4）关于y轴对称点就是本身，∴（0，4）在函数y=x+b图象上． ∴b=4． ∴一次函数y1=x+4，它与x轴的交点坐标为（-4，0）．∵y2=kx-4的图象与y1=x+4的图象关于y轴对称，∴y2=kx-4的图象经过点（4，0），则0=4k+4，∴k=-1；（3）∵当x=0时，y1=b，∴y1=x+b图象与y轴交于点B（0，b）．∵当y1=0时，x=-b，∴y1=x+b图象与x轴交于点A（-b，0）．如图，∵AO=BO=b（b＞0），∴∠ABC=45°．∵当y3=0时，x=-3b3，∴y3=-3x+b图象与x轴交于点C（3b3，0）．如图，∵CO=3b3，∴ b3b3=3，∴∠ACB=60°．∴n°=180°-∠ACB-∠ABC=75°．即n的值为75．考点：一次函数图象与几何变换．14．(1);(2) 或 【解析】试题分析：（1）由题意，得B(0，m)，A(2m，0)．过点D作x轴的垂线，交x轴于点E，交直线A1C1于点F，易求的值；（2）由（1）得，当m＞3时，点C1在y轴右侧；当2＜m＜3时，点C1在y轴左侧．分类讨论即可得解.试题解析：（1）由题意，得B(0，m)，A(2m，0)． 如图，过点D作x轴的垂线，交x轴于点E，交直线A1C1于点F，易知：DE＝m，D(m， m) ，C1(m－n， m)． ∴m－n＝0，∴＝； （2）由（1）得，当m＞3时，点C1在y轴右侧；当2＜m＜3时，点C1在y轴左侧．① 当m＞3时，设A1C1与y轴交于点P，连接C1B，由△A1C1D被y轴分得两部分图形的面积比为3：5，∴S△BA1P：S△BC1P＝3：1，∴A1P：C1P＝3，∴m＝3(m－4)，∴m＝．∴y＝－x＋.② 当2＜m＜3时，同理可得：y＝－x＋．综上所述，y＝－x＋或y＝－x＋．15．（1）；（2）见解析；（3）点 B一定在点Q的上方，见解析【分析】（1）当m＝0时，点P（0，0），而点A的坐标为（﹣，﹣），则点A在直线y＝x上且PA＝2，进而求解；（2）点A的坐标为（﹣，﹣），故点A在直线y＝x上，则点P′A∥y轴，即可求解；（3）求出直线AB的函数关系式为：y＝x+﹣，再求出点P、Q的坐标，即可求解．【详解】（1）当m＝0时，点P（0，0），∵点A的坐标为（﹣，﹣），故点A在直线y＝x上且PA＝2，∵点P绕点A（﹣，﹣）逆时针旋转45°，∴P′A∥y轴，故；（2）∵点A的坐标为（﹣，﹣），故点A在直线y＝x上，则点P′A∥y轴，∵P′A＝PA＝2，∴点P 的纵坐标均为；（3）点 B一定在点Q的上方，理由：根据条件首先求出P'的坐标，设直线AB的表达式为：y＝kx+b，将点A、P′的坐标代入上式得：，解得，从而求出直线AB的函数关系式为：y＝x+﹣，当x＝m时，y＝，即点B（m，），当x＝m时，yQ＝﹣m2﹣m+2，即点Q（m，﹣m2﹣m+2），∴yB﹣yQ＝﹣（﹣m2﹣m+2）＝m2+，∵m＞0∴∴yB＞yQ∴点 B一定在点Q的上方．【点拨】本题考查的是函数图象上点的坐标特征，确定AP旋转后和y轴平行是本题解题的关键．16．（1）△AOB是等腰三角形，证明详见解析；（2）x＜3；（3）y=-4x+16或y=；（4） P（5,0）或（-5,0）或（6,0）或（）.【分析】（1）根据A的坐标求得OA和OB的长度即可判断；（2）根据图象当y1＞y2时即y1的函数值大，即对相同的x的值，y1对应的图象的点在上边，根据图象即可写出；（3）首先根据三角形的面积公式求得OC的长，即可得到C的坐标，利用待定系数法即可求解；（4）已知等腰三角形POA中的一边OA，分1）OA是底边；2）OA是腰，且A是顶角的顶点；3）OA是腰，且O是顶角的顶点．三种情况进行讨论．【详解】解：（1）OA==5，则OA=OB，∴△AOB是等腰三角形；（2）根据图象可以得到：当y1＞y2时x＜3；（3）设OC=x，则x×4=8，解得：x=4，则C的坐标是：（-4，0）或（4，0）．设直线AB的解析式是：y=kx+b，当C的坐标是：（-4，0）时，根据题意得：，解得：，则直线的解析式是：y=x+；当C的坐标是（4，0）时，根据题意得：，解得：，则直线的解析式是：y=-4x+16；（4）把（3，4）代入y1=k1x得到：3k1=4，解得：k1=，当OA是底边时，OA的中点是（，2），设过OA的中点且与OA垂直的直线的解析式是：y=-x+b，根据题意得：b=，直线的解析式是：y=-x+，当y=0时，x=，则P的坐标是（，0）；当OA是腰，O是顶角的顶点时，OP=OA=5，则P的坐标是（5，0）或（-5，0）； 当OA是腰，A是顶角的顶点时，AP=AO，则P与O关于x=3对称，则P的坐标是（6，0）． 则P的坐标是：（，0）或（5，0）或（-5，0）或（6，0）．【点拨】本题综合考查了一次函数与等腰三角形知识的综合应用，考查了待定系数法求函数的解析式，正确进行讨论是关键．17．(1)5，； (2)①，(0，8)；②；③；(3)．【详解】(1)5，；【解法提示】∵一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，，，在中，，∵等腰直角三角形，．(2)①，(0，8)；图①【解法提示】如解图①，，，，，同理可得，当在轴上方时，点的坐标为(0，8)；②如解图②，过点作于点，为等腰直角三角形，图②，，，，在和中，，；，，，设直线的关系式为，将与坐标分别代入得，解得，则直线关系式为，∵将绕点逆时针旋转，当旋转角为90°时，得到，，，，，∴设直线的关系式为，把代入关系式得：，∴直线的关系式为；③因为旋转过程中扫过的图形是以为圆心，为半径，圆心角为90°的扇形面积减去以为圆心，为半径，圆心角为90°的扇形面积，；(3)将向右平移到的位置，扫过的图形是一个平行四边形和，如解图③，图③将点的纵坐标代入一次函数，得的横坐标为，∴平行四边形的面积为，的面积为，扫过的面积为：．18．（1）；（2）, 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）根据一次函数的平移规律：左加右减，上加下减，即可求出平移后的解析式，然后将y=0代入求出x的值，即可求出结论．【详解】解：（1）把点，代入中，得： 解得∴一次函数的解析式为（2）将该函数的图象向下平移3个单位后得．当时，解得：∴平移后函数图象与轴的交点坐标为【点拨】此题考查的是求一次函数的解析式和一次函数图象的平移，掌握用待定系数法求一次函数的解析和一次函数的平移规律：左加右减，上加下减是解决此题的关键．19．（1）y＝﹣2x+3；（2）；（3）y＝﹣2x，y＝﹣2x+2【分析】（1）把A、B两点代入可求得k、b的值，可得到一次函数的表达式；（2）分别令y＝0、x＝0可求得直线与两坐标轴的两交点坐标，可求得所围成的三角形的面积；（3）根据上加下减，左加右减的法则可得到平移后的函数表达式．【详解】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象过A（1，1）和B（2，﹣1），∴，解得，∴一次函数为y＝﹣2x+3；（2）在y＝﹣2x+3中，分别令x＝0、y＝0，求得一次函数与两坐标轴的交点坐标分别为（0，3）、（，0），∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积为：S＝×3×＝；（3）将一次函数y＝﹣2x+3的图象沿y轴向下平移3个单位，则平移后的函数表达式为y＝﹣2x，再向右平移1个单位，则平移后的函数表达式为y＝﹣2（x﹣1），即y＝﹣2x+2故答案为：y＝﹣2x，y＝﹣2x+2．【点拨】本题主要考查待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法的应用关键是点的坐标，即把点坐标代入得到关于系数的方程组，求解即可．20．（1）m=4；（2）y=5x-5.【分析】（1）依据一次函数的图象经过原点，可得，即可得出m=4；（2）依据平移的规律可得函数解析式为，将点代入计算即可．【详解】解：(1)∵一次函数的图象经过原点，∴，解得m=4；(2)一次函数向下平移3个单位长度后得到的函数解析式为∵该图象经过点(2,5)，∴，解得m=2，∴平移后的函数的解析式为y=5x-5.【点拨】本题考查一次函数图象与系数的关系，一次函数图象与几何变换.（1）对于一次函数y=kx+b当b=0时，图象经过原点；（2）一次函数平移遵循“左加右减，上加下减”.21．（1）y=-x+1；（2）y=-x-2【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；（2）根据一次函数y=kx+b向下平移m（m＞0）个单位后所得直线解析式为y=kx+b-m求解．【详解】解：（1）设y=kx+b（k≠0），则由题意得：，解得：，所以这个一次函数的表达式为y=-x+1；（2）将直线y=-x+1向下平移3个单位所得直线解析式为y=-x+1-3，即平移以后的解析式为y=-x-2．【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=kx+b向上平移m（m＞0）个单位后所得直线解析式为y=kx+b+m，向下平移m（m＞0）个单位后所得直线解析式为y=kx+b-m．也考查了待定系数法求一次函数解析式．22．一次函数的解析式为；交点坐标分别为，．【解析】【分析】（1）由一次函数y=kx+b，y随x增大而增大，可得k＞0，又由它的图象与x轴的夹角为45°，可求得k=1，然后由它的图象经过点（1，0），利用待定系数法即可求得这个一次函数的解析式．（2）注意平移的方向有两种可能.【详解】解：由一次函数的图象经过且它与轴的夹角为可知，它与轴的交点为或，因为随增大而增大，所以只取∵图象经过∴解得，∴一次函数的解析式为．因为图象沿轴平移两个单位，但是没有说明方向，故情况有两类：①向正方向：，即，②向负方向：，即，∴平移后的函数解析式为：或．与轴交点，时，，，∴交点坐标分别为，．【点拨】本题考核知识点：一次函数性质,交点问题.解题关键点：熟记待定系数法求函数解析式和平移性质.23．（1）y=x﹣4；（2）（1，0）【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出函数的解析式；（2）利用一次函数的平移的性质：上加下减，左加右减进行变形即可.【详解】（1）把x=2，y=-2代入y=kx-4可得2k-4=-2解得k=1即一次函数的解析式为y=x-4（2）根据一次函数的平移的性质，可得y=x-4+3=x-1即平移后的一次函数的解析式为y=x-1因为与x轴的交点y=0可得x=1所以与x轴的交点坐标为（1，0）.【点拨】此题主要考查了一次函数的图像与性质，关键是利用待定系数法求出函数的解析式.24．（1）;（2）；（3），所画图像详见解析【分析】（1）已知直线上的两点坐标，可用待定系数法把两点坐标代入一次函数（是常数，且），组成二元一次方程组，可求出，代入即可得该一次函数解析式；（2）点在该一次函数图象上，把该点代入（1）求得的一次函数解析式，即可求得的值；（3）根据图像平移规律，可知向下平移3个单位，应该是原解析式 -3，即，整理得；图像利用描特殊点法作出即可．【详解】证明：（1）∵一次函数（是常数，）的图象过，两点，∴，得，即该一次函数的表达式是；（2）点在该一次函数的图象上，∴，解得，，即的值是；（3）把向下平移3个单位后可得：；图象如下： 【点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式；利用点在一次函数上的性质，确定字母的值；图形平移性质及一次函数图像的画法等知识．25．【结论应用】y=x，下，3；【类比思考】①y=-6x-30；②y=-6x-19；【拓展应用】y=-2x-3．【解析】【结论应用】根据题目材料中给出的结论即可求解；【类比思考】①在直线y=-6x上任意取两点A（0，0）和B（1，-6），将点A和B向左平移5个单位得到点C、D，根据点的平移规律得到点C、D的坐标．设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0），利用待定系数法即可求出直线CD的解析式；②在直线y=-6x上任意取两点A（0，0）和B（1，-6），将点A和B向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点C、D，根据点的平移规律得到点C、D的坐标．设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0），利用待定系数法即可求出直线CD的解析式；【拓展应用】在直线l：y=2x+3上任意取两点A（0，3）和B（1，5），作点A和B关于x轴的对称点C、D，根据关于x轴对称的点的规律得到C、D的坐标．设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0），利用待定系数法即可求出直线CD的解析式．【详解】解：【结论应用】一次函数y=x-3的图象可以看作正比例函数y=x的图象向下平移3个单位长度而得到． 故答案为y=x，下，3； 【类比思考】①在直线y=-6x上任意取两点A（0，0）和B（1，-6）， 将点A（0，0）和B（1，-6）向左平移5个单位得到点C（-5，0）和D（-4，-6），连接CD，则直线CD就是直线AB向左平移5个单位长度后得到的直线，设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0）， 将C（-5，0）和D（-4，-6）代入得到：-5k+b＝0-4k+b＝-6，解得k＝-6b＝-30， 所以直线CD的解析式为：y=-6x-30． 故答案为y=-6x-30； ②在直线y=-6x上任意取两点A（0，0）和B（1，-6）， 将点A（0，0）和B（1，-6）向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点C（-4，5）和D（-3，-1），连接CD，则直线CD就是直线AB向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到的直线， 设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0）， 将C（-4，5）和D（-3，-1）代入得到：-4k+b＝5-3k+b＝-1解得k＝-6b＝-19 所以直线l的解析式为：y=-6x-19． 故答案为y=-6x-19； 【拓展应用】在直线l：y=2x+3上任意取两点A（0，3）和B（1，5）， 则点A和B关于x轴的对称点分别为C（0，-3）或D（1，-5），连接CD，则直线CD就是直线AB关于x轴对称的直线，设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0）， 将C（0，-3）或D（1，-5）代入得到：b＝-3k+b＝-5解得k＝-2b＝-3 所以直线l关于x轴对称的直线的解析式为y=-2x-3．【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与二元一次方程（组），考查了学生的阅读理解能力与知识的迁移能力．理解阅读材料是解题的关键．26．（1）C；（2）一次函数的表达式为y=2x；（3）对应的函数解析式为：y=x﹣．【解析】试题分析：（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得；（2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案；（3）直接根据一次函数互相垂直时系数之积为﹣1，进而得出答案．试题解析：（1）将函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，平移后与x轴的交点为（3，0），将（3，0）代入y=-2x+b中，得0=-6+b，解得b=6，所以平移后的函数表达式为y=﹣2x+6，故选C；（2）在函数y=﹣2x的图象上取两个点A（0，0）、B（1，﹣2），关于x轴对称的点的坐标A′（0，0）、B′（1，2），一次函数的表达式为y=2x；（3）∵一次函数y=﹣2x的图象绕点（2，3）逆时针方向旋转90°，∴旋转后得到的图象与原图象垂直，则对应的函数解析式为：y=x﹣．点睛：本题考查图形变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标“左减右加”；纵坐标“上加下减”．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要弄清楚平移前后的解析式有什么关系．27．（1）y=-43x+8，y=-43x+12（2）10225,6425【分析】（1）已知A、B两点的坐标，可用待定系数法求出直线AB的解析式，根据若两个一次函数的图象平行，则k1=k2且b1≠b2，设出直线A′B′的解析式，代入P（6，4），即可求得解析式；（2）根据直线AB的解析式设出设直线PD解析式为y=34x+n代入P（6，4），即可求得解析式，然后联立解方程即可求得D的坐标．【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b 根据题意，得：6k+b=0b=8解之，得k=-43b=8 ∴直线AB的解析式为y=-43x+8 ∵AB∥A′B′， ∴直线A′B′的解析式为y=-43x+b＇， ∵过经过点P（6，4）， ∴4=-43×6+b′， 解得b′=12， ∴直线A′B′的解析式为y=-43x+12．（2）过点P作直线PD⊥AB，垂足为点D，画出图象如图： ∵直线PD⊥AB， ∴设直线PD解析式为y=34x+n， ∵过点P（6，4）， ∴4=34×6+n，解得n=-12， ∴直线PD解析式为y=34x-12， 解y=-43x+8y=34x-12得x=10225y=6425， ∴D（10225，6425）．【点拨】本题考查 了两条直线的平行或相交问题，一次函数的性质，掌握对于两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2，若两个一次函数的图象平行，则k1=k2且b1≠b2；若两个一次函数的图象垂直，则k1•k2=-1是解题的关键．
专题4.17 一次函数平移、旋转、折叠问题（拓展篇）（专项练习）类型一：折叠一、单选题1．在平面直角坐标系中，已知一次函数y=﹣x+6与x，y轴分别交于A，B两点，点C（0，n）是y轴上一点，把坐标平面沿直线AC折叠，点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（ ）A．（0，3） B．（0，） C．（0，） D．（0，）2．在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣x+6与x，y轴分别交于A，B两点，点C（0，n）是线段BO上一点，将△AOB沿直线AC折叠，点B刚好落在x轴负半轴上，则点C的坐标是（ ）A．（0，3） B．（0，） C．（0，） D．（0，）二、解答题3．如图， 一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB．若点C，求该一次函数的表达式．4．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接BC，将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为__．5．如图，一次函数y=-x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，线段AB的中点为D（3，2）．将△AOB沿直线CD折叠，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C．（1）求此一次函数的解析式；（2）求点C的坐标；（3）在坐标平面内存在点P（除点C外），使得以A、D、P为顶点的三角形与△ACD全等，请直接写出点P的坐标．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B．将△AOB沿过点B的直线折叠，使点O落在AB边上的点D处，折痕交x轴于点E．（1）求直线BE的解析式；（2）求点D的坐标；类型二：旋转7．已知：一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，以B为旋转中心，将△BOA逆时针旋转，得△BCD（其中O与C、A与D是对应的顶点）.（1）求AB的长；（2）当∠BAD=45°时，求D点的坐标；（3）当点C在线段AB上时，求直线BD的关系式.8．如图，一次函数y=(m+1)x+4的图像与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB的面积为4.（1）则= 及点的坐标为（ ）;（2）过点B作直线BP与轴的正半轴相交于点P,且OP=4OA，求直线BP的解析式；（3）将一次函数的图像绕点B顺时针旋转， 求旋转后的对应的函数表达式. 9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2，-1)、B(-1，1)、C(0，-2)． (1)点B关于坐标原点O对称的点的坐标为 ( )； (2)将△ABC绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C； (3)求过点B、B1的一次函数的解析式．10．在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交、轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C．（1）求直线BC的函数表达式；（2）若将直线AB绕点B逆时针方向旋转45°，请直接写出此时直线BC的函数表达式．11．如图，一个正比例函数y1=k1x的图象与一个一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A（3，4），且一次函数y2的图像与y轴相交于点B（0，—5），与x轴交于点C．（1）判断△AOB的形状并说明理由；（2）若将直线AB绕点A旋转，使△AOC的面积为8，求旋转后直线AB的函数解析式；（3）在x轴上求一点P使△POA为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．12．如图，一次函数的图像经过点，且与轴，轴分别交于两点．（1）填空： ；（2）将该直线绕点顺时针旋转至直线，过点作交直线于点，求点的坐标及直线的函数表达式．13．已知一次函数y＝x＋b的图象与x轴，y轴交于点A、B．（1）若将此函数图象沿x轴向右平移2个单位后经过原点，则b= ；（2）若函数y1＝x＋b图象与一次函数y2＝kx＋4的图象关于y轴对称，求k、b的值；（3）当b>0时，函数y1＝x＋b图象绕点B逆时针旋转n°（0°＜n°＜180°）后，对应的函数关系式为y＝－3x＋b，求n的值．14．如图，一次函数y＝－x＋m(m＞0)的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在线段OA上，点C的横坐标为n，点D在线段AB上，且AD＝2BD，将△ACD绕点D旋转180°后得到△A1C1D． （1）若点C1恰好落在y轴上，试求的值；（2）当n＝4时，若△A1C1D被y轴分得两部分图形的面积比为3：5，求该一次函数的解析式．15．如图1，点P(m，n)在一次函数y＝﹣x的图象上，将点P绕点A(﹣，﹣)逆时针旋转45°，旋转后的对应点为P′．（1）当m＝0时，求点P′的坐标；（2）试说明：不论m为何值，点P′的纵坐标始终不变；（3）如图2，过点P作x轴的垂线交直线AP′于点B，若直线PB与二次函数y＝﹣x2﹣x+2的图象交于点Q，当m＞0时，试判断点B是否一定在点Q的上方，请说明理由．16．如图，一个正比例函数y1=k1x的图象与一个一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A（3，4），且一次函数y2的图像与y轴相交于点B（0，—5），与x轴交于点C．（1）判断△AOB的形状并说明理由；（2）请写出当y1>y2时x的取值范围；（3）若将直线AB绕点A旋转，使△AOC的面积为8，求旋转后直线AB的函数解析式；（4）在x轴上求一点P使△POA为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．类型三：平移已知一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，以线段为直角边在第二象限内作等腰直角三角形，，如图①所示：（1）填空：________，________；（2）将绕点逆时针旋转，①当与轴平行时，则点的坐标是________；②当旋转角为时，得到，如图②所示，求过、两点直线的函数关系式；③在②的条件，旋转过程中扫过的图形的面积是多少？（3）将向右平移到的位置，点为直线上的一点，请直接写出扫过的图形的面积． 18．如图，直线是一次函数的图象．（1）求出这个一次函数的解析式； （2）将该函数的图象向下平移3个单位，求出平移后一次函数的解析式，并写出平移后的图像与轴的交点坐标19．已知一次函数y＝kx+b的图象过A(1，1)和B(2，﹣1)（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；（2）求直线y＝kx+b与坐标轴围成的三角形的面积；（3）将一次函数y＝kx+b的图象沿y轴向下平移3个单位，则平移后的函数表达式为 ，再向右平移1个单位，则平移后的函数表达式为 ．20．已知一次函数．（1）m为何值时，图象经过原点？（2）将该一次函数向下平移3个单位长度后得到的函数图象经过点，求平移后的函数解析式．21．已知是的一次函数，且当，；当时，．（1）求这个一次函数的表达式：（2）将该函数图象向下平移3个单位，求平移后图象的函数表达式．22．已知一次函数，随增大而增大，它的图象经过点且与轴的夹角为，确定这个一次函数的解析式；假设已知中的一次函数的图象沿轴平移两个单位，求平移以后的直线及直线与轴的交点坐标．23．已知一次函数y=kx﹣4，当x=2时，y=﹣2．（1）求此一次函数的解析式；（2）将该函数的图象向上平移3个单位，求平移后的图象与x轴的交点的坐标．24．已知一次函数（是常数，且）的图象过与两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若点在该一次函数图象上，求的值；（3）把的图象向下平移3个单位后得到新的一次函数图象，在图中画出新函数图象，并直接写出新函数图象对应的解析式．25．人教版八年级下册第19章《一次函数》中“思考”：这两个函数的图象形状都是直线，并且倾斜程度相同，函数y=-6x的图象经过原点，函数y=-6x+5的图象经与y轴交于点（0，5），即它可以看作直线y=-6x向上平移5个单位长度而得到。比较一次函数解析式y=kx+bk≠0与正比例函数解析式y=kxk≠0，容易得出：一次函数y=kx+bk≠0的图象可由直线y=kx通过向上（或向下）平移b个单位得到（当b>0时，向上平移，当b<0时，向下平移）。（结论应用）一次函数y=x-3的图象可以看作正比例函数 的图象向 平移 个单位长度得到；（类比思考）如果将直线y=-6x的图象向右平移5个单位长度，那么得到的直线的函数解析式是怎样的呢？我们可以这样思考：在直线y=-6x上任意取两点A（0，0）和B（1，-6），将点A（0，0）和B（1，-6）向右平移5个单位得到点C（5，0）和D（6，-6），连接CD，则直线CD就是直线AB向右平移5个单位长度后得到的直线，设直线CD的解析式为:y=kx+bk≠0，将C（5，0）和D（6，-6）代入得到：5k+b=06k+b=-6解得k=-6b=30，所以直线CD的解析式为：y=-6x+30；①将直线y=-6x向左平移5个单位长度，则平移后得到的直线解析式为 .②若先将直线y=-6x向左平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，得到直线l，则直线l的解析式为: .（拓展应用）已知直线l：y=2x+3与直线关于x轴对称，求直线的解析式.26．课本P152有段文字：把函数y=2x的图象分别沿y轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数y=2x+3或y=2x﹣3的图象．（阅读理解）小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？老师给了以下提示：如图1，在函数y=﹣2x的图象上任意取两个点A、B，分别向右平移3个单位长度，得到A′、B′，直线A′B′就是函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度后得到的图象.请你帮助小尧解决他的困难．（1）将函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为 ． A．y=﹣2x+3；B．y=﹣2x﹣3；C．y=﹣2x+6；D．y=﹣2x﹣6（解决问题）（2）已知一次函数的图象与直线y=﹣2x关于x轴对称，求此一次函数的表达式．（拓展探究）（3）一次函数y=﹣2x的图象绕点（2，3）逆时针方向旋转90°后得到的图象对应的函数表达式为 ．（直接写结果）27．某学校数学兴趣小组在探究一次函数性质时得到下面正确结论：对于两个一次函数y＝k1x+b1和y＝k2x+b2，若两个一次函数的图象平行，则k1＝k2且b1≠b2；若两个一次函数的图象垂直，则k1•k2＝﹣1．请你直接利用以上知识解答下面问题：如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，8），B（6，0），P（6，4）．（1）把直线AB向右平移使它经过点P，如果平移后的直线交y轴于点A′，交x轴于点B′，求直线A′B′的解析式；（2）过点P作直线PD⊥AB，垂足为点D，按要求画出直线PD并求出点D的坐标； 参考答案1．C【详解】分析：过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为A（8，0），B（0，6），得到AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD=CO=n，DA=OA=8，则DB=10-8=2，BC=6-n，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到n的方程，解方程求出n即可．详解：过C作CD⊥AB于D，如图，对于直线y=−x+6，当x=0，得y=6；当y=0，x=8，∴A(8,0),B(0,6)，即OA=8，OB=6，∴AB=10，又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，∴AC平分∠OAB，∴CD=CO=n，则BC=6−n，∴DA=OA=8，∴DB=10−8=2，在Rt△BCD中,DC2+BD2=BC2，∴n2+22=(6−n)2,解得n=，∴点C的坐标为(0,).故选C. 点睛：本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令x=0或y=0，求出对应的y或x的值；也考查了折叠的性质和勾股定理.2．D【解析】【分析】过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为A（8，0），B（0，6），得到AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD=CO=n，DA=OA=8，则DB=10-8=2，BC=6-n，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到n的方程，解方程求出n即可．【详解】过C作CD⊥AB于D，如图，对于直线y=-x+6，当x=0，得y=6；当y=0，x=8，∴A（8，0），B（0，6），即OA=8，OB=6，∴AB=10，又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，∴AC平分∠OAB，∴CD=CO=n，则BC=6-n，∴DA=OA=8，∴DB=10-8=2，在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2，∴n2+22=（6-n）2，解得n=，∴点C的坐标为（0，）．故选D．【点拨】本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令x=0或y=0，求对应的y或x的值；也考查了折叠的性质和勾股定理．3．y＝－x＋【详解】试题分析：求一次函数表达式，需要列两个方程.由C点坐标，利用勾股定理可以得到AC的长，AC=OA,也就得到了，A点坐标，得到第一个方程，同时，可以得到∠ACM=30°，所以，∠ABO=30°易得B点坐标，得到第二个方程，也就可以求出一次函数的表达式.如图，过点C作CM⊥x轴于点M，CN⊥y轴于点N.∵点C，∴OM＝NC＝，ON＝MC＝.∵将△AOB沿直线AB翻折得到△ACB，∴OA＝CA，OB＝CB.在Rt△CAM中，由勾股定理，得AC2＝AM2＋MC2，即OA2＝(OM－OA)2＋MC2，∴OA2＝＋，解得OA＝1.∴点A(1，0)．∴∠ACM=30°,∴∠ABO=30°,AB=2，∴OB=，点B(0，)．设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b.把点A，B的坐标代入，得，解得∴直线AB的函数表达式为y＝－x＋.点睛：求一次函数解析式需要列两个方程，联立求解，可以得到k,值.4．（﹣6，0）或（，0）．【分析】根据一次函数求出点A、B的坐标，根据勾股定理即可求出AB，然后根据点A落在y轴的位置分类讨论：当点A落在y轴的正半轴上时，设点C的坐标为（m，0），根据折叠的性质求出A′O和A′C，根据勾股定理列方程即可求出m；当点A落在y轴的负半轴上时，原理同上．【详解】解：∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，根据勾股定理可得AB＝=5，如图1，当点A落在y轴的正半轴上时，设点C的坐标为（m，0），∵将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，∴A′O＝3+5＝8，A′C＝AC＝4﹣m，∵A′C2＝OC2+A′O2，∴（4﹣m）2＝m2+82，∴m＝﹣6；如图2，当点A落在y轴的负半轴上时，设点C的坐标为（m，0），∵将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，∴A′O＝5﹣3＝2，A′C＝AC＝4﹣m，∵A′C2＝OC2+A′O2，∴（4﹣m）2＝m2+22，∴m＝；综上所述，当点A落在y轴上时，点C的坐标为（﹣6，0）或（，0），故答案为：（﹣6，0）或（，0）．【点拨】此题考查的是一次函数与图形综合题，掌握求一次函数与坐标轴的交点坐标、折叠的性质、勾股定理解直角三角形和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．5．（1）一次函数解析式为y=-x+4.（2）C（，0）；（3）P1（，4）；P2（，-2）；P3（，2）．【解析】试题分析：（1）根据线段中点的性质，可得B点，A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）OC=x，根据翻折变换的性质用x表示出BC的长，再根据勾股定理求解即可；（3）当△ACD≌△AP1D时，根据C、P点关于D点对称，可得P点坐标，当△ACD≌△DP2A时，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；当△ACD≌△DP3A时，根据线段中点的性质，可得答案．试题解析：（1）设A点坐标为（a，0），B点坐标为（0，b），由线段AB的中点为D（3，2），得=3，=2，解得a=6，b=4．即A（6，0），B（0，4）故一次函数解析式为y=-x+4.（2）如图1：连接BC，设OC=x，则AC=CB=6-x，∵∠BOA=90°，∴OB2+OC2=CB2，42+x2=（6-x）2，解得x=，即C（，0）；（3）①当△ACD≌△APD时，设P1（c，d），由D是PC的中点，得，=2，解得c=，d=4，即P1（，4）；如图2：，②当△ACD≌△DP2A时，做DE⊥AC与E，P2F⊥AC与F点，DE=2，CE=，由△CDE≌△AP2F，AF=CE=，P2F=DE=2，OF=6-=，∴P2（，-2）；③当△ACD≌△DP3A时，设P3（e，f）A是线段P2P3的中点，得，，解得e=，f=2，即P3（，2），综上所述：P1（，4）；P2（，-2）；P3（，2）．考点：一次函数综合题．6．(1)直线BE的解析式为y=x+2；(2)D(-3，).【解析】【分析】(1)先求出点A、B的坐标，继而根据勾股定理求出AB的长，根据折叠可得BD=BO，DE=OE，从而可得AD的长，设DE=OE=m，则AE=OA-m，在直角三角形AED中利用勾股定理求出m，从而得点E坐标，继而利用待定系数法进行求解即可；(2)过点D作DM⊥AO，垂足为M，根据三角形的面积可求得DM的长，继而可求得点D的坐标.【详解】(1)，令x=0，则y=2，令y=0，则，解得：x=-6，∴A(-6，0)，B(0，2)，∴OA=6，OB=2，∴AB==4，∵折叠，∴∠BDE=∠BOA=90°，DE=EO，BD=BO=2，∴∠ADE=90°，AD=AB-BD=2，设DE=EO=m，则AE=AO-OE=6-m，在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，即(6-m)2=m2+(2)2，解得：m=2，∴OE=2，∴E(-2，0)，设直线BE的解析式为：y=kx+b，把B、E坐标分别代入得：，解得：，∴直线BE的解析式为y=x+2；(2)过点D作DM⊥AO，垂足为M，由(1)DE=2，AE=AO-OE=4，∵S△ADE=，即，∴DM=，∴点D的纵坐标为，把y=代入，得，解得：x=-3，∴D(-3，).【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理的应用，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，点的坐标等，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.7．（1）5；（2）D（4，7）或（-4，1）；（3）y=-724x+4【解析】试题分析：（1）先分别求得一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标，再根据勾股定理求解即可；（2）根据旋转的性质结合△BOA的特征求解即可；（3）先根据点C在线段AB上判断出点D的坐标，再根据待定系数法列方程组求解即可.（1）在时，当时，，当时，∴；（2）由题意得D（4，7）或（-4，1）；（2）由题意得D点坐标为（4，）设直线BD的关系式为∵图象过点B（0，4），D（4，）∴，解得∴直线BD的关系式为y=-724x+4.考点：动点的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．8．（1）1，（-2,0）；（2）；（3）【分析】（1）先求得OB=4，然后根据三角形面积求得OA的长，即可求得A的坐标，把A的坐标代入y=（m+1）x+4，即可求得m的值；（2）利用OP=4OA=8可得到点P的坐标为（8，0），然后利用待定系数法求直线BP的函数解析式．（3）直线绕点顺时针旋转 的直线交轴于点，过点 于点,作轴.根据容易证明，确定F点的坐标【详解】解：（1）∵直线y=（m+1）x+4与y轴的交点B（0，4），∴OB=4，∵S△OAB=4，∴×OA×OB=4，∴OA=2，∴A（-2，0），把点A（-2，0）代入y=（m+1）x+4，得-2（m+1）+4=0，解得m=1；故答案为1，（-2,0）； (2)，设直线的解析式为，将代入得，直线的解析式为；（ 3）直线绕点顺时针旋转 的直线交轴于点，过点 于点,作轴，∵直线绕点顺时针旋转 ∴∠ABE=,∵, ∴∠BAF=∴AF=AB, ∠BAO+∠FAE=∵轴, ∠AOB=∴∠FHA=∠AOB=, ∠ABO+∠BAO=∴∠FAE=∠ABO在中∴FH=OA=2, HA=OB=4，设直线的解析式为，，直线的解析式为.【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．9．（1）（1，－1）；（2）所画图形如下：（3）【详解】试题分析：（1）根据两个点关于原点对称时的坐标的特征即可得到结果；（2）分别找到各点的对应点，然后顺次连接即可得到结果；（3）设过点B1的反比例函数解析式为，根据点B1的坐标利用待定系数法即可求得结果．（1）点B关于坐标原点O对称的点的坐标为（1，－1）；（2）所画图形如下：（3）由（2）得B1点坐标为（3，－1），设过点B1的反比例函数解析式为把点B1 （3，-1）代入中，得则过点B1的反比例函数的解析式为考点：本题考查的是旋转作图、待定系数法求函数解析式，关于原点对称的点的坐标点评：解答本题的关键是熟记关于原点对称的点的坐标的特征：横、纵坐标均互为相反数.10．（1）；（2）【分析】（1）根据已知条件结合一次函数图像特征求得、，然后添加辅助线“过点作交于点，垂足为点，过点作轴，垂足为点”，再利用全等三角形的判定和性质求得，最后根据待定系数法即可求得答案；（2）根据已知条件结合一次函数图像特征求得、，然后添加辅助线“过点作交于点，垂足为点，过点作轴，垂足为点”，再利用全等三角形的判定和性质求得，最后根据待定系数法即可求得答案．【详解】解：（1）∵一次函数的图像分别交、轴于点、∴点，点 ∴， 将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，过点作交于点，垂足为点，过点作轴，垂足为点，如图，∵，∴为等腰直角三角形 ∴∵，∴∴在和中∴ ∴，∴点坐标为 ∵直线过，设直线表达式为，代入得， 解得 ∴直线的解析式为：．（2）∵一次函数的图像分别交、轴于点、∴点，点 ∴， 将直线绕点按逆时针方向旋转，交轴于点，过点作交于点，垂足为点，过点作轴，垂足为点，如图，∵，∴为等腰直角三角形 ∴∵，∴∴在和中∴ ∴，∴∴点坐标为 ∵直线过，设直线表达式为，代入得解得 ∴直线的解析式为：．当直线AB绕点B按逆时针方向旋转45°时，直线BC的解析式为：【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．11．（1）△AOB是等腰三角形；理由见解析；（2）或y=-4x+16；（3）（，0）或（5，0）或（-5，0）或（6，0）．【解析】试题分析：（1）根据A的坐标求得OA和OB的长度即可判断；（2）首先根据三角形的面积公式求得OC的长，即可得到C的坐标，利用待定系数法即可求解；（3）已知等腰三角形POA中的一边OA，分：1）OA是底边；2）OA是腰，且A是顶角的顶点；3）OA是腰，且O是顶角的顶点．三种情况进行讨论．试题解析：（1）OA=，则OA=OB，∴△AOB是等腰三角形；（2）设OC=x，则x×4=8，解得：x=4，则C的坐标是：（-4，0）或（4，0）．设直线AB的解析式是：y=kx+b，当C的坐标是：（-4，0）时，根据题意得：，解得：，则直线的解析式是：；当C的坐标是（4，0）时，根据题意得：，解得：，则直线的解析式是：y=-4x+16；（3）把（3，4）代入y1=k1x得到：3k1=4，解得：k1=，当OA是底边时，OA的中点是（，2），设过OA的中点且与OA垂直的直线的解析式是：y=-x+b，根据题意得：b=，直线的解析式是：y=-x+，当y=0时，x=，则P的坐标是（，0）；当OA是腰，O是顶角的顶点时，OP=OA=5，则P的坐标是（5，0）或（-5，0）；当OA是腰，A是顶角的顶点时，AP=AO，则P与O关于x=3对称，则P的坐标是（6，0）．则P的坐标是：（，0）或（5，0）或（-5，0）或（6，0）．考点：一次函数综合题．12．（1）1；（2），【分析】（1）直接把点代入，即可求出b的值；（2）先求出直线AB的解析式，以及点A、B的坐标，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，由旋转的性质，则AB=BC，然后证明△ABO≌△BCD，得到BD=AO，CD=BO，即可求出点C的坐标，然后求出直线AC的解析式即可．【详解】解：（1）根据题意，∵一次函数的图像经过点，∴，∴，故答案为：1；（2）由（1）可知，直线AB的解析式为：，令x=0，则y=1，令y=0，则，∴点A为（，0），点B为（0，1），∴OA=，OB=1；由旋转的性质，得，∵∴∠ABC=90°，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，如图：∵∠BDC=90°，∴∠CBD+∠BCD=∠CBD+∠ABD=90°，∴∠BCD=∠ABD，同理，∠CBD=∠BAO，∵AB=BC，∴△ABO≌△BCD，∴BD=AO=，CD=BO=1，∴OD=，∴点C的坐标为（1，）；设直线l的表达式为，∵直线经过点A、C，则，解得：，∴直线l的表达式为．【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，以及余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，构造全等三角形进行解题．13．(1)2；（2）-1，4；（3）75.【解析】试题分析：（1）先根据平移的规律求出y=x+b的图象沿x轴向右平移2个单位后的解析式，再将原点的坐标代入即可求解；（2）先求出y2=kx+4图象与y轴交点，则此交点在函数y=x+b图象上，求出b=4．再求出y1=x+4与x轴的交点坐标为（-4，0），则y2=kx-4的图象经过点（4，0），即可求出k=-1；（3）先求出y1=x+b图象与y轴的交点B，与x轴的交点A的坐标，得出AO=BO=b（b＞0），则∠ABC=45°，然后在直角△AOC中利用正切函数的定义求出∠ACB=60°，再根据三角形内角和定理即可求出n的值．（1）将y=x+b的图象沿x轴向右平移2个单位后得到y=x-2+b，由题意，得0=0-2+b，解得b=2．（2）∵当x=0时，y=4，∴y2=kx+4图象与y轴交于点（0，4）．（0，4）关于y轴对称点就是本身，∴（0，4）在函数y=x+b图象上． ∴b=4． ∴一次函数y1=x+4，它与x轴的交点坐标为（-4，0）．∵y2=kx-4的图象与y1=x+4的图象关于y轴对称，∴y2=kx-4的图象经过点（4，0），则0=4k+4，∴k=-1；（3）∵当x=0时，y1=b，∴y1=x+b图象与y轴交于点B（0，b）．∵当y1=0时，x=-b，∴y1=x+b图象与x轴交于点A（-b，0）．如图，∵AO=BO=b（b＞0），∴∠ABC=45°．∵当y3=0时，x=-3b3，∴y3=-3x+b图象与x轴交于点C（3b3，0）．如图，∵CO=3b3，∴ b3b3=3，∴∠ACB=60°．∴n°=180°-∠ACB-∠ABC=75°．即n的值为75．考点：一次函数图象与几何变换．14．(1);(2) 或 【解析】试题分析：（1）由题意，得B(0，m)，A(2m，0)．过点D作x轴的垂线，交x轴于点E，交直线A1C1于点F，易求的值；（2）由（1）得，当m＞3时，点C1在y轴右侧；当2＜m＜3时，点C1在y轴左侧．分类讨论即可得解.试题解析：（1）由题意，得B(0，m)，A(2m，0)． 如图，过点D作x轴的垂线，交x轴于点E，交直线A1C1于点F，易知：DE＝m，D(m， m) ，C1(m－n， m)． ∴m－n＝0，∴＝； （2）由（1）得，当m＞3时，点C1在y轴右侧；当2＜m＜3时，点C1在y轴左侧．① 当m＞3时，设A1C1与y轴交于点P，连接C1B，由△A1C1D被y轴分得两部分图形的面积比为3：5，∴S△BA1P：S△BC1P＝3：1，∴A1P：C1P＝3，∴m＝3(m－4)，∴m＝．∴y＝－x＋.② 当2＜m＜3时，同理可得：y＝－x＋．综上所述，y＝－x＋或y＝－x＋．15．（1）；（2）见解析；（3）点 B一定在点Q的上方，见解析【分析】（1）当m＝0时，点P（0，0），而点A的坐标为（﹣，﹣），则点A在直线y＝x上且PA＝2，进而求解；（2）点A的坐标为（﹣，﹣），故点A在直线y＝x上，则点P′A∥y轴，即可求解；（3）求出直线AB的函数关系式为：y＝x+﹣，再求出点P、Q的坐标，即可求解．【详解】（1）当m＝0时，点P（0，0），∵点A的坐标为（﹣，﹣），故点A在直线y＝x上且PA＝2，∵点P绕点A（﹣，﹣）逆时针旋转45°，∴P′A∥y轴，故；（2）∵点A的坐标为（﹣，﹣），故点A在直线y＝x上，则点P′A∥y轴，∵P′A＝PA＝2，∴点P 的纵坐标均为；（3）点 B一定在点Q的上方，理由：根据条件首先求出P'的坐标，设直线AB的表达式为：y＝kx+b，将点A、P′的坐标代入上式得：，解得，从而求出直线AB的函数关系式为：y＝x+﹣，当x＝m时，y＝，即点B（m，），当x＝m时，yQ＝﹣m2﹣m+2，即点Q（m，﹣m2﹣m+2），∴yB﹣yQ＝﹣（﹣m2﹣m+2）＝m2+，∵m＞0∴∴yB＞yQ∴点 B一定在点Q的上方．【点拨】本题考查的是函数图象上点的坐标特征，确定AP旋转后和y轴平行是本题解题的关键．16．（1）△AOB是等腰三角形，证明详见解析；（2）x＜3；（3）y=-4x+16或y=；（4） P（5,0）或（-5,0）或（6,0）或（）.【分析】（1）根据A的坐标求得OA和OB的长度即可判断；（2）根据图象当y1＞y2时即y1的函数值大，即对相同的x的值，y1对应的图象的点在上边，根据图象即可写出；（3）首先根据三角形的面积公式求得OC的长，即可得到C的坐标，利用待定系数法即可求解；（4）已知等腰三角形POA中的一边OA，分1）OA是底边；2）OA是腰，且A是顶角的顶点；3）OA是腰，且O是顶角的顶点．三种情况进行讨论．【详解】解：（1）OA==5，则OA=OB，∴△AOB是等腰三角形；（2）根据图象可以得到：当y1＞y2时x＜3；（3）设OC=x，则x×4=8，解得：x=4，则C的坐标是：（-4，0）或（4，0）．设直线AB的解析式是：y=kx+b，当C的坐标是：（-4，0）时，根据题意得：，解得：，则直线的解析式是：y=x+；当C的坐标是（4，0）时，根据题意得：，解得：，则直线的解析式是：y=-4x+16；（4）把（3，4）代入y1=k1x得到：3k1=4，解得：k1=，当OA是底边时，OA的中点是（，2），设过OA的中点且与OA垂直的直线的解析式是：y=-x+b，根据题意得：b=，直线的解析式是：y=-x+，当y=0时，x=，则P的坐标是（，0）；当OA是腰，O是顶角的顶点时，OP=OA=5，则P的坐标是（5，0）或（-5，0）； 当OA是腰，A是顶角的顶点时，AP=AO，则P与O关于x=3对称，则P的坐标是（6，0）． 则P的坐标是：（，0）或（5，0）或（-5，0）或（6，0）．【点拨】本题综合考查了一次函数与等腰三角形知识的综合应用，考查了待定系数法求函数的解析式，正确进行讨论是关键．17．(1)5，； (2)①，(0，8)；②；③；(3)．【详解】(1)5，；【解法提示】∵一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，，，在中，，∵等腰直角三角形，．(2)①，(0，8)；图①【解法提示】如解图①，，，，，同理可得，当在轴上方时，点的坐标为(0，8)；②如解图②，过点作于点，为等腰直角三角形，图②，，，，在和中，，；，，，设直线的关系式为，将与坐标分别代入得，解得，则直线关系式为，∵将绕点逆时针旋转，当旋转角为90°时，得到，，，，，∴设直线的关系式为，把代入关系式得：，∴直线的关系式为；③因为旋转过程中扫过的图形是以为圆心，为半径，圆心角为90°的扇形面积减去以为圆心，为半径，圆心角为90°的扇形面积，；(3)将向右平移到的位置，扫过的图形是一个平行四边形和，如解图③，图③将点的纵坐标代入一次函数，得的横坐标为，∴平行四边形的面积为，的面积为，扫过的面积为：．18．（1）；（2）, 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）根据一次函数的平移规律：左加右减，上加下减，即可求出平移后的解析式，然后将y=0代入求出x的值，即可求出结论．【详解】解：（1）把点，代入中，得： 解得∴一次函数的解析式为（2）将该函数的图象向下平移3个单位后得．当时，解得：∴平移后函数图象与轴的交点坐标为【点拨】此题考查的是求一次函数的解析式和一次函数图象的平移，掌握用待定系数法求一次函数的解析和一次函数的平移规律：左加右减，上加下减是解决此题的关键．19．（1）y＝﹣2x+3；（2）；（3）y＝﹣2x，y＝﹣2x+2【分析】（1）把A、B两点代入可求得k、b的值，可得到一次函数的表达式；（2）分别令y＝0、x＝0可求得直线与两坐标轴的两交点坐标，可求得所围成的三角形的面积；（3）根据上加下减，左加右减的法则可得到平移后的函数表达式．【详解】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象过A（1，1）和B（2，﹣1），∴，解得，∴一次函数为y＝﹣2x+3；（2）在y＝﹣2x+3中，分别令x＝0、y＝0，求得一次函数与两坐标轴的交点坐标分别为（0，3）、（，0），∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积为：S＝×3×＝；（3）将一次函数y＝﹣2x+3的图象沿y轴向下平移3个单位，则平移后的函数表达式为y＝﹣2x，再向右平移1个单位，则平移后的函数表达式为y＝﹣2（x﹣1），即y＝﹣2x+2故答案为：y＝﹣2x，y＝﹣2x+2．【点拨】本题主要考查待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法的应用关键是点的坐标，即把点坐标代入得到关于系数的方程组，求解即可．20．（1）m=4；（2）y=5x-5.【分析】（1）依据一次函数的图象经过原点，可得，即可得出m=4；（2）依据平移的规律可得函数解析式为，将点代入计算即可．【详解】解：(1)∵一次函数的图象经过原点，∴，解得m=4；(2)一次函数向下平移3个单位长度后得到的函数解析式为∵该图象经过点(2,5)，∴，解得m=2，∴平移后的函数的解析式为y=5x-5.【点拨】本题考查一次函数图象与系数的关系，一次函数图象与几何变换.（1）对于一次函数y=kx+b当b=0时，图象经过原点；（2）一次函数平移遵循“左加右减，上加下减”.21．（1）y=-x+1；（2）y=-x-2【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；（2）根据一次函数y=kx+b向下平移m（m＞0）个单位后所得直线解析式为y=kx+b-m求解．【详解】解：（1）设y=kx+b（k≠0），则由题意得：，解得：，所以这个一次函数的表达式为y=-x+1；（2）将直线y=-x+1向下平移3个单位所得直线解析式为y=-x+1-3，即平移以后的解析式为y=-x-2．【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=kx+b向上平移m（m＞0）个单位后所得直线解析式为y=kx+b+m，向下平移m（m＞0）个单位后所得直线解析式为y=kx+b-m．也考查了待定系数法求一次函数解析式．22．一次函数的解析式为；交点坐标分别为，．【解析】【分析】（1）由一次函数y=kx+b，y随x增大而增大，可得k＞0，又由它的图象与x轴的夹角为45°，可求得k=1，然后由它的图象经过点（1，0），利用待定系数法即可求得这个一次函数的解析式．（2）注意平移的方向有两种可能.【详解】解：由一次函数的图象经过且它与轴的夹角为可知，它与轴的交点为或，因为随增大而增大，所以只取∵图象经过∴解得，∴一次函数的解析式为．因为图象沿轴平移两个单位，但是没有说明方向，故情况有两类：①向正方向：，即，②向负方向：，即，∴平移后的函数解析式为：或．与轴交点，时，，，∴交点坐标分别为，．【点拨】本题考核知识点：一次函数性质,交点问题.解题关键点：熟记待定系数法求函数解析式和平移性质.23．（1）y=x﹣4；（2）（1，0）【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出函数的解析式；（2）利用一次函数的平移的性质：上加下减，左加右减进行变形即可.【详解】（1）把x=2，y=-2代入y=kx-4可得2k-4=-2解得k=1即一次函数的解析式为y=x-4（2）根据一次函数的平移的性质，可得y=x-4+3=x-1即平移后的一次函数的解析式为y=x-1因为与x轴的交点y=0可得x=1所以与x轴的交点坐标为（1，0）.【点拨】此题主要考查了一次函数的图像与性质，关键是利用待定系数法求出函数的解析式.24．（1）;（2）；（3），所画图像详见解析【分析】（1）已知直线上的两点坐标，可用待定系数法把两点坐标代入一次函数（是常数，且），组成二元一次方程组，可求出，代入即可得该一次函数解析式；（2）点在该一次函数图象上，把该点代入（1）求得的一次函数解析式，即可求得的值；（3）根据图像平移规律，可知向下平移3个单位，应该是原解析式 -3，即，整理得；图像利用描特殊点法作出即可．【详解】证明：（1）∵一次函数（是常数，）的图象过，两点，∴，得，即该一次函数的表达式是；（2）点在该一次函数的图象上，∴，解得，，即的值是；（3）把向下平移3个单位后可得：；图象如下： 【点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式；利用点在一次函数上的性质，确定字母的值；图形平移性质及一次函数图像的画法等知识．25．【结论应用】y=x，下，3；【类比思考】①y=-6x-30；②y=-6x-19；【拓展应用】y=-2x-3．【解析】【结论应用】根据题目材料中给出的结论即可求解；【类比思考】①在直线y=-6x上任意取两点A（0，0）和B（1，-6），将点A和B向左平移5个单位得到点C、D，根据点的平移规律得到点C、D的坐标．设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0），利用待定系数法即可求出直线CD的解析式；②在直线y=-6x上任意取两点A（0，0）和B（1，-6），将点A和B向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点C、D，根据点的平移规律得到点C、D的坐标．设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0），利用待定系数法即可求出直线CD的解析式；【拓展应用】在直线l：y=2x+3上任意取两点A（0，3）和B（1，5），作点A和B关于x轴的对称点C、D，根据关于x轴对称的点的规律得到C、D的坐标．设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0），利用待定系数法即可求出直线CD的解析式．【详解】解：【结论应用】一次函数y=x-3的图象可以看作正比例函数y=x的图象向下平移3个单位长度而得到． 故答案为y=x，下，3； 【类比思考】①在直线y=-6x上任意取两点A（0，0）和B（1，-6）， 将点A（0，0）和B（1，-6）向左平移5个单位得到点C（-5，0）和D（-4，-6），连接CD，则直线CD就是直线AB向左平移5个单位长度后得到的直线，设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0）， 将C（-5，0）和D（-4，-6）代入得到：-5k+b＝0-4k+b＝-6，解得k＝-6b＝-30， 所以直线CD的解析式为：y=-6x-30． 故答案为y=-6x-30； ②在直线y=-6x上任意取两点A（0，0）和B（1，-6）， 将点A（0，0）和B（1，-6）向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点C（-4，5）和D（-3，-1），连接CD，则直线CD就是直线AB向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到的直线， 设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0）， 将C（-4，5）和D（-3，-1）代入得到：-4k+b＝5-3k+b＝-1解得k＝-6b＝-19 所以直线l的解析式为：y=-6x-19． 故答案为y=-6x-19； 【拓展应用】在直线l：y=2x+3上任意取两点A（0，3）和B（1，5）， 则点A和B关于x轴的对称点分别为C（0，-3）或D（1，-5），连接CD，则直线CD就是直线AB关于x轴对称的直线，设直线CD的解析式为：y=kx+b（k≠0）， 将C（0，-3）或D（1，-5）代入得到：b＝-3k+b＝-5解得k＝-2b＝-3 所以直线l关于x轴对称的直线的解析式为y=-2x-3．【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与二元一次方程（组），考查了学生的阅读理解能力与知识的迁移能力．理解阅读材料是解题的关键．26．（1）C；（2）一次函数的表达式为y=2x；（3）对应的函数解析式为：y=x﹣．【解析】试题分析：（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得；（2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案；（3）直接根据一次函数互相垂直时系数之积为﹣1，进而得出答案．试题解析：（1）将函数y=﹣2x的图象沿x轴向右平移3个单位长度，平移后与x轴的交点为（3，0），将（3，0）代入y=-2x+b中，得0=-6+b，解得b=6，所以平移后的函数表达式为y=﹣2x+6，故选C；（2）在函数y=﹣2x的图象上取两个点A（0，0）、B（1，﹣2），关于x轴对称的点的坐标A′（0，0）、B′（1，2），一次函数的表达式为y=2x；（3）∵一次函数y=﹣2x的图象绕点（2，3）逆时针方向旋转90°，∴旋转后得到的图象与原图象垂直，则对应的函数解析式为：y=x﹣．点睛：本题考查图形变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标“左减右加”；纵坐标“上加下减”．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要弄清楚平移前后的解析式有什么关系．27．（1）y=-43x+8，y=-43x+12（2）10225,6425【分析】（1）已知A、B两点的坐标，可用待定系数法求出直线AB的解析式，根据若两个一次函数的图象平行，则k1=k2且b1≠b2，设出直线A′B′的解析式，代入P（6，4），即可求得解析式；（2）根据直线AB的解析式设出设直线PD解析式为y=34x+n代入P（6，4），即可求得解析式，然后联立解方程即可求得D的坐标．【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b 根据题意，得：6k+b=0b=8解之，得k=-43b=8 ∴直线AB的解析式为y=-43x+8 ∵AB∥A′B′， ∴直线A′B′的解析式为y=-43x+b＇， ∵过经过点P（6，4）， ∴4=-43×6+b′， 解得b′=12， ∴直线A′B′的解析式为y=-43x+12．（2）过点P作直线PD⊥AB，垂足为点D，画出图象如图： ∵直线PD⊥AB， ∴设直线PD解析式为y=34x+n， ∵过点P（6，4）， ∴4=34×6+n，解得n=-12， ∴直线PD解析式为y=34x-12， 解y=-43x+8y=34x-12得x=10225y=6425， ∴D（10225，6425）．【点拨】本题考查 了两条直线的平行或相交问题，一次函数的性质，掌握对于两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2，若两个一次函数的图象平行，则k1=k2且b1≠b2；若两个一次函数的图象垂直，则k1•k2=-1是解题的关键．
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