北师大版八年级上册1 函数导学案

专题4.3  正比例函数（知识讲解）

【学习目标】

1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数的图象；

2. 理解并掌握正比例函数的性质，解决简单的实际问题．

【要点梳理】

 要点一、正比例函数的定义

1、正比例函数的定义

一般的，形如 （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.

2、正比例函数的等价形式

（1）、是的正比例函数；

（2）、（为常数且≠0）；

（3）、若与成正比例；

（4）、（为常数且≠0）.

要点二、正比例函数的图象与性质

正比例函数（是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.当＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小.

要点三、待定系数法求正比例函数的解析式

由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.

【典型例题】

类型一、正比例函数的定义

1．已知自变量为x的函数y＝mx＋2－m是正比例函数，则m＝________，该函数的解析式为________．

【答案】2;    y＝2x   

【分析】根据正比例函数的定义可得答案．

解：m≠0，2-m=0，
∴m=2，
该函数的解析式为y=2x．

故答案为2；y=2x．

【点拨】解题关键是掌握正比例函数的定义条件．正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．

举一反三：

【变式1】已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝_____．

【答案】-1

【分析】由正比例函数的定义可得m2﹣1＝0，且m﹣1≠0．

解：由正比例函数的定义可得：m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，

解得：m＝﹣1，

故答案为﹣1．

【点拨】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0．

【变式2】若函数是正比例函数，则=_______.

【答案】-2

【分析】根据形如y=kx（k≠0）是正比例函数，可得答案

解：函数是正比例函数，

解得：

故答案为

【点拨】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握概念是解题的关键．

【变式3】若函数是关于的正比例函数，则常数m的值是__________．

【答案】

【分析】根据正比例函数的定义列出式子计算求出参数m的值．

解：∵函数y=（m-2）x+4-m2是关于x的正比例函数,
∴4-m2=0且m-2≠0,
解得,m=-2或m=2（不符合题意,舍去）．
故答案为：m=-2．

【点拨】本题考查的是正比例函数的定义,一般地,形如y=kx（k是常数,k≠0）的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数．

类型二、正比例函数的图象

2．如图所示，三个正比例函数的图象分别对应的表达式：①，②，③.则a，b，c的大小关系是________.

【答案】

 【分析】根据正比例函数图象的性质分析．

解：首先根据图象经过的象限，得a＞0，b＞0，c＜0，

再根据直线越陡，|k|越大，则b＞a＞c．

故答案为b＞a＞c．

【点拨】了解正比例函数图象的性质：当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大．

举一反三：

【变式1】如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax，②y=bx，③y=cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为_____．

【答案】a＜c＜b

【分析】根据直线所过象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线陡的情况可判断出

b＞c，进而得到答案．

解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，

再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．

则b＞c＞a，

故答案为a＜c＜b．

【变式2】正比例函数的图象经过第一、三象限，求m的值．

【答案】2

【分析】根据正比例函数的定义和图象经过象限得到关于m的方程和m的取值范围，即可求解．

解：∵函数函数为正比例函数，

∴，

∴，

又∵正比例函数的图像经过第一、三象限，

∴m＞0，

∴

【点拨】本题考查了正比例函数的定义和性质，注意正比例函数是一次函数，自变量次数为1，熟知正比例函数图象与性质是解题关键．

【变式3】函数的图象经过的象限是_____．

【答案】一、三

【分析】直接利用一次函数的性质得出其经过的象限．

解：函数的图象经过一三象限，

故答案为一、三

【点拨】本题考查的是一次函数，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键.

类型三、正比例函数性质

3 已知正比例函数的图像经过点M( )、、，如果，那么________．（填“＞”、“＝”、“＜”）

【答案】>

分析：根据正比例函数的图象经过点M（﹣2，1）可以求得该函数的解析式，然后根据正比例函数的性质即可解答本题．

详解：设该正比例函数的解析式为y=kx，则1=﹣2k，得：k=﹣0.5，∴y=﹣0.5x．∵正比例函数的图象经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），x1＜x2，∴y1＞y2．

故答案为＞．

点拨：本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答．

举一反三：

【变式1】已知正比例函数，当时，对应的y的取值范围是，且y随x的减小而减小，则k的值为________．

【答案】

【分析】先根据题意判断直线经过点（-3，-1）、（1，），再用待定系数法求出解析式即可．

解：因为y随x的减小而减小，所以当时，；当时，．把 代入，得，解得．

【点拨】此题考查正比例函数的性质，根据y随x的减小而减小判断直线经过点

（-3，-1）、（1，）是解答此题的关键．

【变式2】如图，A是正比例函数y=x图象上的点，且在第一象限，过点A作AB⊥y轴于点B，以AB为斜边向上作等腰直角三角形ABC，若AB=2，则点C的坐标为_______．

【答案】（1，4）．

【分析】根据得出点A的横坐标，根据正比例函数图象上点的坐标特征，得出点A的坐标，根据等腰直角三角形的性质，即可得到点C的坐标.

解：∵A是正比例函数图象上的点，且在第一象限，  

∴点A的横坐标是2，

当x=2时，y=3，

∴点A的坐标为（2，3），

∵过点A作AB⊥y轴于点B，以AB为斜边向上作等腰直角三角形ABC，

∴点C到AB的距离为1，AB的一半是1，

∴点C的坐标是（1，4）

故答案为（1，4）．

【点拨】考查正比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质等，综合性比较强.

 类型四、正比例函数的解析式

3 已知y与x成正比例，当x=8时，y=﹣12，则y与x的函数的解析式为_____．

【答案】y=-x

【分析】根据题意可得y=kx，再把x=8时，y=-12代入函数，可求k，进而可得y与x的关系式．

解：设y=kx，
∵当x=8时，y=-12，
∴-12=8k，
解得k=-，
∴所求函数解析式是y=-x；
故答案为:y=-x．

【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是理解成正比例的关系的含义．

【变式1】点在正比例函数图像上，过点作轴的垂线，垂足是，若，则此正比例函数的解析式是________.

【答案】或

【分析】设 由题意可得得到A的坐标，将之代入正比例解析式中求得k值，即可得解.

解：设 由题意可得

故点A的坐标为,设正比例函数解析式为，

，

解得，

所以这个函数的解析式为或

故答案为或.

【点拨】本题考查了正比例函数，能灵活应用待定系数法求解析式是解题关键.

【变式2】已知正比例函数图象经过点（2，－4）．

（1）求这个函数的解析式；

（2）图象上两点A（，）、B（，），如果，比较，的大小．

【答案】(1)  （2）

【分析】（1）利用待定系数法把（2，-4）代入正比例函数y=kx中计算出k即可得到解析式；.

（2）根据正比例函数的性质：当k＜0时，y随x的增大而减小，即可判断．

解：（1）∵正比例函数经过点（2，-4），

∴，解得，

∴这个正比例函数的解析式为：

（2）∵，∴y随x的增大而减小，

∵，∴.

【点拨】此题考查了用待定系数求正比例函数的关系式，判断点是否在函数的图象上及正比例函数的性质，解（1）的关键是能正确代入即可；解（2）的关键是：熟记当k＜0时，y随x的增大而减小，当k＞0时，y随x的增大而增大．

类型四、正比例函数的综合运用

1．如图，已知四边形ABCD是正方形，点B，C分别在直线和上，点A，D是x轴上两点.

（1）若此正方形边长为2，k=_______.

（2）若此正方形边长为a，k的值是否会发生变化？若不会发生变化，请说明理由；若会发生变化，求出a的值.

【答案】（1）；（2）k的值不会发生变化，理由见解析

【分析】（1）由边长可得AB，进而根据y=2x求出OA，得到OD，再根据边长为2得到CD，代入y=kx中即可；

（2）根据正方形的边长a，运用正方形的性质表示出C点的坐标，再将C的坐标代入函数中，从而可求得k的值．

解：（1）

正方形边长为2，

.在直线中，

当时，

，将代入中，

得，解得.

（2）k的值不会发生变化

理由：正方形边长为a

，

在直线中，当时，，

.

将代入中，得,

解得，

∴k值不会发生变化.

【点拨】本题主要考查正方形的性质与正比例函数的综合运用，是一道比较好的题目，难度适中．灵活运用正方形的性质是解题的关键．

举一反三：

【变式1】已知正比例函数y＝(k＋3)x．

(1)k为何值时，函数的图象经过第一、三象限；

(2)k为何值时，y随x的增大而减小；

(3)k为何值时，函数图象经过点(1，1) ．

【答案】（1）k＞－3；（2）k＜－3；（3）k＝－2．

【分析】(1)根据正比例函数的性质，由于函数的图象经过第一、三象限，所以k＋3＞0；

(2)要使得y随x的增大而减小，则k＋3＜0；

(3)要使得函数图象经过点(1，1)，则x＝1，y＝1满足函数关系式．

解：(1)、由题意知k＋3＞0，∴k＞－3．

(2)、由题意知k＋3＜0，∴k＜－3．

(3)、把x＝1，y＝1代入y＝(k＋3)x中，得1＝k＋3，

∴k＝－2．

【变式2】已知正比例函数y＝kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．

（1）求正比例函数的表达式；

（2）在x轴上能否找到一点M，使△AOM是等腰三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x；（2）当点M的坐标为（﹣，0）、（，0）、（6，0）或（，0）时，△AOM是等腰三角形．

【分析】（1）根据点A的横坐标、△AOH的面积结合点A所在的象限，即可得出点A的坐标，再利用待定系数法即可求出正比例函数的表达式；

（2）分OM＝OA、AO＝AM、OM＝MA三种情况考虑，①当OM＝OA时，根据点A的坐标可求出OA的长度，进而可得出点M的坐标；②当AO＝AM时，由点H的坐标可求出点M的坐标；③当OM＝MA时，设OM＝x，则MH＝3﹣x，利用勾股定理可求出x值，进而可得出点M的坐标．综上即可得出结论．

解：（1）∵点A的横坐标为3，△AOH的面积为3，点A在第四象限，

∴点A的坐标为（3，﹣2）．

将A（3，﹣2）代入y＝kx，

﹣2＝3k，解得：k＝﹣，

∴正比例函数的表达式为y＝﹣x．

（2）①当OM＝OA时，如图1所示，

∵点A的坐标为（3，﹣2），

∴OH＝3，AH＝2，OA＝＝，

∴点M的坐标为（﹣，0）或（，0）；

②当AO＝AM时，如图2所示，

∵点H的坐标为（3，0），

∴点M的坐标为（6，0）；

③当OM＝MA时，设OM＝x，则MH＝3﹣x，

∵OM＝MA，

∴x＝ ，

解得：x＝，

∴点M的坐标为（，0）．

综上所述：当点M的坐标为（﹣，0）、（，0）、（6，0）或（，0）时，△AOM是等腰三角形．

【点拨】本题考查待定系数法求正比例函数解析式、正比例函数的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据点A的横坐标结合三角形的面积，求出点A的坐标；（2）分OM=OA、AO=AM、OM=MA三种情况考虑．