数学八年级上册1 函数学案设计

这是一份数学八年级上册1 函数学案设计，共22页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。

专题5.20 二元一次方程（组）与一次函数（知识讲解）
【学习目标】
1. 能用函数观点看一次方程（组），能用辨证的观点认识一次函数与一次方程的区别与联系.
2. 在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化的思想．
【要点梳理】
要点一、一次函数与一元一次方程的关系
一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.
要点二、一次函数与二元一次方程组
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
特别说明：
　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.
　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.
　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
要点三、待定系数法求一次函数的解析式
第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
第四步（写）：写出该函数的解析式。
要点四、方程组解的几何意义
1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．
2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况：
根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．
3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．
【典型例题】
类型一、两直线的交点与二元一次方程组的解
1、如图，已知直线y=kx+b经过点A(5,0),B(1，4).
（1） 求直线AB的解析式；（2）若直线y=2x-4与直线AB相交于点C，求点C的坐标.

【答案】
【分析】
(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式；
(2)解两个函数解析式组成方程组即可求解；
解：(1)根据题意得：
，解得，
则直线AB的解析式是；
(2)根据题意得：
，解得：，
则C的坐标是 ；
【点拨】本题考查一次函数用待定系数法求解析式以及交点的求法.
举一反三：
【变式1】已知直线y＝2x与y＝－x＋b的交点坐标为(1，a)，试确定方程组的解和a、b的值．
【答案】
解：∵直线过点（1，a），∴a=2，
∴交点坐标为（1，2），
∵过（1，2），
∴2=﹣1+b，解得：b=3，
∴方程组的解为，
故答案为．
考点：一次函数与二元一次方程（组）．
【变式2】如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)．
(1)求b的值；
(2)不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解．

【答案】(1)2(2)
解：试题分析：(1)、将点P的坐标代入y=x+1即可得出答案；(2)、两个函数的交点坐标就是以这两个一次函数所组成的二元一次方程组的解．
试题解析：(1)、∵(1，b)在直线y＝x＋1上，∴当x＝1时，b＝1＋1＝2.
(2)、∵直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)，
∴方程组的解是．
点睛：本题主要考查的就是一次函数的交点与二元一次方程组的关系，属于简单题型．解决这种问题的时候，我们首先根据待定系数法求出两个一次函数的解析式，然后将解析式写成方程的形式，两个方程所形成的方程组的解就是两个函数的交点．如果两个一次函数的解析式不明确时，如果交点坐标已知，那么方程组的解也是可以求出的．
【变式3】如图，已知直线与x轴交于点A，与直线交于点B．
（1）求点A、B两点的坐标；
（2）直接写出y1＞y2时x的取值范围．

【答案】（1）A（2，0）,;（2）当y1＞y2 时，x＞-1.
【分析】
(1)根据直线与x轴的坐标的特点，将y=0，代入解析式，即可求得点A的坐标；联立两条直线解析式组成方程组，求得方程组的解，即可得到点B的坐标；
(2)由点B的坐标可知y1＞y2时，x>-1.
解：(1)由y1=-x+1，可知当y=0时，x=2，
∴点A的坐标是(2，0)，
∵y1=-x+1与y2=−x交于点B，，解得
∴B点的坐标是(-1，)；
(2) 由点B的坐标可知y1＞y2时，x>-1.
故答案为：(1)A(2，0)，B(-1，)；(2)；(3)x>-1.
【点拨】本题考查两条直线的交点，解决此题时，明确二元一次方程组与一次函数的关系是解决此类问题的关键．
类型二、图象法解二元一次方程组
2、已知二元一次方程，通过列举将方程的解写成下列表格的形式：

-1


5
6

6
5

0

如果将二元一次方程的解所包含的未知数的值对应直角坐标系中一个点的横坐标，未知数的值对应这个点的纵坐标，这样每一个二元一次方程的解，就可以对应直角坐标系中的一个点，例如：方程的解的对应点是．
（1）表格中的________，___________；
（2）通过以上确定对应点坐标的方法，将表格中给出的五个解依次转化为对应点的坐标，并在所给的直角坐标系中画出这五个点；根据这些点猜想方程的解的对应点所组成的图形是_________，并写出它的两个特征①__________，②_____________；
（3）若点恰好落在的解对应的点组成的图形上，求的值．

【答案】（1）0，-1；（2）见解析；（3）-6．
【分析】
（1）根据题意，将m和n代入方程即可得解；
（2）将每个对应点的坐标在直角坐标系中进行描点，即可得出图形，然后观察其特征即可；
（3）将点P代入即可得出的值.
解：（1）根据表格，得，
∴m=0，n=-1；
（2）如图所示，即为所求：

该图形是一条直线；
①经过第一、二、四象限；②与y轴交于点（0，5）（答案不唯一）；
（3）把x=﹣2a，y= a-1代入方程x+y＝5中，得
-2a+（a-1）=5，
解之，得a=-6．
【点拨】此题主要考查二元一次方程和平面直角坐标系综合运用，熟练掌握，即可解题.
举一反三：
【变式1】用图像法解二元一次方程组.
【答案】.
【分析】
由题意将二元一次方程组变形为一次函数，两个函数图像的交点即为二元一次方程组的解.
解：由，可得，
由，可得，
由此作图直线和的交点即为二元一次方程组的解，

所以二元一次方程组的解为.
【点拨】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握利用图像法解二元一次方程组的方法是解题的关键.
【变式2】用图象法解下列二元一次方程组：
（1）
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
先把各个方程化成一次函数的形式，再作出对应的函数图象，即可得到结果.
解：（1）由得，
由得，

如图，在同一直角坐标系中，画出一次函数和的图象，它们的交点坐标为（1，3）
所以原二元一次方程组的解为；
（2）由得
由得

如图，在同一直角坐标系中，画出一次函数 和的图象，它们的交点坐标为（2，-2）
所以原二元一次方程组的解为.
（1）由得
由得

如图，在同一直角坐标系中，画出一次函数和的图象，它们的交点坐标为（1，3）
所以原二元一次方程组的解为；
（2）由得
由得

如图，在同一直角坐标系中，画出一次函数 和的图象，它们的交点坐标为（2，-2）
所以原二元一次方程组的解为.
【点拨】本题考查图象法解二元一次方程组，熟练掌握图象法解二元一次方程组的一般步骤是解题关键.
【变式3】在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y1＝2x－4，y2＝x＋1的图像，根据图像回答下列问题：
(1)求二元一次方程组的解；
(2)求一元一次不等式组的解集．
【答案】（1），（2）x＞2.
【解析】
【分析】
（1）在同一坐标系内作出函数y1＝2x－4和y2＝x＋1的图象，它们的交点坐标就是所求；
（2）观察图象可知，直线y1＝2x－4和y2＝x＋1同时落在x轴上方的部分对应的x的取值范围即为所求．
解：图像如图所示．

(1)由图像知，直线y1＝2x－4与y2＝x＋1的交点坐标为(5，6)，所以方程组的解为；
(2)由图像知，不等式组的解集为x＞2.
【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组、一次函数与一元一次不等式的关系，准确画出函数图象、利用数形结合思想是解题的关键．
类型三、求直线围成的图形的面积
3、已知，直线y=2x+3与直线y=﹣2x﹣1.

（1）求两直线与y轴交点A，B的坐标；
（2）求两直线交点C的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【答案】（1）A（0，3），B（0，-1）；
（2）点C的坐标为（-1，1）；
（3）S△ABC= 2.
【分析】
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）构建方程组确定交点坐标即可；
（3）过点C作CD⊥AB交y轴于点D，根据S△ABC=AB•CD计算即可.
解：（1）在y=2x+3中，当x=0时，y=3，即A（0，3）；
在y=-2x-1中，当x=0时，y=-1，即B（0，-1）；
（2）依题意，得，
解得；
∴点C的坐标为（-1，1）；
（3）过点C作CD⊥AB交y轴于点D；

∴CD=1；
∵AB=3-（-1）=4；
∴S△ABC=AB•CD=×4×1=2.
【点拨】本题考查两条直线平行或相交问题、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．
举一反三：
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求k、b的值；
（2）请直接写出不等式kx+b﹣3x＞0的解集．
（3）若点D在y轴上，且满足S△BCD＝2S△BOC，求点D的坐标．

【答案】（1）k=-1，b=4；（2）x＜1；（3）点D的坐标为D（0，﹣4）或D（0，12）．
【分析】
（1）用待定系数法求解；（2）kx+b＞3x，结合图象求解；（3）先求点B的坐标为（4，0）．设点D的坐标为（0，m），直线DB：y＝-，过点C作CE∥y轴，交BD于点E，则E（1，），可得CE，S△BCD＝S△CED+S△CEB＝＝ |3﹣ |×4＝2|3﹣，由S△BCD＝2S△BOC可求解.
解：（1）当x＝1时，y＝3x＝3，
∴点C的坐标为（1，3）．
将A（﹣2，6）、C（1，3）代入y＝kx+b，
得：
解得：；
（2）由kx+b﹣3x＞0，得
kx+b＞3x，
∵点C的横坐标为1，
∴x＜1；
（3）由（1）直线AB：y＝﹣x+4
当y＝0时，有﹣x+4＝0，
解得：x＝4，
∴点B的坐标为（4，0）．

设点D的坐标为（0，m），
∴直线DB：y＝-，
过点C作CE∥y轴，交BD于点E，则E（1，），
∴CE＝|3﹣ |
∴S△BCD＝S△CED+S△CEB＝＝ |3﹣ |×4＝2|3﹣ |．
∵S△BCD＝2S△BOC，即2|3﹣ |＝×4×3×2，
解得：m＝﹣4或12，
∴点D的坐标为D（0，﹣4）或D（0，12）．
【点拨】考核知识点：一次函数的综合运用.数形结合分析问题是关键.
【变式2】已知一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象相交于点.
求：
（1）a的值；
（2）k，b的值；
（3）这两个函数图象与x轴所围成的三角形的面积.
【答案】（1）（2），（3）
【分析】
（1）将代入，可求a;.
（2）用待定系数法求出，.
（3）由（2）知一次函数表达式为，求出直线与坐标轴的交点坐标，再求三角形面积.
解：（1）将代入，得.
（2）将，代入，得，.解得，.
（3）由（2）知一次函数表达式为，当时，x=，即与x轴的交点的坐标为，设该交点为点B.所以
【点拨】考核知识点：求一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积.求出关键点坐标是关键.
【变式3】如图，直线分别与轴、轴交于A、B两点．过点B的直线交轴于点C．点D是直线上的一点，连接CD．
（1）求AB的长和点D的坐标；
（2）求△BCD的面积．

【答案】（1），D的坐标为（﹣2，6）；（2）S△BCD=12
【分析】
（1）根据题意易求出点A的坐标和点B的坐标，再利用两点的距离公式即可求出AB长；由点D(n，6)是直线l1上的一点，即可求出D点坐标．
（2）过点D作轴，交BC于点E．由点D坐标可求出点E纵坐标，即可求出DE的长．再由交x轴于点C，即可求出C点坐标．最后利用三角形面积公式即可．
解：（1）∵直线：分别与x轴，y轴交于A，B两点，
令x=0，y=3；令y=0，即，解得．
∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，3)，
∴，
∵点D(n，6)是直线l1上的一点，
∴，解得：n=-2，
∴点D的坐标为(-2，6)．
（2）过点D作轴，交BC于点E，如图所示．

∵点D的坐标为(-2，6)，
∴点E的横坐标为-2，
∵点E在直线上，
∴，
∴．
∵直线l2：交x轴于点C，
令y=0，即，解得．
∴点C的坐标为(-6，0)，
∴OC=6．
∴S△BCD=OC•DE=×6×4=12．
【点拨】本题考查一次函数在几何中的应用．掌握求一次函数与坐标轴的交点坐标，两点的距离公式，函数图象上点的坐标符合其解析式是解答本题的关键．
类型四、求一次函数的解析式
4、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求k、b的值；
（2）若点D在y轴负半轴上，且满足S△COD=S△BOC，求点D的坐标．

【答案】（1）k=-1，b=4；（2）点D的坐标为（0，-4）．
解：分析：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出k、b的值；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，设点D的坐标为（0，m）（m＜0），根据三角形的面积公式结合S△COD=S△BOC，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，进而可得出点D的坐标．
详解：（1）当x=1时，y=3x=3，
∴点C的坐标为（1，3）．
将A（﹣2，6）、C（1，3）代入y=kx+b，
得：，
解得：．
（2）当y=0时，有﹣x+4=0，
解得：x=4，
∴点B的坐标为（4，0）．
设点D的坐标为（0，m）（m＜0），
∵S△COD=S△BOC，即﹣m=××4×3，
解得：m=-4，
∴点D的坐标为（0，-4）．
点睛：本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出k、b的值；（2）利用三角形的面积公式结合结合S△COD=S△BOC，找出关于m的一元一次方程．
举一反三：
【变式1】如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）．
（1）求m的值及l2的解析式；
（2）求S△AOC﹣S△BOC的值；
（3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．

【答案】（1）m=2，l2的解析式为y=2x；（2）S△AOC﹣S△BOC=15；（3）k的值为或2或﹣．
解：【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式；
（2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，再根据A（10，0），B（0，5），可得AO=10，BO=5，进而得出S△AOC﹣S△BOC的值；
（3）分三种情况：当l3经过点C（2，4）时，k=；当l2，l3平行时，k=2；当11，l3平行时，k=﹣；故k的值为或2或﹣．
【详解】（1）把C（m，4）代入一次函数y=﹣x+5，可得
4=﹣m+5，
解得m=2，
∴C（2，4），
设l2的解析式为y=ax，则4=2a，
解得a=2，
∴l2的解析式为y=2x；
（2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，
y=﹣x+5，令x=0，则y=5；令y=0，则x=10，
∴A（10，0），B（0，5），
∴AO=10，BO=5，
∴S△AOC﹣S△BOC=×10×4﹣×5×2=20﹣5=15；

（3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，
∴当l3经过点C（2，4）时，k=；
当l2，l3平行时，k=2；
当11，l3平行时，k=﹣；
故k的值为或2或﹣．
【点拨】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰直角三形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及分类讨论思想等．
【变式2】如图，已知一次函数 的图象经过A （－2，－1） ， B （1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．

（1）求该一次函数的解析式
（2）△AOB的面积
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先把A点和B点坐标代入y＝kx＋b得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）令y＝0，即可确定D点坐标，根据三角形面积公式和△AOB的面积＝S△AOD＋S△BOD进行计算即可．
解：（1）把A（－2，－1），B（1，3）代入y＝kx＋b得
，
解得，
所以一次函数解析式为；
（2）把x＝0代入得，
所以D点坐标为（0，），
所以△AOB的面积＝S△AOD＋S△BOD．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：①先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx＋b；②将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
【变式3】如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，2），一次函数图象经过点B（﹣2，﹣1），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D．
（1）求一次函数解析式；
（2）求C点的坐标；
（3）求△AOD的面积．

【答案】（1）y=x+1；（2）C（0，1）；（3）1
解：试题分析：（1）首先根据正比例函数解析式求得m的值，再进一步运用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）根据（1）中的解析式，令x=0求得点C的坐标；
（3）根据（1）中的解析式，令y=0求得点D的坐标，从而求得三角形的面积．
试题解析：
（1）∵正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，2），
∴2m=2，
m=1．
把（1，2）和（-2，-1）代入y=kx+b，得

解得：

则一次函数解析式是y=x+1；
（2）令x=0，则y=1，即点C（0，1）；
（3）令y=0，则x=-1．
则△AOD的面积=.
【点拨】运用了待定系数法求函数解析式、直线与坐标轴的交点的求法．