初中数学北师大版八年级上册2 求解二元一次方程组导学案

专题5.4  求解二元一次方程组-代入法（知识讲解）

【学习目标】

1. 理解消元的思想；

2. 会用代入法解二元一次方程组.

【要点梳理】

要点一、消元法

1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.

2.消元的基本思路：未知数由多变少.

3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.

要点二、代入消元法

    通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．

要点诠释：

(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．

(2)代入消元法的技巧是：

①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；

②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；

(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．

【典型例题】

类型一、用代入法解二元一次方程组

1．解方程组（用代入法解二元一次方程组）

【答案】

【分析】用代入消元法解二元一次方程组即可.

解：原方程组变形为

将①代入②，得，即

解得

把代入①，得

原方程组的解是.

【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握代入消元法.

举一反三：

【变式1】解二元一次方程组：

【答案】．

【分析】由题意，得到，然后利用代入消元法解方程组，即可得到答案．

解：

由①得，  ③

把③代入②得

解得：；

把代入③得，；

∴原二元一次方程组的解为．

【点拨】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法解方程组．

【变式2】求方程组的解

【答案】

【分析】由代入消元法求解该方程组即可．

解：，

把②代入①，得，

解得，

把代入②，得，

方程组的解为．

【点拨】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握代入法解二元一次方程组的方法是解题的关键．

【变式3】解方程组：．

【答案】．

【分析】先把方程组进行整理，然后利用代入消元法解方程组，即可得到答案．

解：

整理得

由②，得．③

把③代入①，得．

解这个方程，得：．

把代入③，得．

所以这个方程组的解是．

【点拨】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握代入消元法解二元一次方程组．

类型二、用代入法解二元一次方程组的综合运用

2．定义新运算：，其中，是常数，已知，；求的值？

【答案】19

【分析】根据，，，求出a、b的值，然后求解即可.

解：根据题意得，

解得：

则

【点拨】本题主要考查了新定义下的运算和解二元一次方程组，解题的关键在于能够根据题意列出关于a、b的二元一次方程组求解.

举一反三：

【变式1】已知是关于的方程组的一个解，求代数式的值．

【答案】-6

【分析】将代入原方程组中得，然后解方程求出a、b，然后求代数式的值即可.

解：将代入原方程组中得

将①变形为③代入②：，

解得， 代入③得

∴

【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，代数式求解，解题的关键在于能够熟练掌握解二元一次方程组的方法.

【变式2】解方程组

解：由②得．③

把③代入②得，即．

所以原方程有无数组解．

上面的解答正确吗?若不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程．

【答案】不正确，理由及正确的解答过程见解析

【分析】根据二元一次方程组的解法分析即可．

解：不正确，错误的原因是方程③是由方程②变形得到的，

接着再代入方程②，犯了循环代入的错误．

正确解答为：

由②得．③

把③代入①，得，

解得．

把代入③，得．

所以原方程组的解是

【点拨】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个方程为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形，使其具备这种形式．

【变式3】在平面直角坐标系中，，，且为关于、的二元一次方程．

（1）求、两点的坐标；

（2）如图，在轴上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）A（﹣2，4），B（2，1）；（2）存在，点M坐标为（0，7.5）或（0，﹣2.5）

【分析】

（1）二元一次方程是含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，据此列出a、b的方程组，解方程组求出a、b值即可解答；

（2）根据坐标与图形性质求出，分点M在AB上方和下方两种情况，利用三角形的面积公式求解即可．

 解：（1）∵为关于、的二元一次方程，

∴，解得：，

∴A（﹣2，4），B（2，1）；

（2）存在，

如图，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，连接AB交y轴于E，

由题意，AC=4，BD=1，CD=4，

∴，

又，

∴OE=2.5，

∵，

∴，又，

∴ME=5，

当点M在AB上方时，如图1，OM=OE+ME=2.5+5=7.5，∴M（0，7.5）；

当点M在AB下方时，如图2，OM=ME﹣OE=5﹣2.5=2.5，∴M（0，﹣2.5），

综上，满足条件的点M坐标为（0，7.5）或（0，﹣2.5）．

【点拨】本题考查二元一次方程组的定义、解二元一次方程组、坐标与图形、三角形的面积公式、梯形的面积公式，解答的关键是，理解二元一次方程组的定义，会利用数形结合与分类讨论思想解决问题．

类型三、用代入法解二元一次方程其他应用

3．我们称使方程成立的一对数x，y为“相伴数对”，记为．

（1）若是“相伴数对”，求y的值；

（2）若是“相伴数对”，请用含q的代数式表示p；

（3）若是“相伴数对”，求代数式的值．

【答案】（1）；（2）；（3）-2

【分析】（1）根据使方程成立的一对数x，y为“相伴数对”，记为（x．y），将x换成6代入计算即可；
（2）结合（1）将x和y换成p和q，代入计算即可用含q的代数式表示p；
（3）由（2）可得，然后先将原式化简，代入计算即可求值．

解：（1）∵是“相伴数对”，

∴

解得；                    

（2）∵是“相伴数对”，

∴,

解得；                 

（3）∵是“相伴数对”，

∴由（2）得，，

∴原式．

【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是理解题目中相伴数对的定义，并运用．

举一反三：

【变式1】阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：

解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5，③

把方程①代入③，得2×3+y＝5，∴y＝﹣1，把y＝﹣1代入①，得x＝4，

∴方程组的解为．

请你根据以上方法解决下列问题：

（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；

（2）已知x，y满足方程组，求xy的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）模仿小军的解法求出方程组的解即可；

（2）利用“整体代换”的思想求出xy的值即可．

解：（1），

由②得：3(3x﹣2y)+2y＝19③，

把①代入③得：15+2y＝19，

解得：y＝2，

把y＝2代入①得：3x﹣4＝5，

解得：x＝3，

则方程组的解为；

（2），

由①得：2(2x2+xy)﹣4xy＝7③，

把②代入③得：12﹣4xy＝7，

解得：xy＝．

【点拨】本题考查了解二元一次方程组．利用了整体思想及消元思想，消元方法有：代入消元法和加减消元法．

【变式2】阅读小林同学数学作业本上的截图内容并完成任务．

任务：（1）这种解方程组的方法称为________；

（2）小林的解法正确吗？________（填“正确”或“不正确”），如果不正确，错在第________步，并选择恰当的方法解该方程组．

【答案】（1）代入消元法；（2）不正确，二，

【分析】（1）由解二元一次方程的的方法，即可得到答案；

（2）由代入消元法的步骤进行计算，即可得到答案．

解：这种解方程组的方法叫代入消元法．

故答案为：代入消元法．

小林的解法不正确，错在第二步，

正确解法：

由①得，③，

把③代入②得，，

解得：，

把代入③，解得：；

则方程组的解为：

【点拨】本题考查了解二元一次方程组的方法，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法进行解题．