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北师大版八年级上册2 求解二元一次方程组导学案
展开专题5.10 求解二元一次方程组题型分类专题(知识讲解)
类型一、已知二元一次方程组的解求参数
1.如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数,那么我们称这个方程组为“奇妙方程组”.
(1)判断关于,的方程组是否是“奇妙方程组”,并说明理由;
(2)如果关于,的方程组是“奇妙方程组”,求的值.
【答案】(1)是,理由见解析;(2)4
【分析】
两个未知数的值互为相反数就是它们的和为0,
(1)只需判断x+y的值是否为0即可;
(2)变形用a的式子表示x+y,从而列出a的方程求解.
解:(1)
由①+②得:,
∴两个未知数的值互为相反数,
∴方程组是“奇妙方程组”.
(2)由,解得
是“奇妙方程组”,
,
.
【点拨】本题主要考查相反数和为0,表示出两个未知数的和列方程即可,没必要一定去表达出每个未知数.
举一反三:
【变式1】若关于x,y的二元一次方程组的解满足2x+y=3,求k的值.
【答案】
【分析】先利用加减消元法解含参数的二元一次方程组,再将求出的x,y代入2x+y=3可得关于k的方程,解方程即可求解.
解:①-②,得5y=10k-9,解答y=2k ,
把y=2k代入②,得
,解得x
把x,y=2k代入方程2x+y=3,得,
解得k=.
【点拨】本题主要考查含参数的二元一次方程组,解决本题的关键是要熟练掌握解含参数的二元一次方程组的方法.
【变式2】如下是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系,若方程组从左至右依次记作方程组1,方程组2,方程组3,…,方程组.
方程组集合:,,,
对应方程组解的集合:,,,.
(1)方程组1的解为______;
(2)请依据方程组和它的解变化的规律,直接写出方程组为______,方程组的解______;
(3)若方程组的解是,求的值,并判断该方程组是否符合(2)中的规律.
【答案】(1);(2),;(3)a=5,符合
【分析】
(1)求出方程组1的解即可;
(2)观察一系列方程组的解特征,归纳总结得到一般性规律即可;
(3)利用加减消元法求出方程组的解,验证即可.
解:(1),
两式相加得:2x=2,解得:x=1,
两式相减得:2y=0,解得:y=0,
故方程组的解为:;
(2)通过观察分析,得方程组中第1个方程不变,只是第2个方程中的系数依次变为,,,,,第2个方程的常数规律是.
它们解的规律是,2,3,,.
相应的,,,,
根据以上规律,可得:
方程组n为,它的解是;
(3)因为是方程组的解,
所以有,
解得,
即原方程组为,
所以该方程组符合(2)中的规律.
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解,方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值.
类型二、二元一次方程组的特殊解法
2.阅读下列材料:
小明同学遇到下列问题:解方程组小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解,运算量比较大,容易出错.如果把方程组中的(2x+3y)看成一个整体,把(2x﹣3y)看成一个整体,通过换元,可以解决问题.以下是他的解题过程:令m=2x+3y,n=2x﹣3y.原方程组化为,解的,把代入m=2x+3y,n=2x﹣3y,得解得所以,原方程组的解为.
请你参考小明同学的做法解方程组:
(1);
(2).
【答案】(1);(2)
【分析】认真理解题目中给定的整体代换思路,按照所给的方法求出方程组的解即可.
解:(1)令,,
原方程组化为,
解得:,
,
解得:.
原方程组的解为.
(2)令,,
原方程组可化为:,
解得:,
,
经检验,是原方程的解.
原方程组的解为.
【点拨】本题考查了解二元一次方程组,整体代换是解题的关键.
举一反三:
【变式1】阅读材料在解方程组时,明明采用了一种“整体代换”的解法.
解:将方程②变形:4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5③;
把方程①代入③得2×3+y=5,∴y=﹣1,
把y=﹣1代入①,得x=4,
∴方程组的解为.
请你解决以下问题;模仿明明的“整体代换”法解方程组.
【答案】
【分析】将方程②变形为,再将整体代入即可求方程组.
解:中将②变形,得③,
将①代入③得,2×6﹣y=18,
∴y=﹣6,
将y=﹣6代入①得,x=﹣3,
∴方程组的解为.
【点拨】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法,解题的关键是读懂题意,明确整体思想.
【变式2】阅读下列解方程组的方法,然后解答问题:
解方程组时,小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解,计算量大,且易出现运算错误,他采用下面的解法则比较简单:
②①得:,即.③
③17得:.④
①④得:,代入③得.
所以这个方程组的解是.
(1)请你运用小明的方法解方程组.
(2)猜想关于、的方程组()的解是______;
(3)请你按照上面的规律写一个方程组,使它的解与(2)中方程组的解相同(所写方程组未知数的系数大于100).
【答案】(1);(2);(3)(答案不唯一) .
【分析】
(1)先用② -①得到一个新方程即然后③ ×1997,然后用① -④进行求解即可得到答案;
(2)根据(1)的原理进行方程的求解即可得到答案;
(3)根据(2)中计算的结果写出一个满足题意的方程组即可.
解:(1)
②①得:,即.③
③1997得:④
①④得:,代入③得
所以这个方程组的解是
(2)猜想方程组的解为
把代入①中得,方程左右两边相等
把代入②中得,方程左右两边相等
故原方程组的解为;
(3)由(2)得方程组的解为
即只要写出一个方程组的解为所写方程组未知数的系数大于100即可
∴满足题意的方程组为(答案不唯一) .
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组,解题的关键在于掌握题目所给的方程组解法进行正确的计算即可.
类型三、二元一次方程组的错题复原问题
3.小鑫、小童两人同时解方程组时,小鑫看错了方程②中的a,解得,小童看错了①中的b,解得,求原方程组的正确解.
【答案】
【分析】将小鑫解得的代入,将小童解得的代入中,建立方程组求解出的值,再代入原方程组中进行求解.
解:根据题意,可得,
解得,
将a,b代入原方程组,得,
由②可得③,
将③代入①,可得,
解得,
把代入③,解得.
故原方程组的正确解是.
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解,解题的关键是掌握解二元一次方程组的基本方法.
举一反三:
【变式1】甲、乙两人共同解方程组,由于甲看错了方程①中的,得到方程组的解为,乙看错了方程②中的,得到方程组的解为.试求出方程组正确的解.
【答案】
【分析】由于甲看错了a,将甲计算得到的解代入等式②,可求得b的值;同理,由于乙看错了b,将乙计算得到的解代入等式①,可计算得a的值.
解:将,代入②,得,.
将,代入①,得,.
∴原方程组为
①,得.③
②+③,得,.
将代入①,得.
∴原方程组的解是.
【点拨】本题考查了二元一次方程组的错解问题,求解的关键是熟练掌握求解方法从而准确计算得到答案.
【变式2】学习了一次方程后,甲乙两位同学为了提高解方程能力,勤加练习,但甲同学在解一元一次方程,去分母时-1项忘记乘以6,得该方程的解为,乙同学在解方程组时,看错了第一个方程,得该方程组的解为,试求的值.
【答案】.
【分析】甲同学在解方程,去分母时-1项忘记乘以6,则所得方程是:3(x+3)-1=x+a,把x=-3代入即可求得a的值;把乙的结果代入方程3x+2by=3求出b的值,即可求解.
解:甲同学在解方程,去分母时-1项忘记乘以6,
则所得方程是:3(x+3)-1=x+a,
把x=-3代入3(x+3)-1=x+a,得:a=2;
乙同学在解方程组时,看错了第一个方程,得该方程组的解为,
把代入3x+2by=3得:6+6b=3,
解得:,
则.
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解以及一元一次方程的解.注意:方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值.
类型四、构造二元一次方程组求解
4.在平面直角坐标系中,已知点 ,点 (其中为常数,且 ),则称是点的“族衍生点”.例如:点 的“族衍生点”的坐标为,即.
(1)点的“族衍生点”的坐标为 ;
(2)若点的“族衍生点”的坐标是 ,则点的坐标为 ;
(3)若点(其中),点的“族衍生点”为点,且,求的值.
【答案】(1) ;(2);(3)
【分析】
(1)利用“m族衍生点”的定义可求解;
(2)设点A坐标为(x,y),利用“m族衍生点”的定义列出方程组,即可求解;
(3)先求出点A的“m族衍生点“为点B(x,mx),由AB=OA,可求解.
解:(1)点的“族衍生点”的坐标为 ,即 ,
故答案为:;
(2)设点坐标为 ,
由题意可得:
,
点坐标为 ,
故答案为:.
(3)点,
点的“族衍生点”为点,
,
,
,
.
【点拨】本题主要考查新定义问题,平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特征,二元一次方程组的解法,准确根据题意解题是关键.
举一反三:
【变式1】对有序数对(m,n)定义“f运算”:f(m,n)=(am+bn,am﹣bn),其中a,b为常数.f运算的结果也是一个有序数对,比如当a=1,b=1时,f(﹣3,2)=(﹣1,﹣5).
(1)当a=2,b=﹣1时,f(2,2)= .
(2)f(3,1)=(﹣3,﹣1),求a和b的值;
(3)有序数对(m,n),f(m﹣1,2n)=(m﹣1,n),求a,b的值.(用m,n表示a和b)
【答案】(1)(2,6);(2);(3)
【分析】
(1)根据“f运算”的定义计算即可;
(2)根据“f运算”的定义列出方程组即可解决问题;
(3)根据“f运算”的定义列出方程组即可解决问题.
解:(1)∵f(m,n)=(am+bn,am﹣bn),
∴当a=2,b=﹣1时,f(m,n)=(2m﹣n,2m+n),
∴当m=2,n=2时,
2m﹣n=2×2﹣2=2,2m+n=2×2+2=6,
f(2,2)=(2,6).
故答案为:(2,6);
(2)由题意得 ,
解得:;
(3)由题意得 ,
解得:.
【点拨】本题主要考查了有理数的混合运算,二元一次方程组的应用,点的坐标,理解“f运算”的定义,列出方程组是解题的关键.
【变式2】在等式中,当时,;当时,.
(1)求,的值;
(2)求当时,的值.
【答案】(1);(2)13
【分析】
(1)把x与y的值代入中,求出,的值;
(2)将x的值代入(1)所求的关系式计算即可求出的值.
解:(1)由题意得
解得,
;
(2)由(1)可得原等式为,
当时,,
时,的值为13.
【点拨】本题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.
类型五、已知二元一次方程组解的情况求参数
5.在解关于x,y的方程组 时,可以用①×7-②×3消去未知数,也可以用①×2+②×5 消去未知数.
(1)求和的值:
(2)求原方程组的解
【答案】(1)m=2,n=5;(2)
【分析】(1)根据题意得出,求解即可;(2)将(1)中的解代回原方程求解即可.
解:(1)由题意可得方程组:
整理此方程组得:
,
①得,③,
②得,④,
③-④得,,
解之得,,
把代入②中,得,
所以;
(2)将代入原方程组即为,
①得:③,
②得,④,
③+④得,
解得:,
把代入②中,得,
所以原方程的解为.
【点拨】本题主要考查解二元一次方程组,根据题意求出的值是解题的关键.
举一反三:
【变式1】已知关于、的方程组.
(1)若,求实数a的值;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【分析】
(1)根据方程组分别用a表示出、的值,代入求解即可;
(2)根据方程组分别用a表示出、的值,代入求解即可
解:(1)由方程组,
②-①得:,
将代入得:,
又∵,
∴,
解得:;
(2)由(1)可知,,
又∵,
∴,
整理得:,
解得:.
【点拨】此题考查了二元一次方程和不等式结合的含参数问题,,解题的关键是根据题意列出关于参数a的方程或不等式.
【变式2】已知关于x,y的方程组,给出下列结论:
①当时,方程组的解也是方程的解;
②当时,;
③不论t取什么实数,的值始终不变;
④若,则z的最小值为.
请判断以上结论是否正确,并说明理由.
【答案】②③④
【分析】利用二元一次方程组的解,以及二元一次方程解的定义判断即可.
解:①当时,方程组的解也是方程的解,错误;
理由:把代入方程组得:,
解得:,
把代入得:左边右边,不符合题意;
②当时,,正确;
理由:由,得到,
解得:,符合题意;
③不论取什么实数,的值始终不变,正确;
理由:,
①②得:,即,
①②得:,即,
,符合题意;
④若,则的最小值为,正确;
理由:,最小值为,符合题意.
∴正确的结论为:②③④.
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解,方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值.
类型六、同解原理
6.已知关于,的方程组和的解相同,求的值.
【答案】-1
【分析】把方程组中的两个已知方程组合可得,解方程组可得:,再代入另外两个方程,求解 从而可得答案.
解:根据题意得:
①②:
把代入①:
把代入得
解得:
【点拨】本题考查的是同解方程组,二元一次方程组的解法,利用同解的含义重组方程组是解题的关键.
举一反三:
【变式1】若方程组和方程组有相同的解,求a,b的值.
【答案】a的值为,b的值为l
【分析】根据方程组和同解可以得到求出这个方程组的解,然后代入另外两个方程求出a、b即可.
解:∵方程组和同解
∴可得
把① -②得:
把代入①,解得:
∴方程组的解为:
把,代入另外两方程得:
解得:
∴a的值为,b的值为l.
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的同解问题,解题的关键在于能够熟练掌握相关性质求解.
【变式2】已知方程组和有相同的解.
(1)求,的值;
(2)若某三角形的三边长为,,,请求这个三角形的面积.
【答案】(1);(2)
【分析】(1)解方程组求解即可;(2)根据勾股定理判断三角形为直角三角形,在计算即可;
解:(1)解方程组,
得,
把代入第二个方程组得,
解得;
(2)∵,,
∴以,,为边的三角形是直角三角形,.
∴.
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的求解,结合勾股定理计算是解题的关键.
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