初中数学北师大版八年级上册3 平行线的判定学案

专题7.3  平行线的判定（知识讲解）

【学习目标】

1.理解平行线的概念，会用作图工具画平行线，了解在同一平面内两条直线的位置关系；

2.掌握平行公理及其推论；

3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.

【要点梳理】

要点一、平行公理及推论

1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

特别说明：

(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．

(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．

（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.

要点二、直线平行的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠3＝∠2

∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠1＝∠2

∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠4＋∠2＝180°

∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

特别说明：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.

　【典型例题】

类型一、同位角相等，两直线平行

1、已知：如图，点D，E分别在AB和AC上，CD平分，，．求证：．

【分析】根据角平分线定义可求，然后利用等量代换可得，再利用平行线判定定理同位角相等，两直线平行可得．

证明：∵CD平分（已知），

∴（角平分线的定义）．

∵（已知），

∴（等量代换）．

∴（同位角相等，两直线平行）．

【点拨】本题考查角平分线定义，平行线判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．

举一反三：

【变式1】如图，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：AC∥DF．

【分析】要证AC∥DF的关键是证∠ACB＝∠F，也就是证△ABC≌△DEF，已知了这两个三角形三组对应边相等，由此可得出三角形全等．

证明：∵BE＝CF，BE＋CE＝CF＋EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
．
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ACB＝∠DFE（全等三角形的对应角相等），
∴AC∥DF（同位角相等，两直线平行）．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质及平行线的判断等知识；根据全等三角形来得出对应的角相等，是解此类题的常用方法．

【变式2】如图所示， 和是射线，并且，

求证：．

【分析】要说明，关键在于确定“第三条直线”，本题中较为明显的是直线．在“三线八角”中，与已知条件、有联系的是和，这是一对内错角．至此，证题途径已经明朗．

证明：，

，

，

，

；

又，

，

即，

．

【点拨】本题主要考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解决本题的关键．

类型二、内错角相等，两直线平行 

2、如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF＝DE，求证：AB∥CD．

【分析】先证明BE＝DF，然后证明Rt△AEB≌Rt△CFD得到∠B＝∠D，则AB∥CD．

证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB＝∠CFD＝90°，

∵BF＝DE，

∴BF+EF＝DE+EF，

∴BE＝DF．

在Rt△AEB和Rt△CFD中，

，

∴Rt△AEB≌Rt△CFD（HL），

∴∠B＝∠D，

∴AB∥CD．

【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握直角三角形全等的性质与判定条件．

【变式1】我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象．光线从水射入空气中，同样也会发生折射现象．如图，已知 ，．求证：直线．

【分析】首先由推出，从而结合，推出直线所形成的内错角相等，从而结合平行线的判定定理证明即可．

证明：如图所示，

∵，

∴，

∵，

∴，

即：，

∵是直线被直线所截形成的内错角，

∴直线．

【点拨】本题考查平行线的判定与性质，理解平行线的性质，掌握平行线的判定定理是解题关键．

【变式2】如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，，，垂足分别为F、E，，AB与CD位置有什么关系并说明理由

【答案】平行，理由见解析

【分析】首先利用SAS证明△ABF≌△DCE，根据全等三角形，对应角相等，可得到∠A=∠D，再根据内错角相等，两直线平行，即可证出AB∥CD．

证明：AB∥CD，

∵AE=DF，即AF+EF=DE+EF，

∴AF=DE，

∵BF⊥AD，CE⊥AD，

∴∠BFA=∠CED=90°，

在△ABF和△DCE中，

，

∴△ABF≌△DCE（SAS），

∴∠A=∠D，

∴AB∥CD．

【点拨】此题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定，做题的关键是找出证三角形全等的条件．

类型三、同旁内角互补，两直线平行

3、蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中，．试确定这个四边形对边的位置关系，并证明你的结论．

【分析】先计算两角的和得180°，再根据平行线判定定理“同旁内角互补，两直线平行”即可得出这个四边形对边的位置关系．

证明：如图标字母，

∵∠BAD=，∠ADC=

∴∠BAD+∠ADC =，

∴AB∥CD （同旁内角互补，两直线平行）

∵∠BAD=，∠ABC=

∴∠BAD+∠ABC =，

∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．

【点拨】本题考查角的和差计算，以及单位换算，平行线判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．

举一反三：

【变式1】已知：如图，直线被所截， ，

求证： ．

证法1：如图， 与交于

（                  ）

又（                      ）

（                  ）

（                      ）

证法2：如图，

（                             ）

又（                             ）

（                    ）

（                             ）

证法3：如图，

（                              ）

（                                       ）

又（                      ）

（                              ）

（                                        ）

【答案】证法1：对顶角相等，已知，等量代换，同位角相等，两直线平行；证法2：对顶角相等，已知，等量代换，内错角相等，两直线平行；证法3：邻补角互补，对顶角相等，已知，等量代换，同旁内角相等，两直线平行．

【分析】根据平行线的判定与性质解题．

证明：证法1：如图， 与交于

（  对顶角相等 ）

又（   已知 ）

（  等量代换 ）

（    同位角相等，两直线平行 ）

证法2：如图，

（     对顶角相等 ）

又（   已知 ）

（  等量代换                  ）

（   内错角相等，两直线平行 ）

证法3：如图，

（ 邻补角互补                            ）

（       对顶角相等 ）

又（    已知 ）

（  等量代换                            ）

（       同旁内角相等，两直线平行                      ）

【点拨】本题考查平行线的判定、几何推理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

【变式2】已知：如图，BE，DF分别平分∠ABD和∠BDC，且BE⊥DF．求证：AB∥CD．

【分析】根据角平分线的性质得出∠ABE=∠DBE=∠ABD，∠BDF=∠EDF=∠BDE，根据BE⊥DF得出∠DBE+∠BDF=90°，从而得出∠ABD+∠BDE=180°，由平行线的判定方法即可得出AB∥CD．

解：证明：∵BE⊥DF，

∠BFD=90°，

∴∠DBE+∠BDF=90°，

∵BE，DF分别平分∠ABD和∠BDC，

∴∠ABE=∠DBE=∠ABD，∠BDF=∠EDF=∠BDE，

∴∠ABD+∠BDE=2∠DBE+2∠BDF=180°，

∴AB∥CD．

【点拨】本题考查了平行线的判定，灵活运用角平分线的定义和角的和差的关系是解决本题的关键，注意正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角．

类型四、垂直于同一直线的两直线平行

4、在四边形ABCD中，CF⊥BD于点F，过点A作AG⊥BD，分别交BD，BC于点E，G，若∠DAG＝∠BCF，求证：AD∥BC．

【分析】根据垂直于同一直线的两直线平行得出，CF∥AG，得出∠BGA=∠BCF，等量代换得到∠BGA=∠DAG，即可判定AD∥BC．

证明：∵CF⊥BD，AG⊥BD，

∴CF∥AG，

∴∠BGA=∠BCF，

∵∠DAG=∠BCF，

∴∠BGA=∠DAG，

∴AD∥BC．

【点拨】本题考查了平行线的判定，熟记“垂直于同一直线的两直线平行”及“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．

【变式1】如图，在四边形ABCD中，BD⊥CD，EF⊥CD，且∠1＝∠2．

（1）求证：AD∥BC；

（2）若BD平分∠ABC，∠A＝130°，求∠C的度数．

【答案】（1）详见解析；（2）65°．

【分析】（1）由题意易得BD∥EF，然后由平行线的性质及判定即可得证；

（2）由（1）得∠ABC＝50°，根据角平分线的定义及直角三角形的性质可得．

（1）证明：如图，

∵BD⊥CD，EF⊥CD（已知），

∴BD∥EF（垂直于同一直线的两条直线平行），

∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）

∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠3（等量代换）

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）

（2）∵AD∥BC（已知），

∴∠ABC+∠A＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

∵∠A＝130°（已知），

∴∠ABC＝50°

∵DB平分∠ABC（已知），

∴∠3＝∠ABC＝25°

∴∠C＝90°﹣∠3＝65°．

【点拨】本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义及直角三角形的性质，熟练掌握各个性质定理是解题的关键．

【变式2】已知：如图，在三角形 ABC 中，点 E、G 分别在 AB 和 AC 上．EF⊥BC 于点 F，AD⊥BC 于点 D，连接 DG. 如果∠1 = ∠2，请猜想 AB 与 DG 的位置关系，并证明你的猜想．

【答案】，证明见解析．

【分析】先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得．

，证明如下：

又

．

【点拨】本题考查了平行线的判定与性质等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关键．