2022-2023学年河北省廊坊市第一中学高一上学期12月半月考数学试题（解析版）

2022-2023学年河北省廊坊市第一中学高一上学期12月半月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，B={3，4，5，6}，则（    ）

A．{1，3} B．{3} C．{3，4} D．{3，5}

【答案】B

【分析】根据交集的概念即可求出结果.

【详解】由已知可得，

故选：B.

2．命题“”的否定形式是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，写出否定形式即可.

【详解】命题“”的否定形式是 “”，

故选：D

3．函数在上的图象如图所示，则此函数的最大值和最小值分别为（    ）

A．3，0 B．3，1

C．3，无最小值 D．3，2

【答案】C

【分析】由图象直接识别即可.

【详解】由图可知，在上的最大值为3，最小值取不到.

故选：C

4．函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先配方，求出函数的单调区间，即可求出值域.

【详解】令，配方得,

∴函数在上单调递减，在单调递增，

又，∴，，

故函数的值域是，

故选：B

【点睛】本题考查二次函数的值域，属于基础题.

5．已知幂函数图象过点，则

A．3 B．9 C．-3 D．1

【答案】A

【详解】设幂函数f（x）=xα，把点（3，）代入得，3α=，解得α=，

即f（x）==，所以f（9）==3，故选A．

6．函数，其中，则函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数函数的单调性求得正确答案.

【详解】，

在上递增，

所以.

故选：C

7．函数的零点是（    ）

A．1，-4 B．4，-1 C．1，3 D．不存在

【答案】B

【分析】令，根据函数的零点与方程的根的关系，解之即可求解.

【详解】令，也即，

解得：或，所以函数的零点为，

故选：.

8．喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是（　　）

A．30° B．﹣30° C．60° D．﹣60°

【答案】D

【分析】根据分针旋转方向结合任意角的定义即可求出

【详解】因为分针为顺时针旋转，所以10分钟时间钟表的分针走过的角度是 .

故选：D．

9．对应的角度为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用弧度与角度的换算关系可得结果.

【详解】.

故选：C.

10．已知角α的终边过点P(4，－3)，则sinα＋cosα的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得sinα+cosα的值

【详解】∵知角α的终边经过点P（4，-3），

∴sinα，cosα，

∴sinα+cosα．

故选：A．

11．若，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】分析：由公式可得结果.

详解：

故选B.

点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.

12．函数的图像大致是

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】依题意，，函数为减函数，且由向右平移了一个单位，故选.

点睛：本题主要考查对数函数的图像与性质，考查图像的平移变换.对于对数函数，当时，函数为减函数，图像过，当时，函数为增函数，图像过.函数与函数的图像可以通过平移得到，口诀是“左加右减”.在平移过程中要注意原来图像的边界.

二、多选题

13．若且与角的终边垂直，则是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】首先求出与角共终边的角，再根据已知条件即可求解.

【详解】由题意，易知，，

∵与角的终边垂直，

∴，即，或，，

对于选项A：，，故A正确；

对于选项B：，可知，；

，可知，，故B错；

对于选项C： ，可知，；

，可知，，故C错；

对于选项D：，可知，，故D正确.

故选：AD.

14．（多选）已知角的终边在轴的上方，那么角可能是

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】AC

【分析】由角的终边的位置，可得角的范围：，，即得角的范围：，，再对k分奇数和偶数讨论可得解.

【详解】因为角的终边在轴的上方，所以，，则有，.

故当，时，，，为第一象限角；

当，时，，，为第三象限角.

故选A，C.

【点睛】本题考查角和角的终边的位置关系，关键在于由角的终边的位置得角的范围，再分k为奇数和偶数讨论，属于基础题.

15．已知函数（，且）的值域为，函数，，则下列判断正确的是（    ）

A．

B．函数在上为增函数

C．函数在上的最大值为2

D．若，则函数在上的最小值为-3

【答案】ACD

【分析】对于A，由指数函数的性质结合函数的值域可求出的范围，对于B，对函数化简后由对数函数的单调性进行判断，对于CD，由函数的单调性可求出函数的最值.

【详解】对于A，因为函数的值域为，且为偶函数，当时，，

所以，所以A正确，

对于B，，，

由，可知和在上单调递减，

所以函数在上为减函数，所以B错误，

对于C，由选项B可知在上为减函数，所以，所以C正确，

对于D，由选项B可知在上为减函数，所以当时，

，所以D正确，

故选：ACD.

16．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E. J. Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【解析】根据已知定义，将问题转化为方程有解，然后逐项进行求解并判断即可.

【详解】根据定义可知：若有不动点，则有解.

A．令，所以，此时无解，故不是“不动点”函数；

B．令，所以或，所以是“不动点”函数；

C．当时，令，所以或，所以是“不动点”函数；

D．令，所以，所以是“不动点”函数.

故选：BCD.

【点睛】本题考查新定义的函数问题，难度较难.解答本题的关键是能通过定义将问题转化为方程是否有解的问题，对于转化能力要求较高.

三、填空题

17．若指数函数的图象经过点，则的值为____

【答案】

【分析】先根据指数函数过点，求出的值，再代入计算即可.

【详解】因为指数函数且的图象经过点，

，解得，

，

，故答案为.

【点睛】本题主要考查指数函数的解析式，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.

18．若，则___________.

【答案】

【解析】由题意利用利用诱导公式化简要求的式子，可得结果．

【详解】由诱导公式可得

故答案为：

19．已知函数，若，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据分段函数解析式，分段讨论，利用指数函数，对数函数性质解不等式，然后取并集即得.

【详解】当，

当，

故.

故答案为:

20．下列说法中正确的有______.

①.

②已知，则.

③函数的图象与函数的图象关于原点对称.

④函数的递增区间为.

【答案】③

【解析】根据指数函数和对数函数基础知识,逐项判断,即可求得答案.

【详解】对于①,因为,故①错误;

对于②,,即

令

则当时,根据是单调递增函数,可得,此时可得

当时,根据是单调递减函数,可得,此时

综上可得,故②错误;

对于③,函数关于原点对称的函数，故③正确;

对于④,根据对数函数单调性可知:单调递增

,解得:

令

根据二次函数知识可知其对称轴为:,图像开口向下

根据二次函数图像可知:

当,单调递减;

当,单调递增;

根据复合函数单调性同增异减可知:

要保证函数的递增,

需满足: 解得:,即,故④错误.

综上所述,正确的为③.

故答案为:③.

【点睛】本题的解题关键是掌握指数函数和对数函数基础知识,和复合函数单调性的判断方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

四、解答题

21．已知不等式的解集为（用区间表示）.

(1)求区间；

(2)在区间上，函数图像恒在直线的上方，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解指数不等式，得解集为用区间表示；

（2） 区间上，函数图像恒在直线的上方，等价于在区间上恒成立，问题转化为求最值.

【详解】（1）不等式等价于，所以，即，解得，所以区间.

（2）在区间上，函数图像恒在直线的上方，得不等式在上恒成立，即在上恒成立，结合，，所以，实数a的取值范围为.

22．若函数满足，且的定义域为，已知，当时，，求：

(1)的奇偶性；

(2)的单调性.

【答案】(1)奇函数

(2)在单调递增.

【分析】(1)利用奇函数的定义，令可得即可求证； (2)根据单调性的定义先证明的单调性，再结合奇偶性证明的单调性.

【详解】（1）令，则有，

因为，所以，

且函数的定义域为，所以为奇函数.

（2）因为且由（1）知为奇函数，所以，

当时，，即，

先证明在的单调性，

由题可知，

即当时，，

根据题意有，即，

所以当或时恒成立，且，

所以当时，，

，则，所以，

，

因为，所以，且，则，

所以，即，

所以在单调递增，

又因为函数为奇函数，所以在单调递增.

所以在单调递增.