2022-2023学年河南省实验中学高一上学期线上阶段性测试（二）数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省实验中学高一上学期线上阶段性测试（二）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据对数的性质确定集合A、B，再应用集合的交运算求结果.

【详解】由，则，故，

由趋向于1时趋向正无穷大，趋向于时趋向0，故，

所以.

故选：A

2．如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据交并补的概念和韦恩图判断即可.

【详解】

A选项：⑤，故A错；

B选项：③⑤⑥⑦⑧，故B错；

C选项：③⑤，①②③④，所以③，故C正确；

D选项：①②③④⑤，故D错.

故选：C.

3．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用对数函数、指数函数的单调性与“0，1”比较即可.

【详解】，

，

，

．

故选:.

【点睛】本题考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，属于基础题．

4．若－4<x<1，则（    ）

A．有最小值1 B．有最大值1

C．有最小值－1 D．有最大值－1

【答案】D

【分析】先将转化为，根据－4<x<1，利用基本不等式求解.

【详解】

又∵－4<x<1，

∴x－1<0．

∴－(x－1)>0．

∴．当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．

故选：D

【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.

5．若，且是第三象限角，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用诱导公式和同角三角函数平方关系可求得，再次利用诱导公式可求得结果.

【详解】，，又是第三象限角，

，.

故选：C.

6．若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.

【详解】[方法一]：直接法

由已知得：,

即：，

即：

所以

故选：C

[方法二]：特殊值排除法

解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B；

再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.

[方法三]：三角恒等变换

所以

即

故选：C.

7．下列关于函数的说法正确的是（    ）

A．最小正周期为

B．图像关于点成中心对称

C．在区间上单调递增

D．图像关于直线成轴对称

【答案】B

【分析】根据函数，结合正切函数的图象与性质，对选项中的命题判断正误即可．

【详解】解：函数，

当时，，所以图象关于点成中心对称，选项B正确；

函数的最小正周期为，所以A错误；

当时，，所以函数在上单调递减，所以C错误；

正切函数不是轴对称函数，所以D错误．

故选：B．

8．若函数同时满足：①定义域内任意实数，都有；②对于定义域内任意，，当时，恒有；则称函数为“DM函数”．若“DM函数”满足，则锐角的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先判断出函数是上的增函数，把转化为，即可求出锐角的取值范围.

【详解】由，知：函数是上的增函数.

由，即，所以由题设：，

∴，即有.

∵函数是上的增函数.

∴，即，

∵为锐角﹐则，∴，则的取值范围是．

故选：A

二、多选题

9．已知,不等式恒成立,,不等式0,则下列说法正确的是(    )

A．p的否定是:,不等式

B．的否定是:,不等式

C．为真命题时,

D．q为假命题时,

【答案】ACD

【分析】根据命题的否定定义判断，求参数可转化为函数的最值问题

【详解】的否定是:,不等式，A正确

的否定是:,不等式，B错误

若为真命题,则,即

解得，C正确

若为假命题,则恒成立

即恒成立

因为,当且仅当,即取等

所以，D正确

故选：ACD

10．下列命题正确的是（    ）

A．函数的定义域为

B．函数的值域为

C．已知（），且，则实数

D．与互为反函数，其图像关于对称

【答案】ABD

【分析】对于A，直接根据表达式求定义域即可；对于B，利用换元法，结合范围即可求得值域；对于C，首先利用指对互换公式变形，再根据对数计算公式即可求解；对于D，根据反函数定义以及性质即可求解.

【详解】对于A，因为，即，解得，即定义域为，正确；

对于B，令，，则原式可变为，，则，，即，即的值域为，B正确；

对于C，由，根据指对互换法则，得，，则由可得，解得，则C错误；

对于D，根据反函数定义可知，与互为反函数，由反函数性质可得，互为反函数的图像关于直线对称，正确.

故选：ABD

11．下列各式中，值为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】结合二倍角公式和正弦的差角公式依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：选项A：；

选项B：；

选项C：；

选项D：.

故选：AB.

12．设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（    ）

A．的取值范围是

B．的图象与直线在上的交点恰有2个

C．的图象与直线在上的交点恰有2个

D．在上单调递减

【答案】AB

【分析】对于A,确定，根据零点个数确定，求得参数范围；对于B，C，采用整体代换思想，结合余弦函数的图象和性质即可判断；对于D，当时，确定，计算的范围，从而确定在上单调性.

【详解】当时，，因为在上有且仅有4个零点，

所以，解得，故A正确；

又由以上分析可知，函数在上有且仅有4个零点，

且，则在上，出现两次最大值，

此时函数的大致图象如图示：

即在上两次出现最大值1，即取时，取最大值，

故的图象与直线在上的交点恰有2个，故B正确；

由于当时，，，

当时，取最小值 ，由于是否取到不确定，

故的图象与直线在上的交点可能是1个或2个，故C错误；

当时， ，

因为，所以，，

故的值不一定小于，

所以在上不一定单调递减.

故选：AB.

【点睛】本题考查了复合型余弦函数的解析式中参数的确定以及零点以及最值和单调性问题，综合性强，计算量大，解答时要能综合应用三角函数的相关知识灵活解答，关键是整体代换思想的应用.

三、填空题

13．若函数的定义域为，则实数的取值范围是__________ .

【答案】

【分析】分析可知，对任意的，恒成立，分、两种情况讨论，结合已知条件可求得实数的取值范围.

【详解】因为函数的定义域为，

所以，对任意的，恒成立.

①当时，则有，合乎题意；

②当时，由题意可得，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

14．已知，则__________ ．

【答案】

【分析】将已知条件两边平方，结合同角三角函数的平方关系即可求值.

【详解】由，

所以.

故答案为：

15．已知函数，对于任意，都有成立，则_____．

【答案】##

【分析】对于任意，都有成立,则是的最大值，由两角和的正弦公式化简函数式，由正弦函数的最大值求得，再计算其正弦值．

【详解】,

对于任意，都有成立,则是的最大值,

所以，，，，

．

故答案为：．

16．已知函数在区间上的最大值是，最小值是，则____________．

【答案】

【分析】令，则，和在上单调性相同，时奇函数，可得在，据此可求M＋m，从而求出.

【详解】令，则，

∴和在上单调性相同，

∴设在上有最大值，有最小值.

∵，

∴，

∴在上为奇函数，∴，

∴，∴，

.

故答案为：

四、解答题

17．已知集合

（1）若，求实数m的取值范围.

（2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1），分B为空集和B不是空集两种情况讨论求解即可；

（2）由，使得，可知B为非空集合且，然后求解的情况，求出m的范围后再求其补集可得答案

【详解】解：（1）①当B为空集时，成立.

②当B不是空集时，∵，，∴

综上①②，.

（2），使得，∴B为非空集合且.

当时，无解或，，

∴.

18．计算

(1)已知．求的值．

(2)计算 ．

【答案】(1)4

(2)1

【分析】(1)先用诱导公式化简，再用同角三角函数的商数关系转化，代入即可求解;

(2) 用诱导公式化简和同角三角函数的商数关系化简求解.

【详解】（1）解：．

（2）

19．为了进一步增强市场竞争力，某企业计划在2023年利用新技术生产某部手机.经过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产（单位：千部）手机，需另投入可变成本万元，且由市场调研知，每部手机售价万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额－固定成本－可变成本）

(1)求2023年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式；

(2)2023年的年产量为多少（单位：千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)；

(2)90，8070万元.

【分析】（1）代入分段函数化简即可.

（2）分别求分段函数的最值，取最大值即可.

【详解】（1）

（2），当时，；

，当且仅当时等号成立.

故当产量为90千部时，企业所获利润最大，最大利润为8070万元

20．如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A，B两点．

(1)如果A，B两点的纵坐标分别为，求和的值；

(2)在（1）的条件下，求的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据正弦和余弦函数的定义即可求得和，进而求得；

（2）结合（1）的结论由两角差的余弦公式计算即可．

【详解】（1）解：∵，，且点A，B的纵坐标分别为，，

∴ ，，

又∵ 为锐角，

∴ ＝＝．

（2）解：∵为钝角，

∴ 由（1）知＝－，

∴ ．

21．已知函数

(1)求的单调递增区间：

(2)若函数在上的零点个数为2，求m的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用正弦型函数的性质求函数的增区间；

（2）将问题化为的图象与直线的交点有2个，结合正弦型函数性质求的区间端点值，即可确定参数范围.

【详解】（1）令，解得

故的单调递增区间为.

（2）在上的零点个数等于的图象与直线的交点个数．

因为，所以，

当，时，则在上单调递增，在[，]上单调递减．

所以，，

所以，即m的取值范围为.

22．设函数f(x)=ax-a-x(x∈R，a>0且a≠1).

（1）若f(1)<0，求使不等式f(x2+tx)＋f(4-x)<0恒成立时实数t的取值范围；

（2）若，g(x)=a2x＋a-2x-2mf(x)且g(x)在[1，+∞)上的最小值为-2，求实数m的值.

【答案】（1）；（2）2.

【分析】(1)由f(1)<0导出，再探讨函数f(x)的单调性及奇偶性，由此将给定不等式等价转化成一元二次不等式恒成立即可；

(2)由求出，借助换元的思想将函数g(x)转化成二次函数问题即可作答.

【详解】（1），即，而，则，解得，显然在上单调递减，

又，于是得在上是奇函数，

从而有等价于，

由原不等式恒成立可得，即恒成立，亦即，解得：，

所以实数的取值范围是：；

（2），即，而，解得：，

所以，

令，显然在上单调递增，则，

，对称轴为，

当时，，解得或(舍)，则，

当时，，解得：不符合题意，

综上得，

所以实数m的值为2.