2022-2023学年黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校高一上学期数学期末复习试卷

2022-2023学年度第一学期考试期末复习试卷

高一学年  数学科目

时间:120分钟  

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．己知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．命题“对任意一个实数，都有”的否定是（    ）

A．存在实数，使得 B．对任意一个实数，都有

C．存在实数，使得 D．对任意一个实数，都有

3．已知函数在区间上是单调函数，则实数k的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

4．已知定义在 ​上的函数​满足，当​时，​​，则​等于（    ）

A．1 B．​ C．​ D．2

5．幂函数的图像过点，则它在上的最小值为（    ）

A．-2 B．-1 C．1 D．

6．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数在区间​上单调递增，则​的取值范围为（    ）

A．​ B．​

C．​ D．​

8．的化简结果是（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的）

9．下列推理正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

10．若函数 的图像经过点 ， 则（    ）

A． B． 在 上单调递减

C． 的最大值为 81 D． 的最小值为

11．已知，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

12．若函数的最小正周期为，，则（    ）

A． B．是图象的对称轴

C．是图象的对称中心 D．在上单调递增

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．已知、为正实数，且满足，则的最大值为_____．

14．若函数在区间上单调递增，则的最小值为____________．

15．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______．

16．函数的最大值为______.

四、解答题（本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明，说明过程或演算步骤）

17．已知全集．

(1)若，求

(2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围．

18．已知幂函数的图像关于y轴对称.

(1)求m的值;

(2)若函数求的单调递增区间.

19．已知函数，集合

(1)当时，函数的最小值为1，求实数a的取值范围；

(2)当______时，求函数的最大值以及取到最大值时x的取值．在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在（2）问中的横线上，并求解．

20．已知函数，其中且．

(1)若且函数的最大值为2，求实数a的值．

(2)当时，不等式在有解，求实数m的取值范围．

21．已知函数

(1)求的单调递增区间：

(2)若函数在上的零点个数为2，求m的取值范围．

22．如图所示，有一块扇形钢板OPQ，面积是平方米，其所在圆的半径为1米，

(1)求扇形圆心角的大小；

(2)现在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下的钢板面积最大.试问如何确定A的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？

参考答案：

1．D

2．A

3．A

4．D

5．D

6．B

7．B

8．A

9．BCD

10．AC

11．BCD

12．BD

13．3

14．

15．

16．

17．(1)；

(2).

【详解】（1）当时，，又，

所以=；

（2）因为“”是“”的必要非充分条件，于是得真包含于，

①当时，；

②当时，由真包含于得（等号不能同时成立），

，

综上所述，.

18．(1)2；

(2).

【详解】（1）由题意知，解得，或．

又因为的图像关于y轴对称，所以为偶函数，从而．

所以，.

（2）由（1）知，，

当时，，对称轴为，

所以在上单调递减，在上单调递增．

当时，，对称轴为，

所以在上单调递减，在上单调递增．

因此，的单调递增区间为．

19．(1)

(2)答案见解析

【详解】（1）由题意可知，

令，，

当时，函数的最小值为1，等价于时函数的最小值为1，

二次函数的对称轴为，且，

故函数最小值为1，则要求，即

即实数a的取值范围为

（2）选择①，由知，，此时函数的最大值为，

取最大值时，即

选择②，由知，，此时函数的最大值为，

取最大值时，即

选择③，由知，，此时函数的最大值为，

取最大值时，即

20．(1)

(2)

【详解】（1）当时，

所以，

当时，在定义域内单调递增，，解得

当时，在定义域内单调递减，，解得，不符合题意，舍去

综上所述，实数a的值为.

（2）要使在上有意义，则，解得

由，即，因为，所以

即，得，令，，记，对称轴为，

若不等式在有解，则在有解

即，即

综上所述，实数m的取值范围为

21．(1)；

(2).

【详解】（1）令，解得

故的单调递增区间为.

（2）在上的零点个数等于的图象与直线的交点个数．

因为，所以，

当，时，则在上单调递增，在[，]上单调递减．

所以，，

所以，即m的取值范围为.

22．(1)

(2)当是的中点时，裁下的钢板符合要求，最大面积为平方米

【详解】（1）依题意，，

设，则，

即扇形圆心角的大小为.

（2）连接，设，过作，垂足为，

在中，，

所以，

设四边形的面积为，

则

，

由于，

所以当时，取得最大值为（平方米）.

所以当是的中点时，裁下的钢板符合要求，最大面积为平方米.