2022-2023学年湖北省荆州中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省荆州中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】解一元二次不等式求得集合M，根据集合的交集运算即可求得答案.

【详解】,,

故

故选：B.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．，  D．，

【答案】B

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题

【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得：“，”的否定为，.

故选：B

3．已知正数，满足，则的最小值为（    ）

A．6 B．8 C．16 D．20

【答案】B

【分析】根据给定条件结合“1”的妙用即可求出的最小值.

【详解】因正数，满足，则，

当且仅当，即时取“=”，由及解得：，

所以当时，取得最小值8.

故选：B

4．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】当时，该不等式成立，当时，根据二次函数开口方向及判别式列不等式解决二次不等式恒成立问题.

【详解】当时，该不等式为，成立；

当时，要满足关于的不等式对任意恒成立，只需，解得，

综上所述，的取值范围是，

故选：A.

5．若α为第四象限角，则（    ）

A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0

【答案】D

【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.

【详解】方法一：由α为第四象限角，可得，

所以

此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以

故选：D.

方法二：当时，，选项B错误；

当时，，选项A错误；

由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；

故选：D.

【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

6．已知函数，满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】本题先判断函数是定义在上的减函数，再运用分段函数的单调性求参数范围即可.

【详解】因为函数满足对任意的，都有成立，

所以函数是定义在上的减函数，

所以，解得，所以

故选：B

【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数范围，关键点是数形结合.

7．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3）

A．60 B．63 C．66 D．69

【答案】C

【分析】将代入函数结合求得即可得解.

【详解】，所以，则，

所以，，解得.

故选：C.

【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.

8．在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，结合二次函数和幂函数的性质依次分析选项，即可得到答案.

【详解】对于A，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数为减函数，符合题意；

对于B， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数为减函数，不符合题意；

对于C，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；

对于D， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和幂函数性质即可得解，考查学生的分析试题能力，数形结合思想，属于基础题.

二、多选题

9．关于角度，下列说法正确的是（    ）

A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是

B．钝角大于锐角

C．三角形的内角必是第一或第二象限角

D．若是第三象限角，则是第二或第四象限角

【答案】BD

【分析】根据角度的知识确定正确答案.

【详解】A选项，时钟经过两个小时，时针转过的角度是，A选项错误.

B选项，钝角的范围是；锐角的范围是，

，B选项正确.

C选项，不是象限角，所以C选项错误.

D选项，，，

所以是第二或第四象限角，D选项正确.

故选：BD

10．若不等式的解集是，则以下正确的有（　　）

A．a＜0

B．

C．

D．的解集为（﹣2，）

【答案】ABC

【分析】根据二次函数和一元二次不等式的性质可求解.

【详解】解：不等式的解集是，开口向下，故A正确；

，是方程的个两根，，故B正确；

根据对称轴和可推出，带入选项中的式子可得，故C正确；

，是方程的个两根，，

当，，故解得，D错误；

故选：ABC

11．已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.

【详解】对于A，，

当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，所以，故B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；

故选：ABD

【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.

12．已知为定义在上且周期为5的函数，当时，.则下列说法中正确的是（    ）

A．的增区间为，

B．若与在上有10个零点，则的范围是

C．当时，的值域为，则的取值范围

D．若与有3个交点，则的取值范围为

【答案】BC

【解析】首先作出的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A不正确；利用数形结合可判断选项B、C；举反例如时经分析可得与有3个交点，可判断选项D不正确，进而可得正确选项.

【详解】

对于选项A：单调区间不能用并集，故选项A不正确；

对于选项B：由图知若与在上有10个零点，则的范围是，

故选项B正确；

对于选项C：，，由图知当时，的值域为，则的取值范围，故选项C正确；

对于选项D：当时，直线为过点，也过点，当时，，直线过点，而点不在图象上，由图知：当时，直线为与有3个交点，由排除法可知选项D不正确，

故选：BC

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

三、填空题

13．已知幂函数的图象过点，则=__________.

【答案】3

【分析】先由幂函数定义，再代入点的坐标即可求解.

【详解】解：由幂函数定义知，，又过，所以，，

故答案为：3

【点睛】考查幂函数定义的应用，基础题.

14．已知扇形的周长为，面积为，扇形的圆心角（正角）的弧度数为_________．

【答案】

【分析】利用扇形弧长和面积公式可构造方程求得扇形圆心角的弧度数.

【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则扇形弧长，

又扇形面积，或，

或，则（舍）或，

扇形圆心角的弧度数为.

故答案为：.

15．设函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则实数的取值范围是_______．

【答案】

【详解】∵函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，

∴，解得：，

故答案为

四、双空题

16．记定义为，若函数，则函数的最大值为__________；不等式的解集为__________．

【答案】         

【分析】根据 定义为，得到求解.

【详解】解：因为定义为，

所以，

所以，

当 时，；

当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

所以函数的最大值为1；

当 时，，解得，此时无解；

当时，，即，解得或，此时；

当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时，

综上：不等式的解集为，

故答案为：1，.

五、解答题

17．求值：

(1)

(2)

【答案】(1)6

(2)0

【分析】(1)根据指数运算公式和对数运算公式求解即可；

(2)根据诱导公式化简求值即可.

【详解】（1）

；

（2）

．

18．已知全集，集合，集合.

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)或；

(2)或.

【分析】（1）确定集合A，B，求出集合B的补集，根据集合的并集运算，即可求得答案.

（2）求出集合A的补集，根据，列出相应不等式，求得答案.

【详解】（1）集合，

当时，，则或，

故或；

（2）由题意可知或 ，,

由，则或，

解得或.

19．已知函数

（1）化简；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用诱导公式进行化简即可；

（2）由（1）结果两边平方，再利用同角三角函数的基本关系联立解方程组即可得出结果.

【详解】解：（1）

 所以.

（2）由，平方可得，

即.  所以，

因为，

又，所以，，所以,

所以.

【点睛】本题考查了诱导公式、同角三角函数的化简与求值，属于基础题.

20．已知函数.

（1）用单调性定义证明函数在区间上是增函数；

（2）求函数在区间上的值域.

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】（1）在区间内任取两数,并规定好大小,再作差,根据函数单调性的定义判断即可；

（2）根据函数的单调性即可求得在区间上的值域.

【详解】解：（1）证明：任取，

则

，

，

故，

，

，

故，

，

即，

函数在区间是增函数；

（2）由（1）知函数在上是增函数，

当时，任取，

则

，

，

故，

，

，

故，

，

即，

函数在区间是减函数；

，

，

，

故，

故函数在区间上的值域为.

【点睛】方法点睛：

定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤：

1.取值：任取，，规定，

2.作差：计算；

3.定号：确定的正负；

4.得出结论：根据的符号得出结论.

21．某市城郊有一块大约的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为平方米.

（1）分别用表示及的函数关系式，并给出定义域；

（2）请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积最大，并求出最大值

【答案】（1），定义域是(6，500)；（2）设计时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米.

【分析】（1）总面积为，且，可得，（其中，从而运动场占地面积为，代入整理即得；

（2）由（1）知，占地面积，由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的的值．

【详解】解：（1）由已知其定义域是.

，，

，其定义域是.

（2）

当且仅当，即时，上述不等式等号成立，

此时，，，．

答：设计 时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米.

22．已知函数.

(1)求证：是奇函数；

(2)若对于任意都有成立，求的取值范围；

(3)若存在，且，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）利用奇偶性的定义求解即可；

（2）对于任意都有成立，仅需即可；

（3）由单调性可得是方程，即的两实数根，根据一元二次函数的图像和性质求解即可.

【详解】（1）又即解得，

所以的定义域为，关于原点对称，

又因为，

所以是奇函数.

（2）由题意，令，

因为在上为增函数，在上为增函数，

所以在上为增函数，当时，，

对于任意都有成立，仅需即可，

所以，解得.

（3）由（2）可知在上为增函数，

又因为在区间上的值域为，

所以且，所以，

则是方程，即的两实数根，

令，

则由题意对称轴，，，

解得.