2022-2023学年湖北省新高考联考协作体高一上学期12月联考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省新高考联考协作体高一上学期12月联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】解出集合，利用补集和交集的定义可求得集合.

【详解】因为，，

因此，.

故选：B.

2．命题“存在一个三角形，它的内角和小于”的否定形式是（    ）

A．任何一个三角形，它的内角和不大于

B．存在一个三角形，它的内角和大于

C．任何一个三角形，它的内角和不小于

D．存在一个三角形，它的内角和不小于

【答案】C

【分析】由特称命题的否定判断，

【详解】由题意得“存在一个三角形，它的内角和小于”的否定是“任何一个三角形，它的内角和不小于”，

故选：C

3．已知函数，若，则函数的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数解析式代入求解即可.

【详解】由题意，，即.

故选：A

4．已知函数，则方程的解为（    ）

A． B．或 C．或 D．或

【答案】C

【分析】换底公式化简可得出关于的等式，求出的值，再利用对数式与指数式的互化可得出的值.

【详解】因为，

由可得，

得或，

当时，；当时，.

综上所述，原方程的解为或.

故选：C.

5．已知，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】根据题目条件，利用配凑法配凑出基本不等式使用的条件，凑出“和”是定值即可求出结果.

【详解】因为，所以，

即，

当且仅当，即时，等号成立；

故的最大值为.

故选：B

6．设是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】利用指数函数、对数函数以及幂函数的单调性结合中间值法比较、、的大小，再利用函数的奇偶性及其在的单调性可得出合适的选项.

【详解】因为，，

所以，，

因为函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，

所以，，

故选：D.

7．已知函数，若，有，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据结合可得且，再根据对勾函数的性质求解的取值范围即可.

【详解】因为，又，，所以（舍去），或，所以；

又，所以，令，由对勾函数的性质知函数在上为减函数，所以，即的取值范围是．

故选：D

8．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，由的单调性与奇偶性转化求解，

【详解】令，

由指数函数与对数函数性质得在上单调递增，

，

故为奇函数，在上单调递增，

原不等式可化为，即，

得，解得，

故选：B

二、多选题

9．下列选项正确的是（    ）

A．若集合有个子集，则

B．若集合，则

C．若集合，，若，则的取值范围是

D．若集合，，则

【答案】BD

【分析】分析可知集合只有一个元素，求出的值，可判断A选项；利用集合相等求出、、的值，可判断B选项；利用几何的包含关系求出参数的取值范围，可判断C选项；利用并集的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，若集合有个子集，则关于的方程只有一个实数解.

当时，则有，解得，合乎题意，

当时，则，解得.

因此，若集合有个子集，则或，A错；

对于B选项，若集合，则，即，故，B对；

对于C选项，集合，，且，则，C错；

对于D选项，因为集合，

，

所以，集合是所有偶数构成的集合，集合是所有奇数构成的集合，故，D对.

故选：BD.

10．已知，则下列命题正确的是（    ）

A．且，则

B．，则

C．，则

D．，则

【答案】AD

【分析】由不等式的性质对选项逐一判断，

【详解】对于A，若且，则，，故A正确，

对于B，若，则，故B错误，

对于C，，而，则，，

故，，故C错误，

对于D，，而，则，，

故，，故D正确，

故选：AD

11．已知函数，，下列成立的是（    ）

A．若是偶函数，则

B．的单调增区间是

C．的值域为

D．当时，方程都有两个实数根

【答案】ABD

【分析】利用函数奇偶性的定义求出的值，可判断A选项；利用复合函数的单调性可判断B选项；求出函数的值域，可判断C选项；由可得出，结合判别式法可判断D选项.

【详解】对于A选项，，

若函数为偶函数，则，则，

即，即对任意的恒成立，则，A对；

对于B选项，内层函数的增区间为，外层函数为增函数，

由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间是，B对；

对于C选项，对任意的，，

则，C错；

对于D选项，当时，，

由可得，则，

，所以，当时，方程都有两个实数根，D对.

故选：ABD.

12．若函数的定义域为，值域也为，则称为的“保值区间”.下列结论正确的是（    ）

A．函数不存在保值区间

B．函数存在保值区间

C．若函数存在保值区间，则

D．若函数存在保值区间，则

【答案】ACD

【分析】由新定义与函数的性质对选项逐一判断，

【详解】对于A，在和上单调递增，

令，得，，故不存在保值区间，故A正确，

对于B，当时，，当时，，

在单调递减，在单调递增，，

若存在保值区间，

若，令得无解，

若，则，作差后化简得或，不合题意，

故不存在保值区间，故B错误，

对于C，若存在保值区间，

而在上单调递增，故，得，故C正确，

对于D，函数在上单调递减，

若存在保值区间，

则，作差得，

得，则原式等价于在上有两解，

令，则在上有两解，

而在上单调递减，在上单调递增，

当时，，故，故D正确，

故选：ACD

三、填空题

13．若在上的最大值为，则实数的最大值为__________.

【答案】

【分析】解方程可得出，分、两种情况讨论，结合可求得实数的取值范围，即可得解.

【详解】由可得，解得或，

由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，函数在上单调递减，此时；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

由题意可得，此时，.

综上，，因此，实数的最大值为.

故答案为：.

14．已知全集，，则__________.

【答案】

【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合.

【详解】由可得，解得或，即或，

又因为，因此，.

故答案为：.

15．已知函数所过的定点在一次函数的图像上，则的最小值为__________.

【答案】

【分析】由指数函数性质与基本不等式求解，

【详解】令得，

由题意得过的定点为，则，

，

当且仅当即时等号成立，

故的最小值为，

故答案为：

16．，若关于的方程有且仅有四个不相等的实数根、、、，则的取值范围为__________.

【答案】

【分析】令，由已知可得出或，作出函数的图象，分析可知，求出的取值范围，利用对数的运算性质可求得的值，利用二次函数的对称性可得出的值，即可求得的取值范围.

【详解】令，由可得，

可得或，作出函数的图象如下图所示：

若，则直线与函数的图象有个公共点，

直线与函数的图象有个公共点，

此时，关于的方程有个不同的实数根，不合乎题意，

所以，，则直线与函数的图象有个公共点，则，得，

由图可知，由，得，

即，，，

由图可知点与点关于直线对称，则，

所以，.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查与零点有关的代数式的取值范围，在求解零点的积时，充分利用对数的计算性质来求解；在求解零点的和时，要注意利用函数的对称性来处理.

四、解答题

17．计算：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由对数的运算性质化简求解，

（2）由指数的运算性质，立方差公式化简求解，

【详解】（1）原式

（2）原式

18．已知集合为实常数.

(1)用区间表示出与；

(2)条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)可用区间表示为；可用区间表示为

(2)

【分析】（1）分别解得两个集合，利用区间即可表示.

（2）由是的充分条件，得出，再列出关于的不等式组，即可解出.

【详解】（1）因为，解得，用区间表示为；而，，解得或者.因为恒成立，即，所以的解集为，用区间表示为.

（2）因为是的充分条件，所以是的子集，即，由（1）可知，

，解得，即.

19．已知函数.

(1)求的值域；

(2)若对于，都，使得，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）换元令可得，再代入求值域即可；

（2）由题意，再分析的最小值求解即可.

【详解】（1）令，则，，故当，即时取最小值，故的值域为

（2）对于，都，使得，即.

由（1），，又在上为增函数，故，故，解得.

20．已知定义在上的函数满足、，有：.当时，.

(1)证明：；

(2)若，解不等式：.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）令，可求得，令，可得出，利用题中的等式以及可证得结论成立；

（2）推导出函数为偶函数，且在上为增函数，将所求不等式变形为，利用函数的定义域及其在上的单调性可得出关于的不等式组，由此可解得原不等式的解集.

【详解】（1）证明：令可得，所以，，

令，则，，

所以，、，.

（2）解：令可得，，

，令，则，

所以，函数为上的偶函数，

任取、且，则，

所以，，即，

所以，函数在上为增函数，

由可得，

即，则，解得或.

因此，原不等式的解集为.

21．核酸检测分析是用苂光定量法，通过化学物质的苂光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，苂光信号强度达到阚值时，的数量与扩增次数满足，其中为扩增效率，为初始量.

(1)若某被测标本扩增10次后，的数量变为了初始量的1000倍，求该样本的扩增效率；（参考数据：，）

(2)若扩增效率为初始量为5，但由于实验条件的制约，的数量不能超过.则最多可以扩增多少次？（参考数据：）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，代入关系式解方程即可；

（2）根据题意，，，再代入关系式解不等式即可.

【详解】（1）由题意知，，

即，

所以，解得.

（2）由题意，，故，即，，解得

故最多可扩增次.

22．已知在定义域内单调的函数满足恒成立.

(1)设，求实数的值；

(2)解不等式；

(3)设，若对于任意的恒成立，求实数的取值范围，并指出取等时的值.

【答案】(1)

(2)

(3)，当且仅当时等号成立，

【分析】（1）由题意列方程求解，

（2）由函数的单调性转化后求解，

（3）参变分离后转化为最值问题，由换元法结合基本不等式求解，

【详解】（1）由题意得，

，

由于在上单调递增，

观察得的解为，

（2）由于在定义域内单调，所以为常数，

由（1）得，在上单调递增，

，

故原不等式可化为，

由得，

故原不等式的解集为

（3）

可化为对恒成立，

设，

则，，

由基本不等式得，当且仅当时等号成立，

故当时， ，

故，当且仅当时等号成立，